【專題1】集合中的思想方法重要知識點講解知識點1：元素與集合之間的關系【方法講解】當一個集合中的元素含有字母，求解字母的值或范圍時，一般可先利用集合中元素的確定性解出集合中字母的所有可能的值或范圍，再根據集合元素的互異性進行檢驗?！纠}精講】例題1已知集合含有兩個元素和，若，則實數的值為______；【答案】；變式1設集合，集合，則集合中的元素個數為______．【答案】6【解析】因為，，，所以的可能結果有種，依次是，所以中有個元素，故答案為.1．解決含有字母的問題，常用到分類討論的思想，在進行分類討論時，務必明確分類標準．2．在解方程求得字母的值后，常因忘記驗證集合中元素的互異性，而造成過程性失分．提醒：解答此類問題易忽視互異性而產生增根的情形．例題2設A為實數集，且滿足條件：若a∈A，則11-a∈A(a求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個元素；(2)集合A不可能是單元素集．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】(1)若a∈A，則11-a∈A.又∵2∈A，∴11∵－1∈A，∴11-(-1)＝12∈A.∵12∈A，∴11-12(2)若A為單元素集，則a＝11-a，即a2－a＋1∴a≠11-a變式2已知集合A含有兩個元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，試求實數a的值；(2)若a∈A，試求實數a的值．【答案】（1）0或－1；（2）1.【解析】(1)因為－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，則a＝0.此時集合A含有兩個元素－3，－1，符合題意．若－3＝2a－1，則a＝－1.此時集合A含有兩個元素－4，－3，符合題意．綜上所述，滿足題意的實數a的值為0或－1.(2)因為a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.當a＝a－3時，有0＝－3，不成立；當a＝2a－1時，有a＝1，此時A中有兩個元素－2,1，符合題意．綜上所述，滿足題意的實數a的值為1.知識點2：元素個數、集合個數的討論【例題精講】例題1已知集合.（1）若中只有一個元素，求的值；（2）若中有兩個元素，求的取值范圍.【答案】（1）當，即時，方程有兩個相同解，即中只有一個元素.（2）當，即時，方程有兩個不同解，即中有兩個元素.變式1寫出由方程的解組成的集合中的元素；【答案】當時，則由方程的解組成的集合中的元素為，若，則由方程的解組成的集合中的元素為；1．若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關鍵，如上面例題中集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個數問題轉化為方程的根的個數問題．2．在學習過程中要注意數學素養的培養，如本例中用到了等價轉化思想和分類討論的思想．例題2已知集合；（1）若是單元素集合，求集合；（2）若中至少有一個元素，求的取值范圍；【答案】（1）當時，；當時，；（2）；變式2已知集合.若，求實數的值；（2）若中只有一個元素，求的值；（3）若中有兩個元素，求的取值范圍.變式3已知，，，且，，中至少有一個不是空集，求實數的取值范圍．【答案】．分析：至少有1個不是空集，考慮方法有兩種：第1種：或或也就是，和取并集．第2種，至少有1個不是空集的反面是什么？如我們班至少有1個男生反面是不到1個男生，也就是沒有男生，∴“至少有1個不是空集”的反面是“全都是空集”．“全都是空集”取，，的公共部分也就是交集，再取個補集就行．當遇到正面分類討論比較多時，不妨考慮問題反面．若改成“至少有兩個是空集”，那么反面是什么？最多有1個空集．比如某富二代說“我家至少有10棟房”，那么反面是他家至多有9棟房知識點3：集合與集合之間的關系【方法講解】1．判斷集合間關系的方法有三種：（1）一一列舉觀察；（2）集合元素特征法：首先確定集合的元素是什么？弄清楚元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關系；（3）數形結合法：利用數軸或韋恩圖；2．和同時成立，則（真子集）能更準確地表示之間的關系；集合間的基本運算的關鍵點(1)?：空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時必須優先考慮空集的情況，否則會造成漏解．(2)端點值：已知兩集合間的關系求參數的取值范圍時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的條件，常用數軸解決此類問題．【例題精講】判斷集合之間的關系例題1已知集合，，試判斷與的關系.【答案】（1）對于任意，，∵，∴，∴，由子集定義知.（2）∵，此時，即，而，因在時無解.綜合（1）、（2）知，.變式1已知，，試確定和的關系；【答案】；例題2若，，，則，，的關系是（） B． C．D．【答案】C；變式2（18-19學年東莞一中月考）設集合，，則() B． C． D．【答案】C變式3設集合，，，則集合、、的關系是() B． C． D．【答案】C根據集合之間的關系求滿足條件的集合例題3根據題意，完成下列各題：（1）滿足的集合有幾個；（2）已知集合，且中至少有一個元素為奇數，則這樣的集合共有多少個？并用恰當的方法表示這些集合.【答案】（1）由可以確定集合必含有元素、，且至少含有元素，，中的一個，因此依據集合的元素個數分類如下：含有三個元素：，，；含有四個元素：，，；含有五個元素：.故滿足題意的集合共有個（2）這樣的集合共有個.∵，且中至少有一個元素為奇數，∴當中含有個元素時，可以為；當中含有個元素時，可以為，.變式4滿足條件的集合的個數是________；【答案】；變式5已知，集合的子集的個數是_______；【答案】；根據集合之間的關系求參數的值或范圍【方法講解】數形結合——數軸法用圖形來表示數，形象而直觀，因此數形結合的思想在教學中廣泛使用，數軸是表示實數的，任何一個實數在數軸上均可以用一個點來表示，反之，數軸上任何一個點都代表一個實數，在數軸上表示一個不等式的取值范圍，形象而直觀。因此也廣泛應用于求子集的問題中。【例題精講】例題1已知集合，，且，求實數的取值范圍；【答案】因為，由題意知：（1）當時，，解得；（2）當時，，解得；綜上所述，實數的取值范圍是；變式1若上題中，將“”改為“”，其他條件不變，則實數的取值范圍是多少？【答案】由題意知，解集為空集，所以這樣的實數不存在；變式2已知集合，，若，求實數的取值范圍；【答案】；變式3已知集合,，是否存在實數滿足，若存在，求出的范圍；【答案】的范圍是；變式4已知集合，，則能使成立的實數的取值范圍是；【答案】；例題2設集合,,如果，求實數的取值集合；【答案】，因為，所以：（1）當為時，即，解得；（2）當中只有一個元素時，即，解得，代入中得，滿足；（3）當中只有兩個元素時，由題意知，所以，解得；綜上所述，實數的取值范圍是；變式5設，，其中，如果，求實數的取值范圍；【答案】，因為，所以：（1）當為時，即，解得；（2）當中只有一個元素時，即，解得，代入中得，滿足；（3）當中只有兩個元素時，由題意知，所以，解得；綜上所述，實數的取值范圍是；1．利用集合的關系求參數問題(1)利用集合的關系求參數的范圍問題，常涉及兩個集合，其中一個為動集合(含參數)，另一個為靜集合(具體的)，解答時常借助數軸來建立變量間的關系，需特別注意端點問題．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數的問題時，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．2．數學素養的建立通過本例嘗試建立數形結合的思想意識，以及在動態變化中學會用分類討論的思想解決問題．知識點4：集合的運算集合基本運算的關注點(1)看元素組成，集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數形結合思想的應用，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖．【例題精講】例題1（改編自東華高級中學18-19學年中段考）已知，.（1）求和；（2）若記符號，在圖中把表示“集合”的部分用陰影涂黑，并求出.【參考答案】（1）（2）【解析】：（1）由得.即..①集合如圖中的陰影部分；17題圖②由于所以；例題2（2020-2021光明中學期中考試）已知集合，.（1）當時，求.（2）若，求實數m的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）時，；；（2）由得；當時，有，則；當時，有解得.綜上所述，實數m的取值范圍是或.變式1設集合，；（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍；（3）若，求實數的值；變式2設集合，，若，則實數的取值范圍是__________；若，則實數的取值范圍是___________．①或；②；例題3（山東實驗中學19-20學年第一次月考）設集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求實數a，m的取值范圍．解A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．因為A∪B＝A，所以B?A，所以B可能為?，{1}，{2}，{1,2}，因為Δ＝(－a)2－4(a－1)＝(a－2)2≥0，所以B≠?，又因為x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，所以B中一定有1，所以a－1＝1或a－1＝2，即a＝2或a＝3.經驗證a＝2，a＝3均滿足題意，又因為A∩C＝C，所以C?A.所以C可能為?，{1}，{2}，{1,2}．當C＝?時，方程x2－mx＋2＝0無解，所以Δ＝m2－8＜0，所以－2eq\r(2)＜m＜2eq\r(2).當C＝{1}時，m無解；當C＝{2}時，m也無解；當C＝{1,2}時，m＝3.綜上所述，a＝2或a＝3，－2eq\r(2)＜m＜2eq\r(2)或m＝3.變式3設全集，集合，；若，求實數的值；知識點5集合新定義問題解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(1)緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質搞清楚．(2)尋找特殊元素，解題時要善于發現試題中可以使用集合性質的特殊元素，用好集合的性質．例題1（山東省實驗中學19-20學年月考）若集合A具有以下性質．(1)0∈A,1∈A；(2)若x∈A，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時，eq\f(1,x)∈A.則稱集合A是“好集”．下列命題正確的個數是()①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；②有理數集Q是“好集”；③設集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，則x＋y∈A.A．0 B．1C．2 D．3【答案】①集合B不是，因1－(－1)＝2不在集合B中．②③對．變式1定義集合運算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，設A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B的所有元素的和為()A．0 B．2C．3 D．6【答案】x的取值分別是1,2，y的取值分別是0,2，則z＝0,2,4，集合A*B3個元素的和為6.變式2設是整數集的一個非空子集，對于，如果且，那么是的一個“孤立元”，給定，2，3，4，，則的所有子集中，只有一個“孤立元”的集合共有A．10個 B．11個 C．12個 D．13個【解答】解：“孤立元“是1的集合：；，3，；，4，；，3，4，；“孤立元“是2的集合：；，4，；“孤立元“是3的集合：；“孤立元“是4的集合：；，2，；“孤立元“是5的集合：；，2，；，3，；，2，3，．共有13個；故選：．變式3（2021?上海模擬）已知非空集合滿足：對任意，總有且，若，1，2，3，4，，則滿足條件的個數是A．11 B．12 C．15 D．16【解答】解：由題意是集合，3，4，的非空子集，有15個，且2，4不同時出現，同時出現有4個，故滿足題意的有11個，故選：．變式4已知數集具有性質對任意的，與兩數中至少有一個屬于．⑴分別判斷數集與是否具有性質，并說明理由；⑵證明：，且．⑴由于與均不屬于數集，所以該數集不具有性質．由于，，，，，，，，，都屬于數集，所以該數集具有性質．⑵因為具有性質，所以與中至少有一個屬于．由于，所以，故．從而，故．因為，所以，故．由具有性質可知．又因為，所以．從而，故．限時訓練：方法1：數形結合法【例題精講】數軸法例題1已知集合，，若，則實數的取值范圍是_________；【答案】a變式1設集合，，若，則實數的取值范圍是_________；【答案】a韋恩圖法例題2某班有36名同學參加數