福建省廈門市思明區湖濱中學2023-2024學年高二數學第一學期期末學業水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若是雙曲線的左右焦點，是坐標原點.過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．已知橢圓C：的左右焦點為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C與A，B兩點，若△AF1B的周長為，則C的方程為（）A. B.C. D.3．不等式的解集為（）A. B.C. D.4．已知實數x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.0C.3 D.55．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°6．曲線上的點到直線的最短距離是（）A. B.C. D.17．若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.8．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關于坐標原點對稱；②曲線是一個橢圓；③曲線圍成區域的面積小于橢圓圍成區域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③9．曲線在點處的切線方程是（）A. B.C. D.10．已知的展開式中，各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為，則（）A.4 B.5C.6 D.711．已知，是橢圓的兩焦點，是橢圓上任一點，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點的軌跡為（）A.圓 B.兩個圓C.橢圓 D.兩個橢圓12．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，，，則動點P的軌跡方程為______，P到坐標原點的距離的最小值為______14．以下四個關于圓錐曲線的命題中：①設A、B為兩個定點，k為非零常數，若，則動點P的軌跡為雙曲線；②拋物線焦點坐標是；③過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若，則動點P的軌跡為橢圓；④曲線與曲線（且）有相同的焦點其中真命題的序號為______（寫出所有真命題的序號．）15．如圖：雙曲線的左右焦點分別為，，過原點O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點，其中P在右支上，且，則的面積為___________.16．已知拋物線的準線方程為，在拋物線C上存在A、B兩點關于直線對稱，設弦AB的中點為M，O為坐標原點，則的值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與雙曲線相交于、兩點.（1）當時，求；（2）是否存在實數，使以為直徑的圓經過坐標原點？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點到平面距離；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長；若不存在，請說明理由19．（12分）在①，；②，；③，.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.問題：已知數列的前n項和為，，___________.（1）求數列的通項公式（2）已知，求數列的前n項和.20．（12分）已知是等差數列，，.（1）求的通項公式；（2）設的前項和，求的值.21．（12分）已知數列的前項的和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.22．（10分）已知點，，設動點P滿足直線PA與PB的斜率之積為，記動點P的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）若動直線l經過點，且與曲線E交于C，D（不同于A，B）兩點，問：直線AC與BD的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據已知條件，找出，的齊次關系式即可得到雙曲線的離心率.【詳解】由題意得，，，在中，，因，故，在，由余弦定理得，即，計算得，故.故選：D.【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)2、A【解析】根據橢圓的定義可得△AF1B的周長為4a，由題意求出a，結合離心率計算即可求出c，再求出b即可.【詳解】由橢圓的定義知，△AF1B的周長為，又△AF1B的周長為4，則，，，，，所以方程為，故選：A.3、A【解析】根據一元二次不等式的解法進行求解即可.【詳解】，故選：A.4、D【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，向上平移過點A時，取得最大值，求出點A的坐標，代入可求得結果【詳解】不等式組表示的可行域，如圖所示由，得，作出直線，向上平移過點A時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：D5、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D6、B【解析】先求與平行且與相切的切線切點，再根據點到直線距離公式得結果.【詳解】設與平行的直線與相切，則切線斜率k=1，∵∴，由，得當時,即切點坐標為P(1,0)，則點(1,0)到直線的距離就是線上的點到直線的最短距離，∴點(1,0)到直線的距離為：，∴曲線上的點到直線l:的距離的最小值為.故選：B7、B【解析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B8、D【解析】對于①在方程中換為，換為可判斷；對于②分析曲線的圖形是兩個拋物線的部分組成的可判斷；對于③在第一象限內，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關于坐標原點對稱所以①正確,當時，曲線的方程化為，此時當時，曲線的方程化為，此時所以曲線圖形是兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當，時，設，設，則，（當且僅當或時等號成立）所以在第一象限內，橢圓的圖形在曲線的上方.根據曲線和橢圓的的對稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個頂點在曲線上）所以曲線圍成區域的面積小于橢圓圍成區域的面積，故③正確.