2023-2024學年江蘇省揚州市邗江區梅嶺中學八年級第一學期月考數學試卷（10月份）一、選擇題（每題3分，共計24分，把正確答案填在答題紙相應的位置上。）1．如圖，四個圖標分別是劍橋大學、北京理工大學、浙江大學和北京大學的?；盏闹匾M成部分，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或103．如圖，為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條，這樣做使用的數學道理是（）A．兩點之間線段最短 B．三角形的穩定性 C．兩點確定一條直線 D．長方形的四個角都是直角4．如圖，用直尺和圓規作射線OC，使它平分∠AOB，則△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL5．下列說法中，正確的是（）A．三角形三條角平分線的交點到三邊距離相等 B．兩條邊分別相等的兩個直角三角形全等 C．兩邊及一角分別相等的兩個三角形全等 D．等腰三角形的高線、中線及角平分線互相重合6．如圖所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于點E，則圖中全等三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對7．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，則∠EDF＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°8．在學習完角平分線性質與角平分線逆定理后，我們只在三角形內部研究，如果延伸到三角形的外角會發什么變化呢？請同學們完成以下題目（）知識回顧知識延伸已知點O為∠ABC與∠ACB的角平分線交點，通過證明OD＝OE＝OF可得點O在∠A的角平分線上．已知點P為△NMK兩外角角平分線的交點，若∠NPK＝50°，則∠PMK＝（）A．50° B．55° C．45° D．40°二、填空題（每空3分，共30分，將答案填在答題紙相應的位置上.）9．已知△ABC≌△A'B'C'，∠A＝60°，∠B＝40°，則∠C′＝．10．在直角三角形中，斜邊長為10cm，則斜邊上的中線長為．11．如圖，某人將一塊正五邊形玻璃打碎成四塊，現要到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是帶塊．12．如圖，射線OC是∠AOB的角平分線，D是射線OC上一點，DP⊥OA于點P，DP＝5，若點Q是射線OB上一點，OQ＝4，則△ODQ的面積是．13．如圖，∠MON內有一點P，P點關于OM的軸對稱點是G，P點關于ON的軸對稱點是H，GH分別交OM、ON于A、B點，若∠MON＝32°，則∠GOH＝．14．如圖所示的網格是正方形網格，圖形的各個頂點均為格點，則∠1+∠2＝．15．如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一點，BE交AD于點F，若AB＝DE，則圖中陰影部分的面積為．16．如圖，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點D，則S△ADCm2．17．已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為°．18．如圖，在長方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分別是BC、CD上的一點，EF⊥AE，將△ECF沿EF翻折得到ΔEC′F，連接AC′．若△AEC′是等腰三角形，且AE＝AC′，則BE＝．三、解答題（共96分，把解答過程寫在答題紙相對應的位置上.）19．如圖，△ABC的頂點A、B、C都在小正方形的頂點上，利用網格線按下列要求畫圖．（1）畫△A1B1C1，使它與△ABC關于直線l成軸對稱；（2）在直線l上找一點P，使點P到點A、B的距離之和最短；（3）在直線l上找一點Q，使點Q到邊AC、BC的距離相等．20．如圖，已知△ABC，∠B＝90°，AB＜BC，D為AC上一點，且到A、B兩點的距離相等．（1）用直尺和圓規作點D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；（請用2B鉛筆作圖）（2）連接BD，若∠A＝48°，則∠DBC的度數為．21．如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求證：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝86°，求∠DEC的度數．22．如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，連接AP，求證：∠APC＝2∠B．（2）以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度數．23．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，且DE＝DF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE長．24．如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長．25．根據全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個內角、四條邊分別對應相等）的四邊形叫做全等四邊形．請借助三角形全等的知識，解決有關四邊形全等的問題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'中，AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，現在只需補充一個條件，就可得四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'．下列四個條件：①∠A＝∠A'；②∠D＝∠D'；③AD＝A'D'；④CD＝C'D'．（1）其中，符合要求的條件是.（直接寫出編號）（2）選擇（1）中的一個條件，證明四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'．26．如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結DM、ME，求∠DME的度數．27．（1）【問題發現】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a．將邊AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，連接CD．直接寫出△BCD的面積．（用含a的代數式表示）?28．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為線段BC延長線上（不與B、C重合）一動點，在AD的右側射線BC的上方作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）找出圖中的一對全等三角形，并證明你的結論；（2）延長EC交AB的延長線于點F，若∠F＝45°，①利用（1）中的結論求出∠DCE的度數；②當△ABD是等腰三角形時，直接寫出∠ADB的度數；（3）當D在線段BC上時，若線段BC＝3，△ABC面積為9，則四邊形ADCE周長的最小值是．?

