三角形的“四心”所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及內心.當三角形是正三角形時，四心重合為一點，統稱為三角形的中心.一、外心【定義】三角形三條中垂線的交點叫外心，即外接圓圓心.的重心一般用字母表示.【性質】外心到三頂點等距，即.外心與三角形邊的中點的連線垂直于三角形的這一邊，即.3..二、內心【定義】三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心，即內切圓圓心.的內心一般用字母表示.【性質】1.內心到三角形三邊等距，且頂點與內心的連線平分頂角.2.三角形的面積＝三角形的周長內切圓的半徑．3.；三角形的周長的一半.4.，.三、垂心【定義】三角形三條高的交點叫重心.的重心一般用字母表示.【性質】頂點與垂心連線必垂直對邊，即.△的垂心為，△的垂心為，△的垂心為.四、重心【定義】三角形三條中線的交點叫重心.的重心一般用字母表示.【性質】1.頂點與重心的連線必平分對邊.2.重心定理：三角形重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的倍.即重心的坐標是三頂點坐標的平均值．即.向量性質：（1）；（2），5..三角形“四心”的向量形式：結論1：若點為所在的平面內一點，滿足，則點為的垂心.結論2：若點為△ABC所在的平面內一點，滿足，則點為的垂心.結論3：若點滿足，則點為的重心.結論4：若點為所在的平面內一點，滿足，則點為的重心.結論5：若點為所在的平面內一點，并且滿足（其中為三角形的三邊），則點為△ABC的內心.結論6：若點為所在的平面內一點，滿足，則點為的外心.結論7：設，則向量，則動點的軌跡過的內心.同理可證：平分，平分．從而是的內心，如圖⑸.【命題6】已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的內心．【解析】由題意得，∴當時，表示的平分線所在直線方向的向量，故動點的軌跡一定通過的內心，如圖⑹.四、“外心”的向量風采【命題7】已知是所在平面上一點，若，則是的外心．圖⑺圖⑺圖⑻【解析】若，則，∴，則是的外心，如圖⑺.【命題7】已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的外心.【解析】由于過的中點，當時，表示垂直于的向量，所以在垂直平分線上，動點的軌跡一定通過的外心，如圖⑻.練習：1.已知三個頂點及平面內一點，滿足，若實數滿足：，則的值為（）A．2B．C．3D．62．若的外接圓的圓心為O，半徑為1，，則()A．B．0C．1D．3．點在內部且滿足，則面積與凹四邊形面積之比是（）A．0B．C．D．4．的外接圓的圓心為O，若，則是的（）A．外心B．內心C．重心D．垂心5．是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，若，則是的（）A．外心B．內心C．重心D．垂心6.的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點為H,，則實數m=7．（06陜西）已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),則△ABC為()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形8．已知三個頂點，若，則為（）A．等腰三角