1知識梳理·雙基自測2考點突破·互動探究3名師講壇·素養(yǎng)提升1知識梳理·雙基自測知識點一直線與平面平行的判定與性質(zhì)a∥b

a∥α

α∩β＝b

a∥b

知識點二面面平行的判定與性質(zhì)α∩β＝?

a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b

1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，則α∥β”．

2．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即“若a⊥α，b⊥α，則a∥b”．

3．平行于同一個平面的兩個平面平行，即“若α∥β，β∥γ，則α∥γ”．

題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面．

(

)(2)平行于同一條直線的兩個平面平行． (

)(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．

(

)×

×

×

(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．

(

)(5)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α. (

)(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β. (

)√

×

×

題組二走進教材2．(必修2P58練習T3)設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是

(

)A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD

[解析]

對于選項A，若存在一條直線a，a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則存在一條直線a，使得a∥α，a∥β，所以選項A的內(nèi)容是α∥β的一個必要條件；同理，選項B，C的內(nèi)容也是α∥β的一個必要條件而不是充分條件；對于選項D，可以通過平移把兩條異面直線平移到—個平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項D的內(nèi)容是α∥β的一個充分條件．故選D．題組三走向高考3．(2019·課標全國Ⅱ)設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是

(

)A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面B

4．(2017·課標全國Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是

(

)A

[解析]

B選項中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；C選項中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；D選項中，AB∥NQ，且AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ.故選A．5．(2017·天津，節(jié)選)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA＝AC＝4，AB＝2.求證：MN∥平面BDE.2考點突破·互動探究考點一空間平行關系的基本問題——自主練透例1CD

l?α

[解析]

(1)對于A，若a∥α，b∥α，

則直線a和直線b可以相交也可以異面，故A錯誤；對于B，若a∥α，a∥β，則平面a和平面β可以相交，故B錯誤；對于C，若a⊥α，b⊥α，則根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理，a∥b，故C正確；對于D，若a⊥α，a⊥β，則α∥β成立；故選CD．(2)①l∥m，m∥α?l∥α或l?α，由l?α?l∥α；②l?α，m?α，l∥m?l∥α；③l⊥m，m⊥α?l∥α或l?α，由l?α?l∥α.故答案為l?α.〔變式訓練1〕(多選題)(2021·吉林省吉林市調(diào)研改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，則下列各直線、平面中，與平面ACD1平行的是

(

)A．直線EF

B．直線GHC．平面EHF

D．平面A1BC1ABD

[解析]

首先直線EF、GH、A1B都不在平面ACD1內(nèi)，由中點及正方體的性質(zhì)知EF∥AC，GH∥A1C1∥AC，A1B∥D1C，∴直線EF，GH，A1B都與平面ACD1平行，又A1C1∥AC，由面面平行判定易知平面A1BC1∥平面ACD1，由EH∥AB1，AB1∩平面ACD1＝A，∴EH與平面ACD1相交，從而平面EHF與平面ACD1相交，∴C錯，故選A、B、D．考點二直線與平面平行的判定與性質(zhì)——多維探究例2判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(5)向量法：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．注：線面平行的關鍵是線線平行，證明中常構造三角形中位線或平行四邊形．角度2線面平行的性質(zhì)

如圖，在多面體ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1.(1)求證：BC∥EF；(2)求三棱錐B－DEF的體積．例3[解析]

(1)證明：∵AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，∴BC∥平面ADEF.又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF.(2)過點B作BH⊥AD于點H，∵DE⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，∴DE⊥BH.∵AD?平面ADEF，DE?平面ADEF，AD∩DE＝D，∴BH⊥平面ADEF.空間中證明兩條直線平行的常用方法(1)利用線面平行的性質(zhì)定理，即a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(2)利用平行公理推論：平行于同一直線的兩條直線互相平行．(3)利用垂直于同一平面的兩條直線互相平行．〔變式訓練2〕(1)(角度2)如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.(2)(角度1)(2020·廣東佛山質(zhì)檢，節(jié)選)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，E、F分別為AD、PC的中點．求證：EF∥平面PAB．[解析]

(1)證明：如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥MO.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA?平面PAHG，∴PA∥GH.解法二：取BC的中點H，連FH，HE，∵F為PC的中點，∴FH∥BP，又FH?平面PAB，∴FH∥平面PAB，又E為AD的中點，且四邊形ABCD為平行四邊形，∴HE∥BA，又HE?平面PAB，∴HE∥平面DAB，又FH∩EH＝H，∴平面EFH∥平面PAB，∴EF∥平面PAB．解法三：連CE并延長交BA的延長線于H，連PH.∵E為平行四邊形ABCD的邊AD的中點，∴△CDE≌△HAE，∴CE＝EH，又F為PC的中點，∴EF∥PH，又EF?平面PAB，PH?平面PAB，∴EF∥平面PAB．∵GC?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD．②∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC．又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥BP，平面PAD⊥平面PAB．考點三兩個平面平行的判定與性質(zhì)——師生共研例4[引申1]在本例條件下，若D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA．[證明]

如圖所示，連接HD，A1B，因為D為BC1的中點，H為A1C1的中點，所以HD∥A1B，又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA．[引申2]在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D．[證明]

如圖所示，連接A1C，AC1交于點M，因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點，連接MD，因為D為BC的中點，所以A1B∥DM.因為A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.證明面面平行的方法有(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”．(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．〔變式訓練3〕(2021·南昌模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設M，N分別為PD，AD的中點．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P－ABM的體積．[解析]

(1)證明：∵M，N分別為PD，AD的中點，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，