基于數(shù)字相關(guān)原理的相位差自動測量

1利用數(shù)字相關(guān)原理進行的相關(guān)誤差測量相位差的工作原理隨著處理器和大規(guī)模集成電路的快速發(fā)展，傳統(tǒng)的測量方法已經(jīng)取代了數(shù)字測量方法。近年來,相關(guān)技術(shù)原理在數(shù)字信號處理中得到了廣泛應(yīng)用。本文提出了一種利用數(shù)字相關(guān)原理來測量相位差的方法。這種方法可以提高測試精度,減少硬件,充分利用測試系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和微型計算機,提高了測試系統(tǒng)的可靠性和可維護性,在相位差自動測量中具有良好的應(yīng)用前景。2fpga采樣采樣設(shè)被測信號為v1(t)=V1sinωt(1)v2(t)=V2sin(ωt-φ)(2)其中,φ為相位差,ω=2πf,f為信號頻率。顯然,v1與v2是相關(guān)的,可以利用相關(guān)原理對v2進行采樣測量,再通過相關(guān)計算求得相位差φ。將式(2)展開,得v2(t)=asinωt+bcosωt(3)其中,a=V2cosφ,b=-V2sinφ。則φ=tg-1-ba(4)φ=tg?1?ba(4)將式(3)兩邊同乘以cosωt后,進行積分,有∫t1+Τt1t1+Tt1cosωt·v2(t)dt=∫t1+Tt1asinωtcosωtdt+∫t1+Τt1t1+Tt1bcos2ωtdt(5)式中t1為任意值,T為信號周期。由三角函數(shù)性質(zhì),可推得a=2Τa=2T∫t1+Τt1t1+Tt1sinωt·v2(t)dt(6)同樣可得b=2Τb=2T∫t1+Τt1t1+Tt1cosωt·v2(t)dt(7)設(shè)N=T/ΔT,將式(6)、(7)轉(zhuǎn)換成離散函數(shù)得a=2Νa=2NΝ-1∑n=0∑n=0N?1sin(nωΔT)·v2(nΔT)(8)b=2Νb=2NΝ-1∑n=0∑n=0N?1cos(nωΔT)·v2(nΔT)(9)用A/D變換器對v2(t)進行采樣得到v2(nΔt),經(jīng)相關(guān)計算后,由式(4)就可以得出相位差φ。測量原理如圖1所示,信號v1(t)經(jīng)通道1后取出其正向過零脈沖信號,作為A/D變換器的觸發(fā)啟動信號;微處理器通過控制電路控制A/D變換器對v1(t)的采樣,并在采樣完成后,從RAM中讀取采樣數(shù)據(jù),進行數(shù)據(jù)處理、計算,最后得到相位差φ,進行顯示或打印輸出。但這種方法必須預(yù)先知道v1(t)或v2(t)的頻率,這可以通過A/D變換器采樣數(shù)據(jù)的計算求得或者用其它辦法測量。在多數(shù)應(yīng)用中,v1(t)是已知的。例如測量線性系統(tǒng)的幅頻和相頻特性時,通常對被測系統(tǒng)加入設(shè)定的激勵信號v1(t),并測量輸出信號v2(t)。3差性噪聲eln相關(guān)法測量相位差的誤差來源很多,主要是由量化誤差、噪聲干擾所引起的。本文只討論量化誤差、噪聲干擾所引起的誤差。在式(8)、(9)中,v2(nΔT)是信號v2(t)的幅度采樣值,而由A/D變換器所得到的實際采樣值并不等于v2(nΔT)。由于A/D變換器的量化位數(shù)是有限的,所以存在量化誤差;另外,由于信號在傳輸過程中有噪聲疊加,引起隨機誤差。在數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中,量化噪聲是一類重要的隨機誤差,這類誤差是由于A/D變換器的非線性傳輸特性引起的。在分析量化噪聲時,可把A/D變換器看作從連續(xù)幅度的輸入到離散幅度輸出的一種非線性映射,這種映射引起的誤差,可以利用隨機統(tǒng)計方法也可以利用非線性確定方法進行研究。但為了分析方便,目前多數(shù)文獻采用的是隨機統(tǒng)計方法。隨機統(tǒng)計方法就是將A/D變換器的輸出等效為被取樣的連續(xù)幅度的輸入與附加噪聲之和。設(shè)A/D變換器的量化噪聲為el(n)。