2023～2024學年度第一學期期中考試高一數學考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前．考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：必修一第一章、第二章、第三章、第四章第1節．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用交集的定義運算即可.【詳解】由題意可知.故選：D2.命題：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由特稱命題的否定判斷．【詳解】由題意得，的否定是，，故選：B3.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用具體函數定義域的求法求解即可.【詳解】由題意可得：，解得.故選：D.4.已知、，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的基本性質可判斷A選項；取，，可判斷BCD選項.【詳解】對于A選項，因為，由不等式的基本性質可得，A對；對于B選項，取，，則，B錯；對于C選項，取，，則，C錯；對于D選項，取，，則，D錯.故選：A.5.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數冪的運算法則即可得解.【詳解】.故選：A.6.某班共有38人，其中21人喜愛跑步運動，15人喜愛籃球運動，10人對兩項運動都不喜愛，則對兩項運動都喜愛的人數為（）A.5 B.6 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】設對兩項運動都喜愛的人數為，根據已知作出venn圖，根據venn圖列出關系式，求解即可得出答案.【詳解】設對兩項運動都喜愛的人數為根據已知作出venn圖，根據venn圖可得，，解得.故選：C.7.若函數在R上為減函數，則實數a取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據分段函數的單調性列式求解.【詳解】由題意可得，解得，所以實數a的取值范圍為.故選：A.8.設，定義運算“”和“”如下：，．若正數m，n，p，q滿足，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由運算“Δ”和“?”定義，舉例可判斷選項A、B、C錯誤；由不等式的性質可證明選項D正確．【詳解】由運算“”和“”定義知，表示數較小的數，表示數較大的數，當時，，故選項A、C錯誤；當時，，故選項B錯誤；∵，且，∴，∵，，∴，故選項D正確；故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知集合，，若，則的取值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】AC【解析】【分析】根據并集的概念及運算即可得到結果.【詳解】∵集合，，∴，或.故選：AC.10.下列各組函數表示同一個函數的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】BD【解析】【分析】先求出各項兩個函數的定義域，若定義域相同，則判斷對應關系、解析式是否一致，即可得出答案.【詳解】對于A項，函數的定義域為R，的定義域為，兩個函數定義域不相同，故A項錯誤；對于B項，函數的定義域為R，的定義域為R，兩個函數定義域相同，且，所以兩個函數相同，故B項正確；對于C項，函數的定義域為R，的定義域為R，兩個函數定義域相同，但是解析式不相同，故C項錯誤；對于D項，函數的定義域為R，的定義域為R，兩個函數定義域相同，且對應關系也一致，故D項正確.故選：BD.11.二次函數的部分圖象如圖所示，則下面結論中正確的是（）A. B.C. D.當時，【答案】ABC【解析】【分析】利用二次函數的圖像和性質逐個選項判斷即可.【詳解】根據圖像可得，，，A正確；由對稱性和時，，所以時，，即，，當時，，BC正確，D錯誤.故選：ABC12.若函數滿足，，且，，則（）A.在上單調遞減 B.C. D.若，則或【答案】ABD【解析】【分析】先由題設條件得到在上單調遞增，且關于對稱，從而得以判斷A；利用賦值法可判斷B；利用函數的對稱性與單調性，計算得自變量與對稱軸的距離的大小關系，從而判斷CD.【詳解】因為，所以在上單調遞增，且關于對稱，則在上單調遞減，故A正確；因為，令，得，故B正確；因為，所以，故C錯誤；若，則，解得或，故D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷非選擇題（10小題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數，則______．【答案】【解析】【分析】根據已知求出的值，代入即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，.故答案為：.14.若命題“，”為真命題，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據題意，將問題轉化為能成立問題，求其最大值，即可得到結果.【詳解】命題“，”為真命題，即，，設，，當時，取得最大值為，所以，即的取值范圍為.故答案為：15.已知正實數，滿足，則的最小值為________________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．【詳解】因為，則，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.16.表示不超過x的最大整數，如，，，已知且滿足，則______．【答案】3【解析】【分析】根據已知可推得，進而求得范圍，代入，求出整數部分，即可得出答案.【詳解】因為，且每一項都是整數，又，所以，，所以有，所以，所以，，所以，.故答案為：3.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知全集，，，求：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用集合的交集運算求解；（2）利用集合的補集和并集運算求解.【小問1詳解】解：因為，，所以.【小問2詳解】因為或，所以或.18.設：實數滿足，其中，：實數滿足.（1）若，且，均成立，求實數的取值范圍；（2）若成立的一個充分不必要條件是，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，再根據二次不等式求解即可；（2）根據充分不必要條件的性質，結合區間端點的位置關系求解即可.【小問1詳解】當時，由，解得，而由，得，由于，均成立，故，即的取值范圍是.【小問2詳解】由得，因為，所以，故：，因為是的充分不必要條件，所以解得.故實數的取值范圍是.19.已知冪函數在上是增函數，函數為偶函數，且當時，．（1）求函數的解析式；（2）求當時，函數的解析式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用冪函數的定義與性質即可得解；（2）利用函數的奇偶性求解即可.【小問1詳解】因為是冪函數，所以，解得或，又在上是增函數，則，即，所以，則.小問2詳解】因為，所以當時，，當時，，則又因為是上的偶函數，所以，即當時，，20.已知函數是定義在上的奇函數，且．（1）確定函數的解析式并判斷在上的單調性（不必證明）；（2）解不等式．【答案】（1），在上單調遞增（2）【解析】【分析】（1）求出，根據奇函數的定義，列出關系式，即可得出.然后根據，即可得出的值；根據函數單調性的定義，即可判斷函數的單調性；（2）根據（1）的結論，列出不等式組，求解即可得出答案.【小問1詳解】，都有，.因為函數是定義在上的奇函數，所以，，即，所以，.又，即，所以，所以，.，且，則.因為，且，所以，，，所以，所以，，，所以，在上單調遞增.【小問2詳解】由（1）知，為上的奇函數，在上單調遞增.則由，可得，所以有，解得.所以，不等式的解集為.21.如圖所示，將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，且對角線過點，已知米，米.（1）設的長為米，試用表示矩形的面積；（2）當長度是多少時，矩形花壇的面積最小?并求出最小值.【答案】（1）（2）的長為2米時，矩形花壇的面積最小，最小值為24平方米.【解析】【分析】（1）設的長為米，則米，由得到AM，然后由求解；（2）由，利用基本不等式求解.【小問1詳解】解：設的長為米，則米，∵，∴，∴；【小問2詳解】記矩形花壇的面積為，則，當且僅當，即時取等號，故的長為2米時，矩形花壇的面積最小，最小值為24平方米.22.若函數.（1）討論的解集；（2）若時，總，對，使得恒成立，求實數b的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）或【解析】【分析】（1）分類討論a的范圍，根據二次方程根的分布情況，解不等式即可；（2）令，原題等價于，對使得恒成立，再根據恒成立與有解關系分別轉化即可求出實數b的取值范圍.【小問1詳解】已知，①當時，時，即；②當時，，若，，解得