第二十二章二次函數22.3實際問題與二次函數

學習目標-新課導入-新知探究-課堂小結-課堂訓練第2課時二次函數與最大利潤問題

學習目標1.能應用二次函數的性質解決商品銷售過程中的最大利潤問題.（重點）2.弄清商品銷售問題中的數量關系及確定自變量的取值范圍.（難點）

新課導入（1）營銷問題的基本等量關系：

總利潤=每件利潤×銷售量

每件利潤=每件售價﹣每件進價.（2）拋物線

的最值問題：①若a>0，則當x=

時，y最小值=

；

②若a<0，則當x=

時，y最大值=

.

探究2某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？漲價銷售①設每件漲價x元，每星期售出商品的利潤y元，填空：單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售漲價銷售2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函數關系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000

新知探究②自變量x的取值范圍如何確定？

營銷規律是價格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤30.③漲價多少元時，利潤最大，最大利潤是多少？y=-10x2+100x+6000，當

時,y=-10×52+100×5+6000=6250.

即定價65元時，最大利潤是6250元.

新知探究降價銷售①設每件降價x元，每星期售出商品的利潤y元，填空：單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售降價銷售2030020-x300+20xy=(20-x)(300+20x)建立函數關系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.探究2某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？6000

新知探究綜合可知，應定價65元時，才能使利潤最大.②自變量x的取值范圍如何確定？營銷規律是價格下降，銷量上升，因此只要考慮單件利潤就可以，故20-x

≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤20.③漲價多少元時，利潤最大，是多少？

即定價57.5元時，最大利潤是6125元.即：y=-20x2+100x+6000，

新知探究當

時,歸納總結：求解最大利潤問題的一般步驟（1）建立利潤與價格之間的函數關系式：運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量”（2）結合實際意義，確定自變量的取值范圍；（3）在自變量的取值范圍內確定最大利潤：可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數的簡圖，利用簡圖和性質求出.

新知探究例1

東坡商貿公司購進某種水果的成本為20元/kg，經過市場調研發現，這種水果在未來48天的銷售單價p（元/kg）與時間t（天）之間的函數關系式為且其日銷售量y（kg）與時間t（天）的關系如下表：時間t（天）1361020…日銷售量y（kg）11811410810080…

新知探究（1）已知y與t之間的變化規律符合一次函數關系，試求在第30天的日銷售量是多少？解：依題意，設y=kt+b，將（10，100），（20，80）代入y=kt+b，解得：∴日銷售量y（kg）與時間t（天）的關系

y=120-2t，

當t=30時，y=120-60=60，∴在第30天的日銷售量為60千克.

新知探究（2）問哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？解：設日銷售利潤為W元，則W=（p-20）y，當1≤t≤24時，W當t=10時，W最大=1250；當25≤t≤48時，W當t=25時，W最大=1085，

∵1250＞1085，∴在第10天的銷售利潤最大，最大利潤為1250元.

新知探究（3）在實際銷售的前24天中，公司決定每銷售1kg水果就捐贈n元利潤（n＜9）給“精準扶貧”對象.現發現：在前24天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求n的取值范圍.解：設每天扣除捐贈后的日銷售利潤為m元，由題意得m=∵前24天，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，∴2n+10≥24，∴n≥7，又∵n<9，∴n的取值范圍為7≤n<9.

新知探究最大利潤問題建立函數關系式總利潤=單件利潤×銷售量或總利潤=總售價-總成本.確定自變量取值范圍漲價:要保證銷售量≥0；降件：要保證單件利潤≥0.確定最大利潤利用配方法或公式求最大值或利用函數簡圖和性質求出.

