安徽省合肥市示范初中2023-2024學年高二數學第一學期期末學業水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.52．如圖，在平行六面體中，（）A. B.C. D.3．已知橢圓C：（）的長軸的長為4，焦距為2，則C的方程為（）A B.C. D.4．設點關于坐標原點的對稱點是B，則等于（）A.4 B.C. D.25．已知m，n表示兩條不同直線，表示兩個不同平面.設有兩個命題：：若，則；：若，則.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.6．雙曲線：的漸近線與圓：在第一、二象限分別交于點、，若點滿足(其中為坐標原點)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．命題“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使8．f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0則不等式f（x）g（x）＜0的解集為A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）9．直線在y軸上的截距是A. B.C. D.10．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結論：①正方體在每個頂點的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類多面體的頂點數，棱數，面數滿足，則該類多面體的總曲率是常數.其中，所有正確結論的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③11．已知橢圓的左、右焦點分別是，焦距，過點的直線與橢圓交于兩點，若，且，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.12．已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的短軸的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數在點處的切線為直線l，則l與坐標軸圍成的三角形面積為___________.14．寫出一個與橢圓有公共焦點的橢圓方程__________15．用組成所有沒有重復數字的五位數中，滿足與相鄰并且與不相鄰的五位數共有____________個.(結果用數值表示)16．設數列滿足且，則________.數列的通項=________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為數列的前n項和，，且，，其中為常數.（1）求證：數列為等差數列；（2）是否存在，使得是等差數列？并說明理由.18．（12分）已知O為坐標原點，、為橢圓C的左、右焦點，，P為橢圓C的上頂點，以P為圓心且過、的圓與直線相切（1）求橢圓C的標準方程；（2）若過點作直線l，交橢圓C于M，N兩點（l與x軸不重合），在x軸上是否存在一點T，使得直線TM與TN的斜率之積為定值？若存在，請求出所有滿足條件的點T的坐標；若不存在，請說明理由19．（12分）已知橢圓：，的左右焦點，是雙曲線的左右頂點，的離心率為，的離心率為，點在上，過點E和，分別作直線交橢圓于，和，點，如圖.（1）求，的方程；（2）求證：直線和的斜率之積為定值；（3）求證：為定值.20．（12分）已知函數（1）若，求曲線在處的切線方程（2）討論函數的單調性21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，是中點.（1）求點到平面的的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值；22．（10分）已知橢圓的離心率，過橢圓C的焦點且垂直于x軸的直線截橢圓所得到的線段的長度為1（1）求橢圓C的方程；（2）直線交橢圓C于A、B兩點，若y軸上存在點P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】作出不等式組對應的可行域，再利用數形結合分析求解.【詳解】解：作出不等式組對應的可行域為如圖所示的陰影部分區域，由得，它表示斜率為縱截距為的直線系，當直線平移到點時，縱截距最大，最大.聯立直線方程得得.所以.故選：C2、B【解析】由空間向量的加法的平行四邊形法則和三角形法則，可得所求向量【詳解】連接，可得，又，所以故選：B.3、D【解析】由題設可得求出橢圓參數，即可得方程.【詳解】由題設，知：，可得，則，∴C的方程為.故選：D.4、A【解析】求出點關于坐標原點的對稱點是B，再利用兩點之間的距離即可求得結果.【詳解】點關于坐標原點的對稱點是故選：A5、B【解析】利用直線與平面，平面與平面的位置關系判斷2個命題的真假，再利用復合命題的真值表判斷選項的正誤即可【詳解】，表示兩條不同直線，，表示兩個不同平面：若，，則也可能，也可能與相交，所以是假命題，為真命題；：令直線的方向向量為，直線的方向向量為，若，則，則，所以是真命題，所以為假命題；所以為假命題，是真命題，為假命題，是真命題，所以為假命題故選：6、B【解析】由，得點為三角形的重心，可得，即可求解.【詳解】如圖：設雙曲線的焦距為，與軸交于點，由題可知，則，由，得點為三角形的重心，可得，即，，即，解得.