3.2回歸分析學習目標核心素養1.會作出兩個有關聯變量的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關關系．2．了解線性回歸模型，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程．(重點、難點)3．了解回歸分析的基本思想、方法及簡單應用.1.通過學習線性回歸分析，提升數據分析、數學建模素養．2．通過對相關關系的學習，提升數學運算、數學抽象素養.1．線性回歸模型(1)線性回歸模型的概念：將y＝a＋bx＋ε稱為線性回歸模型，其中a＋bx是確定性函數，ε稱為隨機誤差．(2)線性回歸方程：直線eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))x稱為線性回歸方程，其中eq\o(a,\s\up8(^))稱為回歸截距，eq\o(b,\s\up8(^))稱為回歸系數，eq\o(y,\s\up8(^))稱為回歸值，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up8(^))＝\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up8(－))2)，,\o(a,\s\up8(^))＝\o(y,\s\up8(－))－\o(b,\s\up8(^))\o(x,\s\up8(－)).))其中eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xi，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))yi.2．相關關系(1)相關系數是精確刻畫線性相關關系的量．(2)相關系數r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xi－\o(x,\s\up8(－))yi－\o(y,\s\up8(－)),\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xi－\o(x,\s\up8(－))2\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))yi－\o(y,\s\up8(－))2))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up8(－))2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))y\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up8(－))2)))).(3)相關系數r具有的性質：①|r|≤1；②|r|越接近于1，x，y的線性相關程度越強；③|r|越接近于0，x，y的線性相關程度越弱．(4)相關性檢驗的步驟：①提出統計假設H0：變量x，y不具有線性相關關系；②如果以95%的把握作出推斷，那么可以根據1－0.95＝0.05與n－2在附錄2中查出一個r的臨界值r0.05(其中1－0.95＝0.05稱為檢驗水平)；③計算樣本相關系數r；④作出統計推斷：若|r|>r0.05，則否定H0，表明有95%的把握認為x與y之間具有線性相關關系；若|r|≤r0.05，則沒有理由拒絕原來的假設H0，即就目前數據而言，沒有充分理由認為y與x之間有線性相關關系．思考1：在回歸直線方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))x中，當一次項系數eq\o(b,\s\up8(^))為正數時，說明兩個變量有何相關關系？在散點圖上如何反映？[提示]說明兩個變量正相關，在散點圖上自左向右看這些點呈上升趨勢．思考2：有什么辦法判斷兩個變量是否具有線性相關關系？[提示]作出散點圖，看這些點是否在某一直線的附近，或通過計算線性相關系數．1．若回歸直線方程中的回歸系數eq\o(b,\s\up8(^))＝0，則相關系數為()A．r＝1 B．r＝－1C．r＝0 D．無法確定C[因為eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝0時，有eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝0，故相關關系r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝0.]2．下列結論正確的是()①函數關系是一種確定性關系；②相關關系是一種非確定性關系；③回歸分析是對具有函數關系的兩個變量進行統計分析的一種方法；④回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法．A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④C[函數關系和相關關系的區別是前者是確定性關系，后者是非確定性關系，故①②正確；回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種方法，故③錯誤，④正確．]3．某考察團對10個城市的職工人均工資x(千元)與居民人均消費y(千元)進行調查統計，得出y與x具有線性相關關系，且線性回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝0.6x＋1.2.若某城市職工人均工資為5千元，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比為()A．66% B．67%C．79% D．84%D[∵y與x具有線性相關關系，且滿足回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝0.6x＋1.2，該城市居民人均工資為eq\x\to(x)＝5，∴可以估計該城市的職工人均消費水平eq\x\to(y)＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比為eq\f(4.2,5)＝84%.]4．已知回歸直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝2－2.5x，則x＝25時，eq\o(y,\s\up8(^))的估計值為________．－60.5[因為eq\o(y,\s\up8(^))＝2－2.5x，又x＝25，所以eq\o(y,\s\up8(^))＝2－2.5×25＝－60.5.即eq\o(y,\s\up8(^))的估計值為－60.5.]回歸分析的有關概念【例1】(1)有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點的數學方法；②利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗．其中正確的命題是__________(填序號)．(2)如果某地的財政收入x與支出y滿足線性回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))＋e(單位：億元)，其中eq\o(b,\s\up8(^))＝0.8，eq\o(a,\s\up8(^))＝2，|e|≤0.5，如果今年該地區財政收入10億元，則今年支出預計不會超過________億．(1)①②③(2)10.5[(1)①反映的正是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點圖的作用，也正確．③解釋的是回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))的作用，故也正確．④在求回歸方程之前必須進行相關性檢驗，以體現兩變量的關系，故不正確．(2)由題意可得：eq\o(y,\s\up8(^))＝0.8x＋2＋e，當x＝10時，eq\o(y,\s\up8(^))＝0.8×10＋2＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，∴9.5≤eq\o(y,\s\up8(^))≤10.5.故今年支出預計不會超過10.5億．]1．在分析兩個變量的相關關系時，可根據樣本數據散點圖確定兩個變量之間是否存在相關關系，然后利用最小二乘法求出回歸直線方程．2．由線性回歸方程給出的是一個預報值而非精確值．3．隨機誤差的主要來源(1)線性回歸模型與真實情況引起的誤差；(2)省略了一些因素的影響產生的誤差；(3)觀測與計算產生的誤差．1．下列有關線性回歸的說法，不正確的是________(填序號)．①自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系；②在平面直角坐標系中用描點的方法得到表示具有相關關系的兩個量的一組數據的圖形叫做散點圖；③線性回歸方程最能代表觀測值x，y之間的關系；④任何一組觀測值都能得到具有代表意義的回歸直線方程．④[只有具有線性相關的兩個觀測值才能得到具有代表意義的回歸直線方程．]求線性回歸方程【例2】某班5名學生的數學和物理成績如下表：學生學科成績ABCDE數學成績(x)8876736663物理成績(y)7865716461(1)畫出散點圖；(2)求物理成績y對數學成績x的回歸直線方程；(3)一名學生的數學成績是96，試預測他的物理成績．