熱點三不等式【考點精要】考點一.一元二次不等式及其應用.主要考查一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程“三個二次”的關系.特別當一元二次不等式的解集是或R的情況的等價命題：的解集是R或.如：設為整數，方程在區間（0,1）內有兩個不同實根，則的最小值為（D）A．-8B.8C.12D.13考點二.絕對值不等式..解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號，將其等價轉化為一元一次（二次）不等式（組）進行求解.如:(2011年山東理)若不等式的解集為，則實數k=__________.解析：由可得，即，而，所以.另解：由題意可知是的兩根，則，解得.考點三.二元一次不等式組與簡單的線性規劃問題.了解線性規劃的意義，了解線性約束條件、線性目標函數、可行域、最優解等知識點.考查用線性規劃的方法解決兩種重要的實際問題：一是給定一定數量的人力、物力資源，怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務，怎樣統籌安排能使完成這項任務耗費的人力、物力資源最小.如：設實數滿足不等式組若為整數，則的最小值是()A．14 B．16 C．17 D．19答案:B考點四.不等式的性質.重點考查均值不等式、絕對值不等式、三角不等式、一元二次不等式.一般不直接單獨命題，往往與指數函數、對數函數、冪函數等結合進行考查.如：設為正實數，，，則()A. B. C. D.1提示：由，得．又，即．①于是．再由不等式=1\*GB3①中等號成立的條件，得，則，故選A考點五.利用不等式考查函數的性質.利用不等式的性質考查函數的性質如單調性、周期性、參數的范圍等.此類題既可以是選擇題、填空題也可以是解答題，考查的范圍比較廣.如：（2010·江蘇11）已知函數，則滿足不等式的取值范圍是.考點六.函數的最值.通過考查函數的最值進而考查學生對不等式的性質、函數的性質的理解和掌握.此類問題綜合性較強，多以解答題的形式進行考查，需要學生具備較好的基礎知識，并且具有靈活分析問題、解決問題的能力.如：設．若時，，且在區間上的最大值為1，求的最大值和最小值．提示：由題意函數圖象為開口向上的拋物線，且在區間上的最大值只能在閉端點取得，故有，從而且．若有實根，則，在區間有即消去c，解出即，這時，且．若無實根，則，將代入解得．綜上．所以，單調遞減，故．考點七.無理不等式的解法.通常以不等式的性質為依據，等價轉化為有理不等式組，對于某些特殊的無理不等式，可以考慮用數形結合的方法求解.如函數及等的圖像與性質.考點八.利用函數的單調性、恒成立問題解不等式.利用函數的單調性、恒成立問題解不等式.此類問題多出現在解答題中，運算較為復雜，其關鍵是找到（列出）不等式（組），再解不等式（組），其中引進參變量是一種常用的策略：恒成立.如：都有恒成立，求的最大值.解析：令，則.（1）當時，，畫出平面域，如圖，利用線性規劃知識可以解得.（2）當時，，由，構造關于的一次函數可得.（3）當時，則或或，仿（1）解得或或，綜上可得.考點九.分式不等式的解法.一般是將分式不等式轉化為整式不等式,如一元二次不等式組,在一些選擇題和填空題中,有時也用穿根法解.即：，，用“穿根法”解不等式時應注意：①各一次項中的系數必為正；②對于偶次或奇次重根可轉化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．如:（2011年高考上海卷理科4)不等式的解為.【答案】或考點十.基本不等式的應用.基本不等式這幾年在高考題中時常出現,主要是求一些函數的最值,注意“一正、二定、三相等”.特別注意的是，當等號不能成立時，用“對號函數”（）（有的資料叫勾函數）的單調性.如：若實數x，y滿足，則的最大值是________．巧點妙撥1．高考對不等式的考查有兩種：一種是直接利用基本不等式進行放縮或求最值；另一種是先利用配湊法進行恒等變形，再利用基本不等式求最值，該類問題以選擇、填空為主.2．復習不等式的解法時，加強等價轉化思想的訓練與復習，通過等價轉化可簡化不等式（組），以快速、準確求解．加強函數與方程思想在不等式中的應用訓練．不等式、函數、方程三者密不可分，相互聯系、互相轉化．如求參數的取值范圍問題，函數與方程思想是解決這類問題的重要方法．在不等式的證明中，加強化歸思想的復習，證明不等式的過程是一個把已知條件向要證結論的一個轉化過程，既可考查學生的基礎知識，又可考查學生分析問題和解決問題的能力.因為證明不等式是高考考查學生代數推理能力的重要素材，復習時應引起我們的足夠重視．3．強化不等式的應用,突出不等式的知識在解決實際問題中的應用價值，借助不等式來考查學生的應用意識．