故選：B【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，三角形的重心的向量表示，屬于中檔題.7、B【解析】根據特稱命題的否定是全稱命題即可得正確答案【詳解】存在量詞命題的否定，只需把存在量詞改成全稱量詞，并把后面的結論否定，所以“，使”的否定為“，有”，故選：B.8、A【解析】構造函數h（x）＝f（x）g（x），由已知得當x＜0時，h（x）＜0，所以函數y＝h（x）在（﹣∞，0）單調遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，得函數y＝h（x）為R上的奇函數，所以函數y＝h（x）在（0，+∞）單調遞減，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集【詳解】設h（x）＝f（x）g（x），因為當x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，所以當x＜0時，h（x）＜0，所以函數y＝h（x）在（﹣∞，0）單調遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，所以函數y＝h（x）為R上的奇函數，所以函數y＝h（x）在（0，+∞）單調遞減，因為f（﹣1）＝0，所以函數y＝h（x）的大致圖象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞）故選A【點睛】本題考查導數乘法法則、導數的符號與函數單調性的關系；奇函數的單調性在對稱區間上一致，屬于中檔題9、D【解析】在y軸上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【詳解】令x=0，則y=-2，即直線在y周上的截距為-2，故選D.10、D【解析】根據曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據曲率的定義可得正方體在每個頂點的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點數各面內角和，因為四棱錐有5個頂點，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設每個面記為邊形，則所有的面角和為，根據定義可得該類多面體的總曲率為常數，故③正確.故選：D.11、A【解析】畫出圖形，利用已知條件，推出，延長交橢圓于點，得到直角和直角，設，則，根據橢圓的定義轉化求解，即可求得橢圓的方程.【詳解】如圖所示，，則，延長交橢圓于點，可得直角和直角，設，則，根據橢圓的定義，可得，在直角中，，解得，又在中，，代入可得，所以，所以橢圓的方程為.故選：A.12、B【解析】根據題意，點關于直線對稱點的性質，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】根據題意，設點關于直線的對稱點，則，解得，即.根據橢圓的定義可知，，當、、三點共線時，長軸長取最小值，即，由且，得，因此橢圓C的短軸的最小值為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出切線方程，分別得到直線與x、y軸交點，即可求出三角形的面積.【詳解】由函數可得：函數，所以，.所以切線l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：.14、（答案不唯一）【解析】根據橢圓的標準方程，以及分析即可【詳解】由題可知橢圓的形式應為（，且），可取故答案為：（答案不唯一）15、【解析】由題意，先利用捆綁法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【詳解】因為滿足與相鄰并且與不相鄰，則將捆綁，內部排序得，再對和全排列得，利用插空法將和插空得，所以滿足題意得五位數有.故答案為：16、①.5②.【解析】設，根據題意得到數列是等差數列，求得，得到，利用，結合“累加法”，即可求得.【詳解】解：由題意，數列滿足，所以當時，，，解得，設，則，且，所以數列是等差數列，公差為，首項為，所以，即，所以，當時，可得，其中也滿足，所以數列的通項公式為.故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）存在時是等差數列，詳見解析.【解析】（1）利用與的關系可得，再結合條件即證；（2）由題可得，，若是等差數列，可得，進而可求數列的通項公式，即證.【小問1詳解】∵，∴，∴，又，∴，∴，∴數列為等差數列；【小問2詳解】∵，，∴，又，∴，若是等差數列，則，即，解得，當時，由，∴數列的奇數項構成的數列為首項為1，公差為2的等差數列，∴，即，為奇數，∴數列的偶數項構成的數列為首項為2，公差為2的等差數列，∴，即，為偶數，綜上可得，當時，，，故存在時，使數列是等差數列.18、（1）；（2）存在；.【解析】(1)根據給定條件求出a，c，b即可作答.(2)聯立直線l與橢圓C的方程，利用斜率坐標公式并結合韋達定理計算即可推理作答.【小問1詳解】依題意，，，，由橢圓定義知：橢圓長軸長，即，而半焦距，即有短半軸長，所以橢圓C的標準方程為：【小問2詳解】依題意，設直線l方程為，由消去x并整理得，設，，則，，假定存在點，直線TM與TN的斜率分別為，，，要使為定值，必有，即，當時，，，當時，，，所以存在點，使得直線TM與TN的斜率之積為定值【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值19、（1）：；：（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）利用待定系數法，根據條件先求曲線的方程，再求曲線的方程；（2）首先設，表示直線和的斜率之積，即可求解定值；（3）首先表示直線與方程聯立消，利用韋達定理表示弦長，以及利用直線和的斜率關系，表示弦長，并證明為定值.【小問1詳解】由題設知，橢圓離心率為解得∴，∵橢圓的左右焦點，是雙曲線的左右頂點，∴設雙曲線：∴的離心率為解得.∴：：；【小問2詳解】證明：∵點在上∴設則，∴.∴直線和的斜率之積為定值1；【小問3詳解】證明：設直線和的斜率分別為，，則設，：與方程聯立消得“*”則，是“*”的二根則則同理∴.20、（1）（2）答案見解析【解析】（1）根據導數的幾何意義可求得切線斜率，結合切點可得切線方程；（2）求導后，分別在、和的情況下，根據的正負可得的單調性.【小問1詳解】當時，，，，又，在處的切線方程為：，即；【小問2詳解】，令，解得：，；當時，，在上單調遞增；當時，若或，則；若，則；在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，若或，則；若，則；在和上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.21、（1）（2）【解析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為，再利用公式計算即可；（2）易得平面的法向量為，設平面與平面的夾角為，再利用計算即可小問1詳解】解：（1）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空