第六節對數與對數函數1.理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數.2.通過實例，了解對數函數的概念.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.3.了解指數函數y＝ax與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數.1．對數式概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作

，其中

叫做對數的底數，

叫做真數基本性質loga1＝

，logaa＝

，alogaN＝

(N>0)，logaax＝

，其中a>0，且a≠1x＝logaNaN01Nx2．對數的運算3．對數函數的圖象與性質y＝logax0＜a＜1a＞1值域R性質過定點

，即x＝1時，y＝0當x>1時，

；當0<x<1時，_____當x>1時，

；當0<x<1時，_____在(0，＋∞)上是_______在(0，＋∞)上是_______(1,0)y<0y>0y>0y<0減函數增函數4.反函數指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的定義域與值域正好互換，圖象關于直線

對稱．y＝x1．log29×log34＋2log510＋log50.25＝

(

)A．0 B．2C．4 D．6解析：原式＝2log23×2log32＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.答案：D

2．(人教A版必修第一冊P127·T5改編)設lg2＝a，lg3＝b，則log1210＝

(

)答案：A5．已知函數y＝loga(x－3)－1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是________．答案：(4，－1)層級一/基礎點——自練通關(省時間)基礎點(一)對數式的運算

[題點全訓][一“點”就過]對數運算的一般思路轉化①利用ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)對題目條件進行轉化；②利用換底公式化為同底數的對數運算恒等式注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N的應用拆分將真數化為積、商或底數的指數冪形式，正用對數的運算法則化簡合并將對數式化為同底數對數的和、差、倍數形式，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算基礎點(二)對數函數圖象的識辨

[題點全訓]1．若函數y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域為{y|y≥1}，則函數y＝loga|x|的圖象大致為(

)解析：由于y＝a|x|的值域為{y|y≥1}，所以a>1，則y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函數，又函數y＝loga|x|的圖象關于y軸對稱．因此y＝loga|x|的圖象大致為選項B.答案：B

[一“點”就過]研究對數型函數圖象的思路(1)對有關對數型函數圖象的識別問題，主要依據底數確定圖象的變化趨勢、圖象的位置、圖象所過的定點及圖象與坐標軸的交點等，通過排除法求解．(2)對有關對數型函數的作圖問題，一般是從基本初等函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到所要求的函數圖象．特別地，當底數與1的大小關系不確定時應注意分類討論．對于較復雜的指數或對數不等式有解或恒成立問題，可借助函數圖象解決，具體步驟如下：(1)對不等式變形，使不等號兩邊對應兩函數f(x)，g(x)；(2)在同一平面直角坐標系內作出函數y＝f(x)及函數y＝g(x)的圖象；(3)觀察當x在某一范圍內取值時圖象的位置關系及交點的個數，由此確定參數的取值或不等式的解的情況．

[針對訓練]1．(2022·海南模擬)已知函數f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則2a＋b的取值范圍是

(

)2．設方程10x＝|lg(－x)|的兩個根分別為x1，x2，則

(

)A．x1x2＜0 B．x1x2＝0C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1解析：作出y＝10x與y＝|lg(－x)|的大致圖象，如圖．顯然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，則x1＜－1＜x2＜0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此時10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故選D.答案：D

重難點(二)對數函數的性質及應用

考法1比較大小[例1]已知a＝log62，b＝log124，c＝log186，則

(

)A．c>b>a B．a>b>cC．c>a>b D．a>c>b[方法技巧]比較對數函數值大小的方法單調性法在同底的情況下直接得到大小關系，若不同底，先化為同底中間量過渡法尋找中間數聯系要比較的兩個數，一般是用“0”“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”圖象法根據圖象觀察得出大小關系常見的對數不等式的類型及解題方法(1)解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，常借助函數y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況討論．(2)解形如logaf(x)>b的不等式，應先將b化為以a為底數的對數式的形式，再借助函數y＝logax的單調性求解．(3)解形如logaf(x)>logbg(x)的不等式，基本方法是將不等式兩邊化為同底的兩個對數式，利用對數函數的單調性“脫去”對數符號，同時應保證真數大于零．

考法3對數函數的性質的綜合應用[例3]

已知函數f(x)＝loga(3－ax)．(1)當x∈[0,2]時，函數f(x)恒有意義，求實數a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區間[1,2]上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．[方法技巧]解決對數函數性質的綜合問題的注意點(1)要分清函數的底數是a∈(0,1)，還是a∈(1，＋∞)．(2)確定函數的定義域，無論研究函數的什么性質或利用函數的某個性質，都要在其定義域上進行．(3)轉化時一定要注意對數問題轉化的等價性．

2．若f(x)＝lg(|x－2|＋1)，則下列命題不正確的是

(

)A．f(x＋2)是偶函數B．f(x)在(－∞，2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增C．f(x)沒有最大值D．f(x)沒有最小值解析：對于A，f(x＋2)＝lg(|x|＋1)，∵lg(|－x|＋1)＝lg(|x|＋1)，∴f(x＋2)為偶函數，A正確；對于B，當x≥0時，f(x＋2)＝lg(x＋1)，∴f(x＋2)在[0，＋∞)上單調遞增；∵f(x＋2)為偶函數，∴f(x)在(－∞，0)上單調遞減，∵f(x＋2)的圖象向右平移2個單位長度后得到f(x)的圖象，∴f(x)在(－∞，2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增，B正確；對于C、D，根據f(x)的單調性，知f(x)min＝f(2)，無最大值，故C正確，D錯誤．答案：D

不會構造函數解決指數、對數的綜合問題解決有關指數、對數綜合問題時，可能遇到以下解題瓶頸：一是不會構造函數，活用初等函數的單調性解題；二是不會放縮，不能準確比較兩個數(式)的大?。猍典例]

(2020·全國卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則

(

)A．a＞2b B．a＜2bC．a＞b2 D．a＜b2[解析]令f(x)＝2x＋log2x，因為y＝2x在(0，＋∞)上單調遞增，y＝log2x在(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上單調遞增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log22b，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b.故選B.[答案]

B解決本題時，若不構造函數很難得出答案，本題構造函數的策略是：“左右形式相當，一邊一個變量，取左或取右，構造函數妥當”，我們稱之為“同構函數”，然后再利用函數的單調性求解．解決指數函數與對數函數的綜合問題時，一般運用指數函數的圖象與性質等知識．

[針對訓練](2020·全國卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，則

(

)A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜03．(忽略對數函數的定義域)若函數y＝loga(2－ax)在[0,1]上單調遞減，則a的取值范圍是

(

)A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．(1，＋∞)解析：令u＝2－ax，因為a>0，所以u＝2－ax在定義域上是減函數，要使函數y＝loga(2－ax)在[0,1]上單調遞減，則函數y＝logau在其定義域上必為增函數，故a>1.當x∈[0,1]時，umin＝2－a×1＝2－a.因為2－ax>0在x∈[0,1]時恒成立，所以umin>0，即2－a>0，a<2.綜上可知，a的取值范圍是(1,2)．答案：B

6．(弘揚傳統文化)田忌賽馬是中國古代對策論與運籌思想的著名范例，故事中齊將田忌與齊王賽馬，孫臏獻策以下馬對齊王上馬，以上馬對齊王中馬，以中馬對齊王下馬，結果田忌一負