2024屆上海市崇明區數學高二上期末經典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的兩個焦點為，，是此雙曲線上的一點，且滿足，，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.2．已知點在拋物線：上，則的焦點到其準線的距離為（）A. B.C.1 D.23．若關于x的方程有解，則實數的取值范圍為()A. B.C. D.4．甲乙兩個雷達獨立工作，它們發現飛行目標的概率分別是0.9和0.8，飛行目標被雷達發現的概率為（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.985．若向量，，則（）A. B.C. D.6．已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是函數的極大值點B.函數在區間上單調遞增C.是函數的最小值點D.曲線在處切線的斜率小于零7．已知F(3,0)是橢圓的一個焦點，過F且垂直x軸的弦長為，則該橢圓的方程為（）A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=18．直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.都有可能9．已知對任意實數，有，且時，則時A. B.C. D.10．若公差不為0的等差數列的前n項和是，，且，，為等比數列，則使成立的最大n是（）A.6 B.10C.11 D.1211．函數在上的最小值為（）A. B.C.-1 D.12．若函數在區間上有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，橢圓的左右焦點為，，以為圓心的圓過原點，且與橢圓在第一象限交于點，若過、的直線與圓相切，則直線的斜率______；橢圓的離心率______.14．已知，在直線上存在點P，使，則m的最大值是_______.15．已知為平面的一個法向量，為直線的方向向量.若，則__________.16．若兩條直線與互相垂直，則a的值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，其中a為正數（1）討論單調性；（2）求證：18．（12分）已知等差數列的前項和為，且，（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和19．（12分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統計局調查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計月均用電量的眾數；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，月均用電量不高于平均數的為第一檔，高于平均數的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應該按那一檔電價收費，說明理由.20．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若動點在橢圓上，且在第一象限內，點分別為橢圓的左、右頂點，直線分別與橢圓C交于點，過作直線的平行線與橢圓交于點，問直線是否過定點，若經過定點，求出該定點的坐標；若不經過定點，請說明理由.21．（12分）已知等差數列滿足，（1）求的通項公式；（2）若等比數列的前n項和為，且，，，求滿足的n的最大值22．（10分）已知.（1）求在上的單調遞增區間；（2）已知銳角內角，，的對邊長分別是，，，若，.求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由，可得進一步求出，由此得到，則該雙曲線的方程可求【詳解】，即，則．即，則該雙曲線的方程是：故選：A【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的方程，常用待定系數法，先定式（根據已知確定焦點所在的坐標軸，設出曲線的方程），再定式（根據已知建立方程組解方程組得解）.2、B【解析】由點在拋物線上，求得參數，焦點到其準線的距離即為.【詳解】由點在拋物線上，易知，，故焦點到其準線的距離為.故選：B.3、C【解析】將對數方程化為指數方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范圍【詳解】，，當且僅當時取等號，故故選：C4、D【解析】利用對立事件的概率求法求飛行目標被雷達發現的概率.【詳解】由題設，飛行目標不被甲、乙發現的概率分別為、，所以飛行目標被雷達發現的概率為.故選：D5、D【解析】由向量數量積的坐標運算求得數量積，模，結合向量的共線定義判斷【詳解】由已知，，，與不垂直，若，則，，但是，，因此與不共線故選：D6、B【解析】根據導函數的圖象，得到函數的單調區間與極值點，即可判斷；【詳解】解：由導函數的圖象可知，當時，當時，當時，當或時，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在處取得極小值即最小值，所以是函數的極小值點與最小值點，因為，所以曲線在處切線的斜率大于零，故選：B7、C【解析】根據已知條件求得，由此求得橢圓的方程.【詳解】依題意，所以橢圓方程為.