參考答案一、選擇題（每題3分，共計24分，把正確答案填在答題紙相應的位置上。）1．如圖，四個圖標分別是劍橋大學、北京理工大學、浙江大學和北京大學的?；盏闹匾M成部分，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念判斷即可．解：A、不是軸對稱圖形；B、不是軸對稱圖形；C、不是軸對稱圖形；D、是軸對稱圖形；故選：D．【點評】本題考查的是軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（）A．13 B．17 C．13或17 D．13或10【分析】等腰三角形兩邊的長為3和7，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．解：①當腰是3，底邊是7時，不滿足三角形的三邊關系，因此舍去．②當底邊是3，腰長是7時，能構成三角形，則其周長＝3+7+7＝17．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，解題時注意：若沒有明確腰和底邊，則一定要分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形，這是解題的關鍵．3．如圖，為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條，這樣做使用的數學道理是（）A．兩點之間線段最短 B．三角形的穩定性 C．兩點確定一條直線 D．長方形的四個角都是直角【分析】用木條固定矩形門框，即是分割為兩個三角形，故可用三角形的穩定性解釋．解：加上木條后矩形門框分割為兩個三角形，而三角形具有穩定性．故選：B．【點評】本題考查三角形穩定性的實際應用．三角形的穩定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩定的結構，往往通過連接輔助線轉化為三角形而獲得．4．如圖，用直尺和圓規作射線OC，使它平分∠AOB，則△ODC≌△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根據SSS證明三角形全等即可．解：由作圖可知，OE＝OD，DC＝EC，在△ODC與△OEC中，∴△ODC≌△OEC（SSS），故選：A．【點評】此題考查全等三角形的判定，關鍵是根據三角形全等的判定方法解答．5．下列說法中，正確的是（）A．三角形三條角平分線的交點到三邊距離相等 B．兩條邊分別相等的兩個直角三角形全等 C．兩邊及一角分別相等的兩個三角形全等 D．等腰三角形的高線、中線及角平分線互相重合【分析】由角平分線的性質，全等三角形的判定方法．即可判斷．解：A、三角形三條角平分線的交點到三邊距離相等，正確，故A符合題意；B、兩條邊分別相等的兩個直角三角形不一定全等，故B不符合題意；C、兩邊及一角分別相等的兩個三角形不一定全等，故C不符合題意；D、等腰三角形的底邊的高線、中線及頂角平分線互相重合，故D不符合題意．故選：A．【點評】本題考查角平分線的性質，全等三角形的判定，關鍵是熟練掌握以上知識點．6．如圖所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于點E，則圖中全等三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【分析】從已知條件入手，結合全等的判定方法，通過分析推理，一一進行驗證，做到由易到難，不重不漏．解：在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（SAS）；∴∠A＝∠B，∵OA＝OB，OC＝OD，∴AC＝BD，在△CAE和△DBE中，∴△CAE≌△DBE（AAS）；∴AE＝BE，在△AOE和△BOE中，∴△AOE≌△BOE（SSS）；在△OCE和△ODE中，∴△OCE≌△ODE（SSS）．故選：C．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．7．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，則∠EDF＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】由題中條件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE＝∠CFD，∠EDF可由180°與∠BDE、∠CDF的差表示，進而求解即可．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝70°，∵BD＝CF，BE＝CD∴△BDE≌△CFD，∴∠BDE＝∠CFD，∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝∠C＝70°，故選：C．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理及全等三角形的判定及性質問題，能夠熟練掌握．8．在學習完角平分線性質與角平分線逆定理后，我們只在三角形內部研究，如果延伸到三角形的外角會發什么變化呢？請同學們完成以下題目（）知識回顧知識延伸已知點O為∠ABC與∠ACB的角平分線交點，通過證明OD＝OE＝OF可得點O在∠A的角平分線上．已知點P為△NMK兩外角角平分線的交點，若∠NPK＝50°，則∠PMK＝（）A．50° B．55° C．45° D．40°【分析】過點P作PE⊥MN于點E，PF⊥MK于點F，PQ⊥NK于點Q，根據角平分線的性質定理證得PE＝PQ＝PF，從而判定MP平分∠NMK，再根據∠NPK的度數求出∠EPF的度數，再根據四邊形的內角和定理求出∠NMK的度數即可解決．