[思路探究]先畫散點圖，分析物理與數學成績是否有線性相關關系，若相關，再利用線性回歸模型求解．[解](1)散點圖如圖所示．(2)由散點圖可知y與x之間具有線性相關關系．因為eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(1,5)×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(1,5)×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up8(－))2)＝eq\f(25054－5×73.2×67.8,27174－5×73.22)≈0.625，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y對x的回歸直線方程是eq\o(y,\s\up8(^))＝0.625x＋22.05.(3)當x＝96時，eq\o(y,\s\up8(^))＝0.625×96＋22.05≈82，即可以預測他的物理成績是82.1．求線性回歸方程的基本步驟2．需特別注意的是，只有在散點圖大致呈直線時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則求出的回歸方程毫無意義．2．某商場經營一批進價是30元/臺的小商品，在市場調查中發現，此商品的銷售單價x(x取整數)元與日銷售量y臺之間有如下關系：x35404550y56412811(1)y與x是否具有線性相關關系？如果具有線性相關關系，求出回歸直線方程．(方程的回歸系數保留一位有效數字)(2)設經營此商品的日銷售利潤為P元，根據(1)寫出P關于x的函數關系式，并預測當銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤．[解](1)散點圖如圖所示，從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關．設回歸直線為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，由題知eq\o(x,\s\up8(－))＝42.5，eq\o(y,\s\up8(－))＝34，則求得eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(4),\s\do14(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(4),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up8(－))2)＝eq\f(－370,125)≈－3，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))＝34－(－3)×42.5＝161.5，∴eq\o(y,\s\up8(^))＝－3x＋161.5.(2)依題意有P＝(－3x＋161.5)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(251.5,6)))2＋eq\f(251.52,12)－4845.∴當x＝eq\f(251.5,6)≈42時，P有最大值，約為426，即預測銷售單價為42元時，能獲得最大日銷售利潤.線性回歸分析[探究問題]1．作散點圖的目的是什么？[提示]直觀分析數據是否存在線性相關關系．2．下表顯示出變量y隨變量x變化的一組數據，由此判斷表示y與x之間的關系最可能的是________．(填序號)x45678910y14181920232528①線性函數模型；②二次函數模型；③指數函數模型；④對數函數模型．[提示]畫出散點圖(圖略)，可以得到這些樣本點在一條直線附近，故最可能是線性函數模型．故填①.【例3】10名同學在高一和高二的數學成績如下表：x74717268767367706574y76757170767965776272其中x為高一數學成績，y為高二數學成績．(1)y與x是否具有相關關系？(2)如果y與x具有線性相關關系，求回歸直線方程．[思路探究]可先計算線性相關系數r的值，然后與r0.05比較，進而對x與y的相關性做出判斷．[解](1)由已知表格中的數據，求得eq\x\to(x)＝71，eq\x\to(y)＝72.3，r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2))≈0.78.由檢驗水平0.05及n－2＝8，在課本附錄2中查得r0.05＝0.632，因為0.78>0.632，所以y與x之間具有很強的線性相關關系．(2)y與x具有線性相關關系，設回歸直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))x，則有eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)2)≈1.22，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))＝72.3－1.22×71＝－14.32.所以y關于x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝1.22x－14.32.1．線性回歸分析必須進行相關性檢驗；若忽略，則所求回歸方程沒有實際意義．2．|r|越接近于1，兩變量相關性越強，|r|越接近于0，兩變量相關性越弱．3．關于兩個變量x和y的7組數據如下表所示：x21232527293235y711212466115325試判斷x與y之間是否有線性相關關系．[解]eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(1,7)×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(1,7)×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5414，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))xiyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18542，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124393，∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))xiyi－7\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\r(\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up8(－))2\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))y\o\al(2,i)－7\o(y,\s\up8(－))2))＝eq\f(18542－7×27.4×81.3,\r(5414－7×27.42124393－7×81.32))≈0.8375.∵0.8375>0.755，∴x與y之間具有線性相關關系．1．本節課的重點是線性回歸方程的求法，及線性回歸分析，相關關系；難點是恰當選擇模型，求解回歸方程．2．注意，回歸直線方程一定過樣本中心點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)求回歸直線方程前必須進行相關性檢驗．()(2)兩個變量的相關系數越大，它們的相關程度越強．()(3)若相關系數r＝0，則兩變量x，y之間沒有關系．()[答案](1)√(2)×(3)√2．某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))中的eq\o(b,\s\up8(^))為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為()A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67.7萬元 D．72.0萬元B[樣本點的中心是(3.5,42)，則eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回歸直線方程是eq\o(y,\s\up8(^))＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得eq\o(y,\s\up8(^))＝65.5.]3．設某大學生的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系．根據一組樣本數據(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝0.85x－85.71，則下列結論中正確的是________(填序號)．(1)y與x具有正的線性相關關系；(2)回歸直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；(3)若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg；(4)若該大學某女生身