黑龍江省賓縣第一中學校2023-2024學年高一數學第一學期期末學業質量監測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知點P3,-4是角α的終邊上一點，則sinA.-75C.15 D.2．零點所在的區間是（）A. B.C. D.3．已知集合A=，B=，那么集合A∩B等于（）A. B.C. D.4．已知函數，若當時，恒成立，則實數的取值范圍是A. B.C. D.5．若命題“，”是假命題，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.6．某市政府為了增加農民收入，決定對該市特色農副產品的科研創新和廣開銷售渠道加大投入，計劃逐年加大研發和宣傳資金投入.若該政府2020年全年投人資金120萬元，在此基礎上，每年投入的資金比上一年增長12%，則該政府全年投入的資金翻一番（2020年的兩倍）的年份是（參考數據：lg1.12≈0.05，lg2≈0.30）（）A.2027年 B.2026年C.2025年 D.2024年7．函數與（且）在同一坐標系中的圖象可能是（）A. B.C. D.8．在中，如果，則角A. B.C. D.9．已知集合，，則（）A. B.C. D.10．設函數，且在上單調遞增，則的大小關系為A B.C. D.不能確定11．已知函數的值域為，則實數m的值為（）A.2 B.3C.9 D.2712．定義在上的函數，當時，，若，則、、的大小關系為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．如圖，在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為6的等邊三角形．若AB=4，則四面體ABCD外接球的表面積為________14．下列說法正確的序號是__________________.（寫出所有正確的序號）①正切函數在定義域內是增函數；②已知函數的最小正周期為,將的圖象向右平移個單位長度,所得圖象關于軸對稱,則的一個值可以是；③若,則三點共線；④函數的最小值為；⑤函數在上是增函數,則的取值范圍是.15．設、為平面向量，若存在不全為零的實數λ，μ使得λμ0，則稱、線性相關，下面的命題中，、、均為已知平面M上的向量①若2，則、線性相關；②若、為非零向量，且⊥，則、線性相關；③若、線性相關，、線性相關，則、線性相關；④向量、線性相關的充要條件是、共線上述命題中正確的是（寫出所有正確命題的編號）16．已知，則____________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．函數，在內只取到一個最大值和一個最小值，且當時，；當時，（1）求此函數的解析式；（2）求此函數的單調遞增區間18．已知是方程的兩根，且.求：及的值.19．某保險公司決定每月給推銷員確定具體的銷售目標，對推銷員實行目標管理.銷售目標確定的適當與否，直接影響公司的經濟效益和推銷員的工作積極性，為此，該公司當月隨機抽取了50位推銷員上個月的月銷售額（單位：萬元），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）①根據圖中數據，求出月銷售額在小組內的頻率；②根據直方圖估計，月銷售目標定為多少萬元時，能夠使的推銷員完成任務？并說明理由；（2）該公司決定從月銷售額為和的兩個小組中，選取2位推銷員介紹銷售經驗，求選出的推銷員來自同一個小組的概率.20．如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內建造一個圖書館.為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環境協調，設計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓.設扇形的半徑OM＝R，∠MOP＝45°，OB與OM之間的夾角為θ.（1）將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數.（2）若R＝45m，求當θ為何值時，矩形ABCD的面積S最大？最大面積是多少？(取＝1.414)21．已知函數其中，求：函數的最小正周期和單調遞減區間；函數圖象的對稱軸22．已知函數（1）求函數的最小正周期和單調遞減區間；（2）將函數的圖像向左平移單位長度，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖像，求在上的值域

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】利用三角函數的定義可求得結果.【詳解】由三角函數的定義可得sinα-故選：A.2、C【解析】利用零點存在定理依次判斷各個選項即可.【詳解】由題意知：在上連續且單調遞增；對于A，，，內不存在零點，A錯誤；對于B，，，內不存在零點，B錯誤；對于C，，，則，內存在零點，C正確；對于D，，，內不存在零點，D錯誤.故選：C.3、C【解析】根據集合的交運算即可求解.【詳解】因為A=，B=，所以故選：C4、D【解析】是奇函數，單調遞增，所以，得，所以，所以，故選D點睛：本題考查函數的奇偶性和單調性應用．本題中，結合函數的奇偶性和單調性的特點，轉化得到，分參，結合恒成立的特點，得到，求出參數范圍5、A【解析】由題意知原命題為假命題，故命題的否定為真命題，再利用，即可得到答案.【詳解】由題意可得“”是真命題，故或.故選：A.6、B【解析】根據題意列出指數方程，取對數，根據對數的運算性質，結合題中所給的數據進行求解即可.【詳解】設第n(n∈N*)年該政府全年投入的資金翻一番，依題意得：120(1+12%)n－1=240，則lg[120(1+12%)n-1]=lg240，∴lg120+(n-1)lg1.12=lg240，∴(n－1)lg1.12=lg2，∴，即該政府全年投入的資金翻一番的年份是2026年，故選：B.7、B【解析】分析一次函數的單調性，可判斷AD選項，然后由指數函數的單調性求得的范圍，結合直線與軸的交點與點的位置關系可得出合適的選項.【詳解】因為一次函數為直線，且函數單調遞增，排除AD選項.對于B選項，指數函數單調遞減，則，可得，此時，一次函數單調遞增，且直線與軸的交點位于點的上方，合乎題意；對于C選項，指數函數單調遞減，則，可得，此時，一次函數單調遞增，且直線與軸的交點位于點的下方，不合乎題意.故選：B.8、C【解析】由特殊角的三角函數值結合在△ABC中，可求得A的值；【詳解】，又∵A∈（0，π），∴故選C.