高考中除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數、數列、立體幾何、解析幾何和實際應用問題的試題中涉及不等式的知識，加強不等式應用能力，是提高解綜合題能力的關鍵．因此，在復習時應加強這方面訓練，提高應用意識，總結不等式的應用規律，才能提高解決問題的能力．【典題對應】例1.(2014·山東理5)已知實數滿足，則下列關系式恒成立的是()A.B.C.D.命題意圖：本題主要考查基本不等式的性質、對數函數、三角函數的性質，主要是值域的大小比較.解析：，排除A,B，對于C，是周期函數，排除C.答案：D名師坐堂：對于此類選擇題，可以巧妙采用特殊值法進行求解.如列舉帶入驗證即可.例2.(2014·山東理9)已知滿足的約束條件當目標函數在該約束條件下取得最小值時，的最小值為()A.5 B.4 C. D.2命題意圖：本題考查線性規劃的應用，目標函數的實際意義，距離的幾何意義.解析：求得交點為，則，即圓心到直線的距離的平方.答案：B名師坐堂：線性規劃首先應找準可行域，求得交點，弄清欲求值與可行域中的點、線、域的關系，應用最多的是斜率，其次是截距，再次是距離，求解時應注意靈活掌握.例3.(2013·山東理6)在平面直角坐標中，為不等式組，所表示的區域上的一動點，則直線的斜率的最小值為()A.2 B.1 C. D.命題意圖：本題綜合考查了線性規劃問題和直線的斜率問題.，要求能準確地畫出不等式表示的平面區域,并且能夠求得目標函數的最值.解析：作出可行域，該可行域為點（1,0），（2，2），（3，-1）形成的三角形.因此直線的最小值為.故選C.名師坐堂：本題應先畫出可行域，根據條件求出求出最值.求線性目標函數的最值關鍵是將目標函數進行平移，以確定最優解所對應的點的坐標.例4.(2013·山東理12)設正實數，，滿足，則當取得最大值時，的最大值為()A.0 B.1 C. D.3命題意圖：本題主要考查基本不等式、二次函數的最值，考查對數學表達式的病性能力、消元思想以及運用化歸與轉化思想解決問題的能力.解析：由，得，故，當且僅當，即時，取等號，即取得最大值時，，.此時，，其最大值為1.名師坐堂：解題的關鍵在于弄清何時取得最大值，而對于多變量函數，消元為常見思路.例5.(2012·山東理13)若不等式的解集為，則實數k=__________.命題意圖：本題綜合考查了含絕對值不等式的解法及去掉絕對值號的方法，會解簡單的一元二次不等式.解析：由可得，即，而，所以.另解：由題意可知是的兩根，則，解得.名師坐堂：解含絕對值的不等式，關鍵是要把它化為不含絕對值的不等式，然后把不等式等價轉化為不等式組，變成求不等式組的解．運用零點討論法時，要注意找零點去絕對值符號最好畫數軸，零點分段，然后從左向右逐段討論，這樣做條理分明、不重不漏．【命題趨向】不等式是聯系方程、函數、導數、三角、線性規劃等的橋梁與紐帶，在教材占有較重的分量，在高考中每年均有涉及，考查時常將不等式與導數不等式與圓錐曲線、不等式與函數、不等式與數列等結合在一起進行考查.每一年的分值在20分左右.【直擊高考】1．已知a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中m、n為正數)，若a∥b，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值是()A. B． C. D．2．若實數x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≥－x＋b，))且z＝2x＋y的最小值為4，則實數b的值為()A．0 B．2 C．3 D．43．設函數，則滿足的x的取值范圍是()A．[—1,2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+）4．設變量滿足，則的最大值和最小值分別為()A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－15．若對任意x∈A，y∈B，(A?R，B?R)有唯一確定的f(x，y)與之對應，則稱f(x，y)為關于x，y的二元函數．滿足下列性質的二元函數f(x，y)稱為關于實數x，y的廣義“距離”：(1)非負性：f(x，y)≥0，當且僅當x＝y時取等號；(2)對稱性：f(x，y)＝f(y，x)；(3)三角形不等式：f(x，y)≤f(x，z)＋f(z，y)對任意的實數z均成立．今給出三個二元函數：①f(x，y)＝|x－y|；②f(x，y)＝(x－y)2；③f(x，y)＝eq\r(x－y).其中能夠成為關于x，y的廣義“距離”的二元函數的序號是()A．① B．①② C．②③ D．①②③6．