解：過點P作PE⊥MN于點E，PF⊥MK于點F，PQ⊥NK于點Q，∵點P為△NMK兩外角角平分線的交點，∴PE＝PQ＝PF，∴MP平分∠NMK，∵PE⊥MN于點E，PQ⊥NK于點Q，∴∠PEN＝∠PQN＝90°，∵PN平分∠ENK，∴∠ENP＝∠QNP，∴∠EPN＝∠QPN，同理，∠FPK＝∠QPK，∴∠NPK＝∠EPF，∵∠NPK＝50°，∴∠EPF＝100°，∵PE⊥MN于點E，PF⊥MK于點F，∴∠PEN＝∠PFK＝90°，∴∠NMK＝80°，∴∠PMK＝∠NMK＝40°．故選：D．【點評】本題考查了角平分線的判定和性質定理，解題的關鍵是掌握定理并靈活運用．二、填空題（每空3分，共30分，將答案填在答題紙相應的位置上.）9．已知△ABC≌△A'B'C'，∠A＝60°，∠B＝40°，則∠C′＝80°．【分析】直接利用全等三角形的性質得出對應角相等進而得出答案．解：∵△ABC≌△A'B'C'，∴∠A＝∠A′＝60°，∠B＝∠B′＝40°，∴∠C′＝180°﹣60°﹣40°＝80°．故答案為：80°．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質，正確得出對應角是解題關鍵．10．在直角三角形中，斜邊長為10cm，則斜邊上的中線長為5cm．【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．解：∵直角三角形斜邊長為10cm，∴斜邊上的中線長為5cm．故答案為：5cm．【點評】本題考查的是直角三角形的性質，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．11．如圖，某人將一塊正五邊形玻璃打碎成四塊，現要到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是帶①塊．【分析】類似全等三角形的判定，只要帶去的玻璃能夠測量正五邊形的內角的度數與正五邊形的邊長就可以，然后對各塊玻璃進行分析即可得解．解：帶①去，能夠測量出此正五邊形的內角的度數，以及邊長，所以可以配一塊完全一樣的玻璃，帶②③去，只能夠測量出正五邊形的內角的度數，不能夠量出邊長的長度，所以不可以配一塊完全一樣的玻璃；帶④去，既不能測量出正五邊形的內角的度數，也不能夠量出邊長的長度，所以不可以配一塊完全一樣的玻璃．所以最省事的方法是帶①去．故答案為①．【點評】本題考查了全等三角形的應用拓廣，根據正五邊形的定義每個角都相等，每條邊都相等，所以只要知道一個角、一條邊即可作出能夠完全重合的正五邊形．12．如圖，射線OC是∠AOB的角平分線，D是射線OC上一點，DP⊥OA于點P，DP＝5，若點Q是射線OB上一點，OQ＝4，則△ODQ的面積是10．【分析】作DH⊥OB于點H，根據角平分線的性質得到DH＝DP＝5，根據三角形的面積公式計算，得到答案．解：作DH⊥OB于點H，∵OC是∠AOB的角平分線，DP⊥OA，DH⊥OB，∴DH＝DP＝5，∴△ODQ的面積＝OQ?DH＝4×5＝10，故答案為：10．【點評】本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．13．如圖，∠MON內有一點P，P點關于OM的軸對稱點是G，P點關于ON的軸對稱點是H，GH分別交OM、ON于A、B點，若∠MON＝32°，則∠GOH＝64°．【分析】連接OP，根據軸對稱的性質可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入數據計算即可得解．解：如圖，連接OP，∵P點關于OM的軸對稱點是G，P點關于ON的軸對稱點是H，∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，∵∠MON＝32°，∴∠GOH＝2×32°＝64°．故答案為：64°．【點評】本題考查了軸對稱的性質，熟記性質并確定出相等的角是解題的關鍵．14．如圖所示的網格是正方形網格，圖形的各個頂點均為格點，則∠1+∠2＝45°．【分析】直接利用網格得出對應角∠1＝∠3，進而得出答案．解：如圖所示：在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠1＝∠3，則∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°．故答案為：45°．【點評】此題主要考查了全等圖形，正確借助網格分析是解題關鍵．15．如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一點，BE交AD于點F，若AB＝DE，則圖中陰影部分的面積為12．【分析】先由AB∥CD，證明∠B＝∠FED，∠FAB＝∠D，即可根據全等三角形的判定定理“ASA”證明△ABF≌△DEF，再由S陰影＝S四邊形ACEF+S△ABF＝S四邊形ACEF+S△DEF＝S△ACD，求出圖中陰影部分的面積即可．解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠FED，∠FAB＝∠D，在△ABF和△DEF中，，∴△ABF≌△DEF（ASA），∴S△ABF＝S△DEF，∵∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，∴S陰影＝S四邊形ACEF+S△ABF＝S四邊形ACEF+S△DEF＝S△ACD＝×4×6＝12，∴圖中陰影部分的面積為12，故答案為：12．【點評】此題重點考查平行線的性質、全等三角形的判定與性質、根據轉化思想求圖形的面積等知識與方法，證明△ABF≌△DEF是解題的關鍵．16．如圖，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點D，則S△ADC12m2．【分析】延長BD交AC于點E，則可知△ABE為等腰三角形，則S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC＝S△ABC．解：如圖，延長BD交AC于點E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2），故答案為：12；【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解題的關鍵．17．已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為72°．【分析】設∠A＝x，根據翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形內角和定理構建方程即可解決問題．