高一上學期期中數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合SKIPIF1<0，則下列說法正確的是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】求出集合A，然后根據元素與集合，集合與集合的關系即得..【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以ABD錯誤，C正確.故選：C.2.SKIPIF1<0的一個充分不必要條件是()A.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根據分式的性質，結合充分不必要條件的定義進行求解即可.【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0不一定能推出SKIPIF1<0，選項CD都推不出SKIPIF1<0，選項A能推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也能推出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：B3.已知函數SKIPIF1<0的對應關系如表所示，函數SKIPIF1<0的圖象是如圖所示，則SKIPIF1<0的值為()SKIPIF1<0123SKIPIF1<043－1A.－1 B.0 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據函數圖象和表格直接求解即可.【詳解】由圖可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由表可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A4.已知函數SKIPIF1<0是冪函數，且在SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0()A.3 B.－1 C.1或－3 D.－1或3【答案】A【解析】【分析】根據冪函數的概念及性質即得.【詳解】因為SKIPIF1<0是冪函數，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或3；又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不符合題意，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合題意，故SKIPIF1<0．故選：A．5.已知函數SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的減函數，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】由題可得函數在SKIPIF1<0及SKIPIF1<0時，單調遞減，且SKIPIF1<0，進而即得.【詳解】由題意可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也單調遞減，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的減函數，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：C．6.已知偶函數f(x)在區間SKIPIF1<0單調遞增，則滿足SKIPIF1<0的x取值范圍是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】由偶函數性質得函數在SKIPIF1<0上的單調性，然后由單調性解不等式．【詳解】因為偶函數SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0區間SKIPIF1<0上單調遞減，故SKIPIF1<0越靠近SKIPIF1<0軸，函數值越小，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故選：A．7.因工作需求，張先生的汽車一周需兩次加同一種汽油．現張先生本周按照以下兩種方案加油(兩次加油時油價不一樣)，甲方案：每次購買汽油的量一定；乙方案：每次加油的錢數一定．問哪種加油的方案更經濟？()A.甲方案 B.乙方案 C.一樣 D.無法確定【答案】B【解析】【分析】設兩次加油的油價分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)，分別計算兩種方案的平均油價，然后比較即得.【詳解】設兩次加油的油價分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)，甲方案每次加油的量為SKIPIF1<0；乙方案每次加油的錢數為SKIPIF1<0，則甲方案的平均油價為：SKIPIF1<0，乙方案的平均油價為：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即乙方案更經濟．故選：B．8.已知函數SKIPIF1<0在其定義域內為偶函數，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0()A.0 B.2021 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】先由偶函數的性質求得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，由此得到SKIPIF1<0的解析式，觀察所求式子容易考慮SKIPIF1<0的值，求之可解得結果.【詳解】因為SKIPIF1<0是偶函數，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知SKIPIF1<0，則下列說法正確的是()A.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的性質可判斷AC，根據作差法可判斷BD.【詳解】對于A選項，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故A錯誤；對于B選項，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；對于C選項，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C正確；對于D選項，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D錯誤．故選：BC．10.下列結論正確的是()A.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】【分析】根據基本不等式和對勾函數逐項分析判斷.【詳解】對于A選項，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0(當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立)，故A正確；對于B選項，因為SKIPIF1<0(當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立)，所以B正確；對于C選項，因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0，故C正確；對于D選項，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立)，故D錯誤．故選：ABC．11.德國著名數學家狄利克雷是解析數學的創始人，以其名字命名的函數稱為狄利克雷函數，其解析式為SKIPIF1<0，則下列關于狄利克雷函數SKIPIF1<0的說法錯誤的是()A.對任意實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0既不是奇函數又不是偶函數C.對于任意的實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】【分析】根據題意結合奇偶性、一元二次不等式的解法逐項分析判斷.【詳解】若SKIPIF1<0是有理數，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0是無理數，則SKIPIF1<0，故A正確；若SKIPIF1<0是有理數，則SKIPIF1<0也是有理數，此時SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0是無理數，則SKIPIF1<0也是無理數，此時SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0為偶函數，故B錯誤；若SKIPIF1<0是無理數，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是無理數，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C錯誤；若SKIPIF1<0是有理數，則SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0是有理數，SKIPIF1<0，顯然不成立，故D錯誤．故選：BCD．12.設矩形SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的周長為定值SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0向SKIPIF1<0折疊，SKIPIF1<0折過去后交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，如圖，則下列說法正確的是()A.矩形SKIPIF1<0的面積有最大值 B.SKIPIF1<0的周長為定值C.SKIPIF1<0的面積有最大值 D.線段SKIPIF1<0有最大值【答案】BC【解析】【分析】根據基本不等式的性質，結合圖形折疊的性質，結合對鉤函數的性質逐一判斷即可.【詳解】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．矩形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以無最大值．故A錯．根據圖形折疊可知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0全等，所以SKIPIF1<0周長SKIPIF1<0．故B正確．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，取最大值．故C正確．SKIPIF1<0，因為函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，所以當SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時函數有最小值，無最大值．故D錯誤．故選：BC．【點睛】關鍵點睛：利用基本不等式的性質、對鉤函數的性質是解題的關鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.