云南省玉溪第二中學(xué)2023年第二學(xué)期高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：），則該幾何體的表面積為()A． B．C． D．2．設(shè)，是雙曲線的左，右焦點，是坐標(biāo)原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A． B． C． D．3．已知集合，，若AB，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知平面向量，滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．5．若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則（）A． B． C．2 D．6．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．17．已知雙曲線的左、右焦點分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為M，若．則該雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．8．如圖，在等腰梯形中，，，，為的中點，將與分別沿、向上折起，使、重合為點，則三棱錐的外接球的體積是（）A． B．C． D．9．已知集合，則集合真子集的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．810．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量、的夾角為，且，則的最大值是_____．14．函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，），若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________________.15．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值是__．16．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷函數(shù)的零點個數(shù).18．（12分）記為數(shù)列的前項和，N.（1）求；（2）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項和.19．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是中點，且，.求證：平面；求點到平面的距離.20．（12分）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點，且與圓相切．（1）求的值；（2）動點在拋物線的準(zhǔn)線上，動點在上，若在點處的切線交軸于點，設(shè)．求證點在定直線上，并求該定直線的方程．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，，分別是，的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）設(shè)，求三棱錐的體積.22．（10分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長度為，只要誤差的絕對值不超過就認(rèn)為合格，工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件，檢測其長度，繪制條形統(tǒng)計圖如圖：（1）估計該批次產(chǎn)品長度誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望；（2）如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取2件，假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時，該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，該幾何體的表面積.故選：C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識，幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】

設(shè)過點作的垂線，其方程為，聯(lián)立方程，求得，，即，由，列出相應(yīng)方程，求出離心率.【詳解】解：不妨設(shè)過點作的垂線，其方程為，由解得，，即，由，所以有，化簡得，所以離心率．故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題．3、D【解析】

先化簡，再根據(jù)，且AB求解.【詳解】因為，又因為，且AB，所以.故選：D【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)，兩邊平方，化簡得，再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因為平面向量，滿足，且，所以，所以，所以，所以，所以與的夾角為.故選：C【點睛】本題主要考查平面向量的模，向量的夾角和數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

計算拋物線的交點為，代入計算得到答案.【詳解】可化為，焦點坐標(biāo)為，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線的焦點，屬于簡單題.6、C【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點坐標(biāo)為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過點作垂線交于點，然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度，的長度即點縱坐標(biāo)，然后將點縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出點坐標(biāo)，最后將點坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果。【詳解】根據(jù)題意可畫出以上圖像，過點作垂線并交于點，因為，在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，，即，，因為圓的半徑為，是圓的半徑，所以，因為，，，，所以，三角形是直角三角形，因為，所以，，即點縱坐標(biāo)為，將點縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得，解得，，將點坐標(biāo)帶入雙曲線中可得，化簡得，，，，故選D。【點睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學(xué)生的邏輯思維能力，是難題。8、A【解析】

由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形，折疊成的三棱錐是正四面體，易求得其外接球半徑，得球體積．【詳解】由題意等腰梯形中，又，∴，是靠邊三角形，從而可得，∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體，設(shè)是的中心，則平面，，，外接球球心必在高上，設(shè)外接球半徑為，即，∴，解得，球體積為．故選：A．【點睛】本題考查求球的體積，解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體．9、C【解析】

解出集合，再由含有個元素的集合，其真子集的個數(shù)為個可得答案.【詳解】解：由，得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選：C【點睛】此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應(yīng)用，含有個元素的集合，其真子集的個數(shù)為個，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

化簡復(fù)數(shù)為的形式，然后判斷復(fù)數(shù)的對應(yīng)點所在象限，即可求得答案.【詳解】對應(yīng)的點的坐標(biāo)為在第二象限故選：B.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應(yīng)圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，運用了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，進(jìn)而可得出，，由此將轉(zhuǎn)化為以為自變量的三角函數(shù)，利用三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，，以、為鄰邊作平行四邊形，則，設(shè)，則，，且，在中，由正弦定理，得，即，在中，由正弦定理，得，即.，，則，當(dāng)時，取最大值.故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積最值的計算，將問題轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于難題．14、【解析】

令，則，恰有四個解.由判斷函數(shù)增減性，求出最小值，列出相應(yīng)不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個解.有兩個解，由，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，可得.設(shè)的負(fù)根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用，屬于難題.15、2【解析】

由題，得，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，又復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：2【點睛】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.16、0.22.【解析】

正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱，根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可。【詳解】【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析（3）答案見解析【解析】

（1）設(shè)曲線在點，處的切線的斜率為，可求得，，利用直線的點斜式方程即可求得答案；（2）由（Ⅰ）知，，分時，，三類討論，即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)間為；（3）分與兩類討論，即可判斷函數(shù)的零點個數(shù)．【詳解】（1），，設(shè)曲線在點，處的切線的斜率為，則，又，曲線在點，處的切線方程為：，即；（2）由（1）知，，故當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，；，，；的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當(dāng)時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；綜上所述，時，單調(diào)遞增為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當(dāng)時，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；（3）當(dāng)時，恒成立，所以無零點；當(dāng)時，由，得：，只有一個零點．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想與推理、運算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）證明見詳解，【解析】

（1）根據(jù)，可得，然后作差，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，用取代，得到新的式子，然后作差，可得結(jié)果，最后根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）由①，則②②-①可得：所以（2）由（1）可知：③則④④-③可得：則，且令，則，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列所以【點睛】本題主要考查遞推公式以及之間的關(guān)系的應(yīng)用，考驗觀察能力以及分析能力，屬中檔題.19、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；（2）取中點為,則,證得平面,利用等體積法求解即可.【詳解】（1）因為，，，是的中點，，為直三棱柱，所以平面，因為為中點，所以平面，，又,平面（2），又分別是中點，.由（1）知，,又平面,取中點為,連接如圖,則，平面，設(shè)點到平面的距離為，由，得，即，解得，點到平面的距離為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、等體積法求點到面的距離；考查邏輯推理能力和運算求解能力；熟練掌握線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.20、（1）；（2）點在定直線上．【解析】

（1）設(shè)出直線的方程為，由直線和圓相切的條件：，解得；（2）設(shè)出，運用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，求得為切點的切線方程，再由向量的坐標(biāo)表示，可得在定直線上；【詳解】解：（1）依題意設(shè)直線的方程為，由已知得：圓的圓心，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得或（舍去）．所以；（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設(shè)，則以為切點的切線的斜率為，所以切線的方程為．令，，即交軸于點坐標(biāo)為，所以，，，．設(shè)點坐標(biāo)為，則，所以點在定直線上．【點睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查直線方程和圓方程的運用，以及切線方程的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于綜合題．21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取中點，連，，根據(jù)平行四邊形，可得，進(jìn)而證得平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)，得平面，又由，即可得到平面.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積法，即可求解.【詳解】（Ⅰ）取中點，連，，由，可得，可得是平行四邊形，則，又平面，∴平面平面，∵平面，平面，∴平面平面，∵，是中點，則，而平面平面，而，∴平面.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式，得.【點睛】本題主