解：設∠A＝x，根據翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠ABC＝72°故答案為72【點評】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．18．如圖，在長方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分別是BC、CD上的一點，EF⊥AE，將△ECF沿EF翻折得到ΔEC′F，連接AC′．若△AEC′是等腰三角形，且AE＝AC′，則BE＝．【分析】作AH⊥EC′，設BE＝x，則EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x，由∠AEF＝90°，EF平方∠CEC′可證得∠AEB＝∠AEH，則△ABE≌△AHE，所以BE＝HE＝x，由三線合一得EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解方程即可．解：設BE＝x，則EC＝8﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝8﹣x，如圖，作AH⊥EC，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，∴∠BEA+∠FEC＝90°，∵△ECF沿EF翻折得△EC′F，∴∠FEC′＝∠FEC，∴∠AEB＝∠AEH，在△ABE與△AHE中，，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴BE＝HE＝x，∵AE＝AC′，∴EC′＝2EH，即8﹣x＝2x，解得x＝．故答案為：．【點評】本題考查了矩形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識點，涉及到方程思想和分類討論思想．當AE＝AC′時如何列方程，有一定難度．三、解答題（共96分，把解答過程寫在答題紙相對應的位置上.）19．如圖，△ABC的頂點A、B、C都在小正方形的頂點上，利用網格線按下列要求畫圖．（1）畫△A1B1C1，使它與△ABC關于直線l成軸對稱；（2）在直線l上找一點P，使點P到點A、B的距離之和最短；（3）在直線l上找一點Q，使點Q到邊AC、BC的距離相等．【分析】（1）分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可．（2）連接A1B交直線l于點P，點P即為所求作．（3）∠ACB的角平分線與直線l的交點Q即為所求作．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求作．（2）如圖，點P即為所求作．（3）如圖，點Q即為所求作．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，角平分線的性質，軸對稱﹣最短問題等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．20．如圖，已知△ABC，∠B＝90°，AB＜BC，D為AC上一點，且到A、B兩點的距離相等．（1）用直尺和圓規作點D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；（請用2B鉛筆作圖）（2）連接BD，若∠A＝48°，則∠DBC的度數為42°．【分析】（1）作線段AC的垂直平分線，此直線與線段AC的交點即為D點；（2）先根據AD＝BD求出∠DBA＝∠A＝48°，再由直角三角形的性質得出∠ABC的度數，進而可得出∠DBC．解：（1）如圖，點D為所求作的點．（2）∵由（1）作法可知AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝48°，又∵∠B＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠CBD＝90°﹣∠DBA，即∠CBD＝90°﹣48°＝42°．故答案為：42°．【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法及性質是解答此題的關鍵．21．如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求證：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝86°，求∠DEC的度數．【分析】（1）根據角的和差可得到∠ACB＝∠DCE，利用AAS證明△ABC≌△DEC，即可證得結論；（2）根據∠ACD＝86°，AC＝CD，得到∠CAD＝∠D＝47°，根據等腰三角形的性質得到∠ACE＝∠AEC＝66.5°，由平角的定義得到∠DEC＝180°﹣∠AEC＝113.5°．【解答】（1）證明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；（2）解：∵∠ACD＝86°，AC＝CD，∴∠CAD＝∠D＝47°，∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝66.5°，∴∠DEC＝180°﹣∠AEC＝113.5°．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．22．如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，連接AP，求證：∠APC＝2∠B．（2）以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度數．【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質可知PA＝PB，根據等腰三角形的性質可得∠B＝∠BAP，根據三角形的外角性質即可證得APC＝2∠B；（2）根據題意可知BA＝BQ，根據等腰三角形的性質可得∠BAQ＝∠BQA，再根據三角形的內角和公式即可解答．解：（1）證明：∵線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根據題意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質、垂直平分線的性質以及三角形的外角性質，難度適中．23．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，且DE＝DF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE長．