課堂小結1.小紅的爸爸是個服裝店老板，將進價為100元的服裝按x元出售，每天可銷售（200－x）件，若想獲得最大利潤，則x應定為（

）A.150元

B.160元

C.170元

D.180元A

課堂訓練2.某種商品每件的進價為20元，調查表明：在某段時間內若以每件x元（20≤x≤30)出售，可賣出（300－20x）件，使利潤最大，則每件售價應定為

元.25

課堂訓練3.進價為80元的某件定價100元時，每月可賣出2000件，價格每上漲1元，銷售量便減少5件，那么每月售出襯衣的總件數y(件）與襯衣售價x(元)之間的函數關系式為

.每月利潤w(元)與襯衣售價x(元)之間的函數關系式為

.(以上關系式只列式不化簡）.

y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)

課堂訓練1．（2019?無錫）某賓館共有80間客房．賓館負責人根據經驗作出預測：今年7月份，每天的房間空閑數y（間）與定價x（元/間）之間滿足y＝x﹣42（x≥168）．若賓館每天的日常運營成本為5000元，有客人入住的房間，賓館每天每間另外還需支出28元的各種費用，賓館想要獲得最大利潤，同時也想讓客人得到實惠，應將房間定價確定為（

）A．252元/間 B．256元/間 C．258元/間 D．260元/間

課堂訓練

中考鏈接A2．（2020?益陽）某公司新產品上市30天全部售完，圖1表示產品的市場日銷售量與上市時間之間的關系，圖2表示單件產品的銷售利潤與上市時間之間的關系，則最大日銷售利潤是

元．

課堂訓練18003．（2020?遂寧）新學期開始時，某校九年級一班的同學為了增添教室綠色文化，打造溫馨舒適的學習環境，準備到一家植物種植基地購買A、B兩種花苗．據了解，購買A種花苗3盆，B種花苗5盆，則需210元；購買A種花苗4盆，B種花苗10盆，則需380元．（1）求A、B兩種花苗的單價分別是多少元？

課堂訓練解：（1）設A、B兩種花苗的單價分別是x元和y元，則解得：答：A、B兩種花苗的單價分別是20元和30元.（2）經九年級一班班委會商定，決定購買A、B兩種花苗共12盆進行搭配裝扮教室．種植基地銷售人員為了支持本次活動，為該班同學提供以下優惠：購買幾盆B種花苗，B種花苗每盆就降價幾元，請你為九年級一班的同學預算一下，本次購買至少準備多少錢？最多準備多少錢？

課堂訓練（2）設購買B花苗a盆，則購買A花苗為（12﹣a）盆，設總費用為w元，由題意得：w＝20（12﹣a）+（30﹣a）a＝﹣a2+10a+240（0≤a≤12），∵﹣1＜0．故w有最大值，當a＝5時，w的最大值為265，當a＝12時，w的最小值為216，故本次購買至少準備216元，最多準備265元．

課堂訓練4．（2020?十堰）某企業接到生產一批設備的訂單，要求不超過12天完成．這種設備的出廠價為1200元/臺，該企業第一天生產22臺設備，第二天開始，每天比前一天多生產2臺．若干天后，每臺設備的生產成本將會增加，設第x天（x為整數）的生產成本為m（元/臺），m與x的關系如圖所示．（1）若第x天可以生產這種設備y臺，則y與x的函數關系式為

，x的取值范圍為

；y=2x+201≤x≤12（2）第幾天時，該企業當天的銷售利潤最大？最大利潤為多少？

課堂訓練（2）設當天的銷售利潤為w元，則當1≤x≤6時，w＝（1200﹣800）（2x+20）＝800x+8000，當6＜x≤12時，設m＝kx+b，將（6，800）和（10，1000）代入得：解得：，∴m與x的關系式為：m＝50x+500，∵800＞0，∴w隨x的增大而增大，∴當x＝6時，w最大值＝800×6+8000＝12800．∴w＝[1200﹣（50x+500）]×（2x+20）＝﹣100x2+400x+14000＝﹣100（x﹣2）2+14400．∵此時圖象開口向下，在對稱軸右側，w隨x的增大而減小，且x為整數，∴當x＝7時，w有最大值，為11900元，∵12800＞11900，∴當x＝6時，w最大，且w最大值＝12800元，答：該廠第6天獲得的利潤最大，最大利潤是1