故選：C8、A【解析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進行大小比較即可求解.【詳解】解：圓的圓心，，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓的位置關系是相交，故選：A.9、B【解析】，所以是奇函數，關于原點對稱，是偶函數，關于y軸對稱，時則都是增函數，由對稱性可知時遞增，遞減，所以考點：函數奇偶性單調性10、C【解析】設等差數列的公差為d，根據，且，，為等比數列，求得首項和公差，再利用前n項和公式求解.【詳解】設等差數列的公差為d，因為，且，，為等比數列，所以，解得或（舍去），則，所以，解得，所以使成立的最大n是11，故選：C11、D【解析】求出函數的導函數，根據導數的符號求出函數的單調區間，再根據函數的單調性即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故.故選：D.12、D【解析】由題意，即在區間上有兩個異號零點，令，利用函數的單調性與導數的關系判斷單調性，數形結合即可求解【詳解】解：由題意，即在區間上有兩個異號零點，構造函數，則，令，得，令，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又時，，時，，且，所以，即，所以的范圍故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據直角三角形的性質求得，由此求得，結合橢圓的定義求得離心率.【詳解】連接，由于是圓的切線，所以.在中，，所以，所以，所以直線的斜率.，根據橢圓的定義可知.故答案為：；【點睛】本小題主要考查橢圓的定義、橢圓的離心率，屬于中檔題.14、11【解析】設P點坐標，根據條件知，由向量的坐標運算可得P點位于圓上，再根據P存在于直線上，可知直線和圓有交點，因此列出相應的不等式，求得m范圍，可得m的最大值.【詳解】設P（x,y）,則，由題意可知,所以，即，即滿足條件的點P在圓上，又根據題意P點存在于直線上，則直線與圓有交點，故有圓心(1,0)到直線的距離小于等于圓的半徑，即，解得，則m的最大值為11，故答案為：11.15、##【解析】根據線面平行列方程，化簡求得的值.【詳解】由于，所以.故答案為：16、4【解析】兩直線斜率均存在時，兩直線垂直，斜率相乘等于-1，據此即可求解.【詳解】由題可知，.故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求解函數的導函數，并且求的兩個根，然后分類討論，和三種情況下對應的單調性；（2）令，通過二次求導法，判斷函數的單調性與最小值，設的零點為，求出取值范圍，最后將轉化為的對勾函數并求解最小值，即可證明出不等式.【小問1詳解】函數的定義域為∵令得∵，∴，得或①當，即時，時，或；時，.∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增②當，即時，時，或；時，.∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增③當，即時，∴在上單調遞增綜上所述：當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增【小問2詳解】令，（）∴，令∴，∴在上單調遞增又∵，，∴使得，即（*）∴當時，，∴，∴單調遞減∴當時，，∴，∴單調遞增∴，（）由（*）式可知：，∴，∴∵，∴函數單調遞減∴，∴∴【點睛】求解本題的關鍵是利用二次求導法，通過虛設零點，求解原函數的單調性與最小值，并通過最小值的取值范圍證明不等式.18、（1）（2）【解析】（1）設等差數列公差為d，首項為a1，根據已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項公式即可得答案；（2）根據等差、等比數列的前n項和公式，利用分組求和法即可求解【小問1詳解】解：設等差數列公差為d，首項為a1，由題意，有，解得，所以；【小問2詳解】解：，所以19、（1）175（2）0.004（3）該居民該戶居民應該按第二檔電價收費，理由見解析【解析】（1）在區間對應的小矩形最高，由此能求出眾數；（2）利用各個區間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數的估計值即可判斷.【小問1詳解】由題知，月均用電量在區間內的居民最多，可以將這個區間的中點175作為眾數的估計值，所以眾數的估計值為175.【小問2詳解】由題知：，解得則的值為0.004.【小問3詳解】平均數的估計值為：，則月均用電量的平均數的估計值為，又∵∴該居民該戶居民應該按第二檔電價收費.20、（1）（2）過定點，【解析】（1）根據橢圓上的點及離心率求出a,b即可；（2）設點，設直線的方程為，聯立方程，得到根與系數的關系，利用條件化簡，結合橢圓方程，求出即可得解.【小問1詳解】由，有，又，所以，橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】設點，設直線的方程為.如圖，聯立，消有：，韋達定理有：由，所以，又，所以又，所以.又所以有，把代入有：，解得或2，又直線不過右端點，所以，則，所以直線過定點.21、（1）（2）10【解析】(1)設等差數列公差為d，根據已知條件列關于和d的方程組即可求解；(2)設等比數列公比為q，根據已知條件求出和q，根據等比數列求和公式即可求出，再解關于n的不等式