【分析】（1）證Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），得∠DAE＝∠DAF，即可得出結論；（2）由三角形面積公式得AB?DE+AC?DF＝（AB+AC）?DE＝15，即可得出結論．【解答】（1）證明：∵DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，∴DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE＝∠DAF，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝15，即AB?DE+AC?DF＝（AB+AC）?DE＝15，∵AB+AC＝10，∴×10?DE＝15，∴DE＝3，即DE的長為3．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質以及三角形面積等知識，證明三角形全等是解題的關鍵．24．如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長．【分析】（1）證明∠ABC＝∠ACB＝60°；證明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解決問題．（2）證明BD＝OD；同理可證CE＝OE；即可解決問題．解：（1）△ODE是等邊三角形；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE為等邊三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可證CE＝OE；∴△ODE的周長＝BC＝10．【點評】該題主要考查了等邊三角形的判定及其性質的應用問題；解題的關鍵是靈活運用平行線的性質、等邊三角形的性質來分析、判斷、解答．25．根據全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個內角、四條邊分別對應相等）的四邊形叫做全等四邊形．請借助三角形全等的知識，解決有關四邊形全等的問題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'中，AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，現在只需補充一個條件，就可得四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'．下列四個條件：①∠A＝∠A'；②∠D＝∠D'；③AD＝A'D'；④CD＝C'D'．（1）其中，符合要求的條件是①②④.（直接寫出編號）（2）選擇（1）中的一個條件，證明四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'．【分析】（1）根據題意即可得到結論；（2）連接AC、A′C′，根據全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．解：（1）符合要求的條件是①②④，故答案為：①②④；（2）選④，證明：連接AC、A′C′，在△ABC與△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠BCD＝∠B′C′D′，∴∠BCD﹣∠ACB＝∠B′C′D′﹣∠A′C′B′，∴∠ACD＝∠A′C′D′，在△ACD和△A′C′D中，，∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），∴∠D＝∠D，∠DAC＝∠D′A′C′，DA＝D′A′，∴∠BAC+∠DAC＝∠B′A′C′+∠D′A′C′，即∠BAD＝∠B′A′D′，∴四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，∴四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．26．如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結DM、ME，求∠DME的度數．【分析】（1）連接DM，ME，根據直角三角形的性質得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根據等腰直角三角形的性質證明；（2）根據三角形內角和定理、等腰三角形性質、平角的定義求解即可；【解答】（1）證明：如圖，連接DM，ME，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N為DE中點，∴MN⊥DE；（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，∴180°﹣∠A＝120°，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°．【點評】此題考查了直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質，熟記直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．27．（1）【問題發現】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝7．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a．將邊AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，連接CD．直接寫出△BCD的面積．（用含a的代數式表示）?【分析】（1）根據一線三直角證明三角形全等，得到AB＝CE，DE＝BC，依據BE＝BC+CE可得結果；（2）根據（1）的結論可得DM＝BC＝4，依據面積公式計算即可；（3）根據一線三直角得到三角形全等，DM＝BC＝4，依據三角形面積公式計算得到即可．解：（1）在Rt△ABC和Rt△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴BC＝DE，AB＝CE，∴BE＝BC+CE＝DE+AB＝4+3＝7，故答案為：7．（2）如圖2，作DM⊥BC交BC的延長線于點M．由（1）可知，△ABC≌△CMD（AAS），∴DM＝BC＝4，∴S△BCD＝＝＝8．（3）如圖3，作AN⊥CB于N點，作DM⊥CB交CB延長線于點M．由（1）可得△ANB≌△BMD（AAS），∴NB