計算：SKIPIF1<0_________．【答案】7【解析】【分析】根據指數的運算法則計算即可.【詳解】原式SKIPIF1<0．故答案為：7.14.已知SKIPIF1<0是一次函數，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【解析】【分析】根據待定系數法設SKIPIF1<0，代入整理得SKIPIF1<0，對比系數列式求解.【詳解】設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.15.已知SKIPIF1<0，若正數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】首先判斷函數的奇偶性，即可得到SKIPIF1<0，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】解：因為SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時取等號．故答案為：SKIPIF1<016.對于區間SKIPIF1<0，若函數SKIPIF1<0同時滿足：①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是單調函數；②函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，則稱區間SKIPIF1<0為函數SKIPIF1<0的“保值”區間．(1)寫出函數SKIPIF1<0的一個“保值”區間為_________；(2)若函數SKIPIF1<0存在“保值”區間，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為_________．【答案】①.SKIPIF1<0##[0,0.5]②.SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由條件可知SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上是單調函數，根據SKIPIF1<0的值域判斷出SKIPIF1<0，由此得到SKIPIF1<0從而求解出SKIPIF1<0的值；(2)設存在的“保值”區間為SKIPIF1<0，考慮兩種情況：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據單調性得到關于SKIPIF1<0等式，然后根據二次函數的性質即得.【詳解】(1)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以一個“保值”區間為SKIPIF1<0；(2)設保值區間為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的2個不等實根，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數，所以有SKIPIF1<0，兩式相減：SKIPIF1<0，代入得：SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0有2個不等實根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，解得得SKIPIF1<0；綜上所述：SKIPIF1<0．故答案：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)求圖中陰影部分表示集合．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)陰影部分表示的集合是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【解析】【分析】(1)先根據一元二次不等式求解集合B，再根據集合的并集、交集運算求解；(2)根據題意理解可得陰影部分表示的集合是SKIPIF1<0，根據補集運算求解.【小問1詳解】由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；【小問2詳解】由題意可知：陰影部分表示的集合是SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．18.已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若函數值SKIPIF1<0時，其解集為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的值；(2)若關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集中恰有兩個整數，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【解析】【分析】(1)根據二次不等式的解法及韋達定理即得；(2)分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0討論，然后結合條件即得.【小問1詳解】由題意可知SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；【小問2詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0時，不等式的解集為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的解集中恰有兩個整數解，則SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，不等式的解集為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的解集中恰有兩個整數解，SKIPIF1<0；③當SKIPIF1<0時，不等式的解集為SKIPIF1<0，不合題意；綜上所述，實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．19.已知函數SKIPIF1<0．(1)根據函數單調性的定義證明SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞減；(2)若SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0．【解析】【分析】(1)利用作差法證得SKIPIF1<0，由此可證得SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞減；(2)先求得雙勾函數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0時SKIPIF1<0的取值，結合圖像，可知區間SKIPIF1<0的子集與全集情況，由此求得SKIPIF1<0的取值范圍．【小問1詳解】任取SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞減．【小問2詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0(當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立)，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，結合雙勾函數SKIPIF1<0的圖象可知，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．.20.已知函數SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上單調遞增，且對任意的SKIPIF1<0都滿足SKIPIF1<0．(1)判斷并證明函數的奇偶性；(2)若SKIPIF1<0對所有的SKIPIF1<0均成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)函數是奇函數，證明見解析；(2)SKIPIF1<0．【解析】【分析】(1)利用賦值法得到SKIPIF1<0，由此證得函數的奇偶性；(2)利用函數奇偶性與單調性推得SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，利用復合函數的單調性證得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，由此求得SKIPIF1<0的取值范圍．【小問1詳解】函數是奇函數．證明如下：因為對任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函數．【小問2詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，又因為SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0恒成立，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，所以復合函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．21某城市對居民生活用水實行“階梯水價”，計費方法如下表所示．每戶每月用水量水價不超過SKIPIF1<0的部分2.5元/SKIPIF1<0超過SKIPIF1<0但不超過SKIPIF1<0的部分6元/SKIPIF1<0超過SKIPIF1<0的部分9元/SKIPIF1<0(1)求用戶每月繳納水費SKIPIF1<0(單位：元)與每月用水量SKIPIF1<0(單位：SKIPIF1<0)的函數關系式；(2)隨著生活水平的提高，人們對生活的品質有了更高的要求，經驗表明，當居民用水量在一定范圍內時，若隨性用水，用水量增加，生活越方便；若時刻想著節約用水，生活也會麻煩．數據表明，人們的“幸福感指數”SKIPIF1<0與繳納水費SKIPIF1<0及“生活麻煩系數”SKIPIF1<0存在以下關系：SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)，當某居民用水量在SKIPIF1<0時，求該居民“幸福感指數”SKIPIF1<0的最大值及此時的用水量．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，此時用水量為SKIPIF1<0．【解析】【分析】(1)根據已知條件，分段求解函數關系式即可；(2)根據題意寫出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系式，再求其最大值即可.【小問1詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；可知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的函數關系式為SKIPIF1<0．【小問2詳解】由題意可知：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPI