三角形全等的判定（二）（SAS）

2023—2024學年人教版數學八年級上冊上節課我們已經探究出一種三角形全等的判定方法：“邊邊邊”．本節課，我們繼續探究三角形全等的條件．①三個角；②三條邊；③兩邊一角；④兩角一邊．兩個條件的探究中,已證實不可行．SSS？思考兩邊一角中，兩條邊與一個角在位置上有幾種可能性？邊—邊—角下面我們分別探究這兩種情況．邊—角—邊操作先任意畫出一個△ABC，再畫出一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，A′C′＝AC（即兩邊和它們的夾角分別相等）．把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們全等嗎？ABCA′

DEB′

C′

畫一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，A′C′＝AC：（1）畫∠DA′E＝∠A；（2）在射線A′D上截取A′B′＝AB，在射線A′E上截取A′C′＝AC；（3）連接B′C′．ABCA′

DEB′

C′

ABC畫一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，A′C′＝AC：（1）畫∠DA′E＝∠A；（2）在射線A′D上截取A′B′＝AB，在射線A′E上截取A′C′＝AC；（3）連接B′C′．A′

DEB′

C′

ABC現象：兩個三角形放在一起能完全重合．說明：這兩個三角形全等．歸納由前面的操作，可以得到以下基本事實，用它可以判定兩個三角形全等：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）．三角形的兩條邊的長度和它們的夾角的大小確定了，這個三角形的形狀、大小就確定了．仔細觀察下面的動圖，感受“邊角邊”的探究過程．仔細觀察下面的動圖，感受“邊角邊”的探究過程．如圖，在△ABC

和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC

和△ABD

不全等．

思考如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC．固定住長木棍，轉動短木棍，得到△ABD．這個實驗說明了什么？A

CBDA

CBD思考如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC．固定住長木棍，轉動短木棍，得到△ABD．這個實驗說明了什么？說明：有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等．因此，“SSA”不能作為判定兩個三角形全等的依據．仔細觀察下面的動圖，進一步理解“邊邊角”不能判定三角形全等．仔細觀察下面的動圖，進一步理解“邊邊角”不能判定三角形全等．注意：在“邊角邊”這個判定方法中，包含了邊和角兩種元素，一定要記住角是兩邊的夾角，而不是其中一邊的對角；在應用該方法時，要觀察圖形確定三個條件，按“邊-角-邊”的順序排列，并按此順序書寫．例1

如圖，CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB．求證：DE＝AB．ABCDE分析：（1）DE和AB分別在哪兩個三角形中？分別在△DCE

和△ACB中．

（2）要證明這兩個三角形全等，已知哪些條件？缺少什么條件？已知條件：CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB．缺少條件：∠DCE＝∠ACB．（3）怎樣能得出缺少的條件？由∠DCA＝∠ECB，得∠DCA＋∠ACE＝∠ECB＋∠ACE．故∠DCE＝∠ACB．ABCDE例1

如圖，CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB．求證：DE＝AB．證明：∵∠DCA＝∠ECB，∴∠DCA＋∠ACE＝∠ECB＋∠ACE，即∠DCE＝∠ACB．∴△DCE≌△ACB（SAS）．∴DE＝AB．在△DCE和△ACB中，ABCDE例1

如圖，CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB．求證：DE＝AB．

例2如圖，點E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求證∠A＝∠D．ADBEFC證明：∵

BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）．∴∠A＝∠D．在求證過程中要注意題目中的隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角等．一般情況下，公共邊是對應邊，公共角是對應角，對頂角是對應角．例3

如圖，有一池塘，要測池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個點C，從點C不經過池塘可以直接到達點A

和B．連接AC并延長到點D，使CD＝CA．連接BC并延長到點E，使CE＝CB．連接DE，那么量出DE的長就是A，B的距離．為什么？分析：如果能證明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE．由題意可知，△ABC

和△DEC具備“邊角邊”的條件．證明：在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（