不等式對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為()A．（-∞，-1] B．[-∞，-2）∪[5，+∞） C．[1，2] D．（-∞，1]∪[2，+∞）7.已知a、b、c、d∈R＋且S＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(b,b＋c＋d)＋eq\f(c,c＋d＋a)＋eq\f(d,a＋b＋d)，則下列判斷中正確的是()A．0<S<1 B．1<S<2 C．2<S<3 D．3<S<48．函數的最大值為.9．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數.當橋上的的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當時，車流速度v是車流密度x的一次函數．（Ⅰ）當時，求函數的表達式;（Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀點的車輛數，單位：輛/每小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）.10．若實數、、滿足，則稱比遠離.（1）若比遠離0，求的取值范圍；（2）對于任意兩個不相等的正數、，證明：比遠離；（3）已知函數的定義域.任取，等于和中遠離0的那個值，寫出函數的解析式，并指出他的基本性質（結論不要求證明）.11.已知函數f(x)＝ex＋2x2－3x.(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)當x≥eq\f(1,2)時，若關于x的不等式f(x)≥eq\f(5,2)x2＋(a－3)x＋1恒成立，試求實數a的取值范圍．

熱點三不等式【直擊高考】1.解析：向量a∥b的充要條件是m×1＝1×(1－n)，即m＋n＝1，故eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))＝3＋eq\f(n,m)＋eq\f(2m,n)≥3＋2eq\r(2).答案：選C. 2.解析：C畫出可行域可知y＝－2x＋z過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,3)，\f(2b,3)))時z取得最小值，所以2×eq\f(b,3)＋eq\f(2b,3)＝4，b＝3.3.解析：分兩種情況討論最后求并集，答案為D.4.解析：根據題意劃出可行域，根據線性規劃求最值的方法易求得答案為B.5.解析：對函數f(x，y)＝|x－y|，∵f(x，y)≥0，當且僅當x＝y時取等號，滿足非負性；f(y，x)＝|y－x|＝|x－y|＝f(x，y)，滿足對稱性；由|a＋b|≤|a|＋|b|得|x－y|＝|(x－z)＋(z－y)|≤|x－z|＋|z－y|對任意的實數z均成立．即f(x，y)≤f(x，z)＋f(z，y)，滿足三角形不等式．故①滿足廣義“距離”．對函數f(x，y)＝(x－y)2，顯然滿足非負性和對稱性．∵當z＝0時，f(x，y)－[f(x,0)＋f(0，y)]＝－2xy，顯然不恒小于等于零，故不滿足三角形不等式，故②不滿足廣義“距離”．對函數f(x，y)＝eq\r(x－y)，顯然不滿足對稱性．故③不滿足廣義“距離”．故選A.6.解析：函數的最大值為4，由已知條件，即，解得，或，選A。7.解析：[答案]Beq\f(a,a＋b＋c＋d)<eq\f(a,a＋b＋c)<eq\f(a,a＋c)；eq\f(b,a＋b＋c＋d)<eq\f(b,b＋c＋d)<eq\f(b,d＋b)；eq\f(c,a＋b＋c＋d)<eq\f(c,c＋d＋a)<eq\f(c,c＋a)；eq\f(c,a＋b＋c＋d)<eq\f(d,d＋a＋b)<eq\f(d,d＋b).以上四個不等式相加得，1<S<2.8.解析：令，則，從而。當時，；當時，當且僅當，即時，取等號，故答案為。9.解析：Ⅰ）由題意：當；當再由已知得故函數的表達式為（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得當為增函數，故當時，其最大值為60×20=1200；當時，當且僅當，即時，等號成立。所以，當在區間[20，200]上取得最大值綜上，當時，在區間[0，200]上取得最大值。即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時。10.解析：（1）由題意，得，或，即或，的取值范圍是。（2）證明：當、是不相等的正數時，。又，則，，比遠離。（3）解：若，則；同理，若，則或。于是，函數的解析式是，函數的最小正周期。函數是非奇非偶函數。當或時，函數取得最大值1；當或時，函數取得最小