另外,只考慮有高斯白噪聲時的情況,設(shè)高斯白噪聲為eg(n),于是用A/D變換器取樣得到的采樣值實際為vx(n)=v2(n)+eg(n)+el(n)(10)由式(8)可知,經(jīng)A/D變換器取樣,a的實際值為ax=2Νax=2NΝ-1∑n=0∑n=0N?1sin(nωΔT)·vx(nΔT)=a′+ag+al(11)其中a′=2Νa′=2NΝ-1∑n=0∑n=0N?1sin(nωΔT)·v2(nΔT)=a(12)ag=2Νag=2NΝ-1∑n=0sin(nωΔΤ)?eg(nΔΤ)=2ΝΝ-1∑n=0sin2πnΝ?eg(n)(13)al=2ΝΝ-1∑n=0sin(nωΔΤ)?el(nΔΤ)=2ΝΝ-1∑n=0sin2πnΝ?el(n)(14)因此,ax=a+ae(15)其中,誤差項ae=ag+al,ag是由高斯白噪聲引起的誤差,al是由量化噪聲引起的誤差。設(shè)eg(t)的均值為0,方差為σ2g的高斯隨機變量,則由式(13)可得σ2ag=σ2gΝ(16)設(shè)A/D變換器為舍入式的均勻量化器,量化間隔為Δ,則el(t)是以等概率落在(-Δ/2,Δ/2)內(nèi)。因此,el(t)服從均勻分布,均值為0,方差為(Δ2/12)。由式(14)可得σ2al=Δ212Ν(17)考慮ag與al相互獨立,有σ2ae=σ2ag+σ2al=σ2gΝ+Δ212Ν(18)同樣,可得bx=b+be(19)其中,be=bg+bl為誤差項,bg是由高斯白噪聲引起的誤差,bl是由量化噪聲引起的誤差,并且有bl=2ΝΝ-1∑n=0cos2πnΝ?el(n)(20)bg=2ΝΝ-1∑n=0cos2πnΝ?eg(n)(21)σ2be=σ2bg+σ2bl=σ2gΝ+Δ212Ν(22)由式(4),可得相位差φ的標(biāo)準(zhǔn)偏差為σ2φ=(?φ?a)2σ2ae+(?φ?b)2σ2be=b2(a2+b2)2σ2ae+a2(a2+b2)2σ2be=1a2+b2(σ2gΝ+Δ212Ν)=1ΝV22(σ2g+Δ212)(23)于是,得σφ=1√Ν√σ2gV22+(Δ/V2)212(24)如令SΝ=V22σ2g,為輸入信號的信噪比;并設(shè)A/D變換器的位數(shù)為m,則有ΔV2=22m-1,代入式(24),得σφ=1√Ν√1SΝ+13(2m-1)2(25)由此可見,相關(guān)法相位差測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差與取樣點數(shù)的平方根成反比;同時,也與信噪比和A/D變換器的位數(shù)有關(guān),信噪比越大,A/D變換器的位數(shù)越多,測量誤差越小。在工程上,一般用極限誤差來表征隨機誤差的大小,即Δmax=3σφ=3σφ=3√Ν√1SΝ+13(2m-1)2(26)4相關(guān)法測量相位差的確定原則為驗證上述分析的正確性,我們在計算機上進行了模擬實驗。設(shè)實驗信號為v1(t)=sin2πt(27)v2(t)=sin(2πt+π/3)(28)則A/D變換器取樣值及φx計算值為v′2(n)=sin(2πnΝ+π3)+eg(n)+el(n)(29)ax=2ΝΝ-1∑n=0sin2πnΝ?v′2(n)(30)bx=2ΝΝ-1∑n=0cos2πnΝ?v′2(n)(31)φx=360°2π?tg-1-bxax(32)其中,eg(n)是均值為零且方差為σ2g的高斯分布的隨機變量,其信噪比為SN=v22/σ2g=1/σ2g。el(n)是均值為零且在(-Δ/2,Δ/2)上均勻分布的隨機變量,若A/D變換器的位數(shù)為m,則有Δ=ΔV2=22m-1(33)改變變量N(取樣點數(shù))、SN(信噪比)、m(A/D變換器的位數(shù))的值,計算φx,可以得到如圖2～圖7所示的結(jié)果。由此,可得到A/D變換器取樣點數(shù)N及A/D變換器的位數(shù)m的確定原則和以下結(jié)論。相關(guān)法測量相位差的誤差與取樣點數(shù)N、信噪比SN和A/D變換器的位數(shù)m有關(guān)。其中,A/D變換器的位數(shù)m對誤差影響較小,在實際應(yīng)用中8位以上均可,當(dāng)信噪比較高時(>50dB),可以考慮加大m,16位的A/D變換器可以滿足SN<100dB情況的測量;取樣點數(shù)N>64基本上可以滿足要求,由式(25)可知,σφ與√Ν成反比,考慮到A/D變換器采樣速度和計算機計算容量等問題,N取64～512較為合適;相對而言,信噪比SN對測量影響較大,但由式(3