故選：D9、B【解析】求導，得到曲線在點處的斜率，寫出切線方程.【詳解】因為，所以曲線在點處斜率為4，所以曲線在點處的切線方程是，即，故選：B10、C【解析】利用賦值法確定展開式中各項系數的和以及二項式系數的和，利用比值為，列出關于的方程，解方程.【詳解】二項式的各項系數的和為，二項式的各項二項式系數的和為，因為各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為，所以，.故選：C.11、A【解析】設的延長線交的延長線于點，由橢圓性質推導出，由題意知是△的中位線，從而得到點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓【詳解】是焦點為、的橢圓上一點為的外角平分線，，設的延長線交的延長線于點，如圖，，，，由題意知是△的中位線，，點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓故選：A12、D【解析】根據空間向量的運算，表示出，和已知比較可求得的值，進而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.l【解析】根據雙曲線的定義得到動點的軌跡方程，從而求出到坐標原點的距離的最小值；【詳解】解：因為，所以動點P的軌跡為以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的下支．因為，，所以，，，所以動點P的軌跡方程為故P到坐標原點的距離的最小值為故答案為：；；14、②④##④②【解析】利用雙曲線定義判斷命題①；寫出拋物線焦點判斷命題②；分析點P滿足的關系判斷命題③；按取值討論計算半焦距判斷命題④作答.【詳解】對于①，因雙曲線定義中要求，則命題①不正確；對于②，拋物線化為：，其焦點坐標是，命題②正確；對于③，令定圓C的圓心為C，因，則點P是弦AB的中點，當P與C不重合時，有，點P在以線段AC為直徑的圓上，當P與C重合時，點P也在以線段AC為直徑的圓上，因此，動點P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除A點外)，則命題③不正確；對于④，曲線的焦點為，當時，橢圓中半焦距c滿足：，其焦點為，當時，雙曲線中半焦距滿足：，其焦點為，因此曲線與曲線（且）有相同的焦點，命題④正確，所以真命題的序號為②④.故答案為：②④【點睛】易錯點睛：橢圓長短半軸長分別為a，b，半焦距為c滿足關系式：；雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為、、滿足關系式：，在同一問題中出現認真區分，不要混淆.15、24【解析】利用雙曲線定義結合已知求出，，再利用雙曲線的對稱性計算作答.【詳解】依題意，，，又，解得，，則有，即，連接，如圖，因過原點O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點，由雙曲線的對稱性知，P，Q關于原點O對稱，因此，四邊形是平行四邊形，，所以的面積為24.故答案為：2416、5【解析】先運用點差法得到，然后通過兩點距離公式求出結果詳解】解：拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設點，，，，的中點為，，則，，兩式相減得，即，又因為，兩點關于直線對稱，所以，解得，可得，則，故答案為：5三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）當時，將直線的方程與雙曲線的方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得；（2）假設存在實數，使以為直徑的圓經過坐標原點，設、，將直線與雙曲線的方程聯立，列出韋達定理，由已知可得出，利用平面向量數量積的坐標運算結合韋達定理可得出，即可得出結論.【小問1詳解】解：設點、，當時，聯立，可得，，由韋達定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：假設存在實數，使以為直徑的圓經過坐標原點，設、，聯立得，由題意可得，解得且，由韋達定理可知，因為以為直徑的圓經過坐標原點，則，所以，，整理可得，該方程無實解，故不存在.18、（1）（2）存在，【解析】（1）根據題意分別由已知條件計算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標系，設，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結果【小問1詳解】在中，，因為，分別是，邊上的中點，所以∥，，所以，所以，因為，所以平面，所以平面，因為平面，所以，所以，因為平面，平面，所以平面平面，因為，所以，因為，所以是等邊三角形，取的中點，連接，則，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，在中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設點到平面的距離為，因為，所以，所以，得，所以點到平面的距離為【小問2詳解】由（1）可知平面，，所以以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則,設，則，設平面的法向量為，則，令，則，設平面的法向量為，則，令，則，則平面與平面夾角的余弦值為，兩邊平方得，，解得或（舍去），所以，所以19、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數列，公差，求出其通項公式后，再由求得通項公式，注意；選②，由可變形已知條件得是等差數列，從而求得通項公式；選③，已知式兩邊同除以，得出，以下同選①；（2）由錯位相減法求和【小問1詳解】選①，由得，，所以，即，所以是等差數列，公差，又，，，所以，，時，也適合所以；選②，由得，所以等差數列，公差為，又，所以；選③，由得，以下同選①，【小問2詳解】由（1），，，兩式相減得，所以20、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，利用題中等式建立、的方程組，求出、的值，然后根據等差數列的通項公式求出數列的通項公式；（2）利用等差數列前項和公式求出，然后由求出的值.【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，解得，，數列的通項為；（2）數列的前項和，由，化簡得，即，.【點睛】本題考查等差數列的通項公式的求解，考查等差數列的前項和公式，常用的方法就是利用首項和公差建立方程組求解，考查運算求解能力，屬于中等題.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據，并結合等比數列的定義即可求得答案；（2）結合（1）