【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值及三角形中角的范圍，屬于基礎題.9、D【解析】利用對數函數與指數函數的性質化簡集合，再根據集合交集的定義求解即可．【詳解】因為，，所以，，則，故選：D．10、B【解析】當時，，它在上單調遞增，所以.又為偶函數，所以它在上單調遞減，因，故，選B.點睛：題設中的函數為偶函數，故根據其在上為增函數判斷出，從而得到另一側的單調性和，故可以判斷出.11、C【解析】根據對數型復合函數的性質計算可得；【詳解】解：因為函數的值域為，所以的最小值為，所以；故選：C12、C【解析】令，求得，得到是奇函數，再令，證得在上遞減判斷.【詳解】因為，令，得，解得，令，得，所以是奇函數，因時，，則，，令，則，，且，則，，所以，即，即，所以在上遞減，，因為，所以，故選：C二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】由題設知，四面體ABCD的外接球也是與其同底等高的三棱柱的外接球，球心為上下底面中心連線EF的中點,所以，所以球的半徑所以，外接球的表面積，所以答案應填：考點：1、空間幾何體的結構特征；2、空間幾何體的表面積14、③⑤【解析】對每一個命題逐一判斷得解.【詳解】①正切函數在內是增函數,所以該命題是錯誤的；②因為函數的最小正周期為,所以w=2,所以將的圖象向右平移個單位長度得到,所得圖象關于軸對稱,所以，所以的一個值不可以是，所以該命題是錯誤的；③若,因為，所以三點共線，所以該命題是正確的；④函數=，所以sinx=-1時，y最小為-1，所以該命題是錯誤的;⑤函數在上是增函數,則,所以的取值范圍是.所以該命題是正確的.故答案為③⑤【點睛】本題主要考查正切函數的單調性，考查正弦型函數的圖像和性質，考查含sinx的二次型函數的最值的計算，考查對數型函數的單調性，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.15、①④【解析】利用和線性相關等價于和是共線向量，故①正確，②不正確，④正確．通過舉反例可得③不正確【詳解】解：若、線性相關，假設λ≠0，則，故和是共線向量反之，若和是共線向量，則，即λμ0，故和線性相關故和線性相關等價于和是共線向量①若2，則20，故和線性相關，故①正確②若和為非零向量，⊥，則和不是共線向量，不能推出和線性相關，故②不正確③若和線性相關，則和線性相關，不能推出若和線性相關，例如當時，和可以是任意的兩個向量．故③不正確④向量和線性相關的充要條件是和是共線向量，故④正確故答案為①④【點睛】本題考查兩個向量線性相關的定義，兩個向量共線的定義，明確和線性相關等價于和是共線向量，是解題的關鍵16、【解析】求得函數的最小正周期為，進而計算出的值（其中），再利用周期性求解即可.【詳解】函數的最小正周期為，當時，，，，，，，所以，，，因此，.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）.【解析】（1）由函數的最值求得振幅A，利用周期公式求得，根據五點法求，進而求得解析式；（2）依據正弦函數單調區間，列出不等式，解之即可得到函數的單調遞增區間【詳解】（1）在內函數只取到一個最大值和一個最小值，當時，；當時，，則，函數的最小正周期，則由，可得，則此函數的解析式；（2）由，可得，則函數的單調遞增區間為18、1，.【解析】由韋達定理結合兩角和差的正切公式可得.結合所給的角的范圍可知則.試題解析：為方程的兩根，，..點睛：三角函數式的化簡、求值問題的常用技巧：①尋求角與角之間的關系，化非特殊角為特殊角；②正確靈活地運用公式，通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數值；③一些常規技巧：“1”的代換、和積互化等常用方法：異名三角函數化為同名三角函數，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數互化19、（1）①；②17，理由見解析（2）【解析】（1）①利用各組的頻率和為1求解，②由題意可得的推銷員不能完成該目標，而前兩組的頻率和，前三組的頻率和為，所以月銷售目標應在第3組，從而可求得結果，（2）由頻率分布直方圖結合題意可得待選的推銷員一共有4人，然后利用列舉法求解概率【小問1詳解】①月銷售額在小組內的頻率為.②若要使的推銷員能完成月銷售額目標，則意味著的推銷員不能完成該目標.根據題圖所示的頻率分布直方圖知，和兩組的頻率之和為0.18，故估計月銷售額目標應定為（萬元）.【小問2詳解】根據直方圖可知，月銷售額為和的頻率之和為0.08，由可知待選的推銷員一共有4人.設這4人分別為，則樣本空間為{}，一共有6種情況其中2人來自同一組的情況有2種所以選出的推銷員來自同一個小組的概率.20、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）當θ＝時，矩形ABCD面積S最大，最大面積為838.35m2.【解析】（1）設OM與BC的交點為F，用表示出，，，從而可得面積的表達式；（2）結合正弦函數的性質求得最大值【詳解】解：（1）由題意，可知點M為PQ的中點，所以OM⊥AD.設OM與BC的交點為F，則BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ.所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ)＝R2sin－R2，θ∈.（2）因為θ∈，所以2θ＋∈，所以當2θ＋，即θ＝時，S有最大值.Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2025＝838.35(m2).故當θ＝時，矩形ABCD的面積S最大，最大面積為838.35m2.【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數的應用，解題關鍵是利用表示出矩形的邊長，從而得矩形面積．利用三角函數恒等變換公式化函數為一個角的一個三角函數形式，然后結合正弦函數性質求得最大值21、（1）最小正周期為，；（2），.【解析】利用正余弦的二倍角公式和輔助角公式將函數解析式化簡，再利用正弦函數的周期性、單調性，即可得出結論．利用正弦函數圖象的對稱性，即可得圖象的對稱軸【詳解】函數，故函數的最小正周期為，令，求得，故函數的減區間為，令，求得，，故函數的圖象的對稱軸為，【點睛