第五章

頻率域圖像處理

頻率域圖像是把空間域圖像像素的灰度值表示成隨位置變化的空間頻率，并以頻譜（也稱為頻譜圖））的形式表示圖像信息分布特征的一種表示方式。

頻率域圖像處理是指在圖像的頻率域中對圖像進行某種處理的方法，這種方法以傅里葉變換為基礎，也即先通過傅里葉變換把圖像從空間域變換到頻率域，然后用頻率域方法對圖像進行處理，處理完后再利用傅里葉反變換把圖像變換回空間域。5.1二維離散傅里葉變換5.1二維離散傅里葉變換

由于離散傅里葉變換描述了離散信號的時域及空間域表示與頻域表示的關系，所以利用基于離散傅里葉變換的時域與頻域分析方法可解決大多數圖像處理問題，因而離散傅里葉變換在圖像處理領域獲得了極為廣泛的應用。

由于二維離散傅里葉變換對應地可以描述成一個二維函數，所以下面介紹應用于圖像處理的。1、二維離散傅里葉變換的定義

5.1.1二維離散傅里葉變換的定義和傅里葉頻譜

設f(x,y)是在空間域上等間隔采樣得到的M×N的二維離散信號，x和y是離散實變量，u和v為離散頻率變量，則二維離散傅里葉變換對一般地定義為：

(u=0,1,…,M-1；v=0,1,…,N-1)(5.1)

(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1)

(5.2)

1、二維離散傅里葉變換的定義

根據:

(5.3)

可知，F(u,v)的運算結果是一個復數結果，用R(u,v)表示其實部，用I(u,v)表示其虛部，可將二維離散傅里葉變換的頻譜和相位角分別定義為：(5.4)和歐拉公式:2、圖像的傅里葉頻譜特性及頻譜圖傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數，從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域。

5.1.1二維離散傅里葉變換的定義和傅里葉頻譜

(a)圖像(b)圖像的原頻譜圖

性質包括：線性性、可分離性、平均值性質、周期性、共扼對稱性、空間位置和空間頻率的平移性、旋轉性、尺度變換性、卷積性質等。

本節僅介紹幾種比較重要且與書中內容有關的性質。

5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質1、變換系數矩陣

5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質根據變換式(5.2)，由于u有0,1,…,M-1的M個可能的取值，v有0,1,…,N-1的N個可能的取值，所以f(x,y)由M*N個頻率分量組成，所以每個頻率分量都與一個特定的(u,v)值相對應；

且對于某個特定的(u,v)值來說，當(x,y)取遍所有可能的值(x=0，1，…，N-1；y=0，1，…，N-1）時，就可得到對應于該特定的(u,v)值的一個變換系數矩陣：(5.2)

5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質1、變換系數矩陣

可見，該矩陣的值僅與N有關，與f(x,y)無關。

2、可分離性

式(5.1)和式(5.2)的二維離散傅里葉變換對可寫成如下的分離形式：

上述的可分離表示形式說明，可以連續運用兩次一維DFT來實現一個二維DFT。

5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質2、可分離性

2、可分離性

行變換列變換5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質3、平均值

一幅圖像的灰度平均值可表示為：

(5.10)5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質4、周期性

對于M×N的圖像和二維離散傅里葉變換對的一般定義式(5.1)和(5.2)，F(u,v)的周期性定義為：

(m,n=0,±1,±2,…）(5.13)5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質5、共軛對稱性

設f(x,y)為實函數，則其傅里葉變換F(u,v)具有共軛對稱性：(5.14)(5.15)5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質6、平移性

對于M×N的圖像f(x,y)和二維離散傅里葉變換對的一般定義式(5.1)和(5.2)，若設用符號表示函數與其傅里葉變換的對應性，則傅里葉變換的平移性可表示為：

(5.16)

(5.17)其中，式(5.16)說明，給函數乘以一個指數項，就相當于把其變換后的傅里葉頻譜在頻率域進行平移。

式(5.17)說明，給傅里葉頻譜乘以一個指數項，就相當于把其反變換后得到的函數在空間域進行平移。

5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質6、平移性

可見，當空域中f(x,y)產生移動時，在頻域中只發生相移，而傅立葉變換的幅值不變，即：

同理，當頻域中F(u,v)產生移動時，相應的f(x,y)在空域中也只發生相移，而幅值不變。5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質1、圖像傅里葉頻譜關于(M/2，N/2)的對稱性

5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析設f(x,y)是一幅大小為M×N的圖像，根據離散傅立葉變換的周期性公式(5.13)，有：根據(5.22)，對于u=0，M-U=M當u=0、v=0時：當u=0、v=1時：當u=0、v=2時：┆┆當u=0、v=N/2時：0N/2NMM/2(M,N)(M/2,N/2)ABCDvu(M/2,N)(M,N/2)1、圖像傅里葉頻譜關于(M/2，N/2)的對稱性

(5.19)5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析1、圖像傅里葉頻譜關于(M/2，N/2)的對稱性

(5.19)同理，對于v=0，N–v=N：當u=0、v=0時：當u=1、v=0時：當u=2、v=0時：┆┆當u=M/2、v=0時：由此可得：

頻譜圖A區與D區和B區與C區關于坐標(M/2,N/2)對稱。5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析1、圖像傅里葉頻譜關于(M/2，N/2)的對稱性

下圖是原點坐標位于(0,0)的圖像的傅里葉變換頻譜關于(M/2,N/2)對稱的兩個例子。

關于(M/2,N/2)對稱示例1/示例2

(a)圖像(b)圖像的原頻譜圖(a)圖像(b)圖像的原頻譜圖5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析2、原點坐標平移到(M/2，N/2)后的傅里葉頻譜

(0,0）(M/2,N/2）vuvu0NM(M,N）yx0NM(M,N）vu5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析2、原點坐標平移到(M/2，N/2)后的傅里葉頻譜

即：基于原頻譜圖，只要把其左上角的A區向下和向右平移到結果頻譜圖的D區,對應地把其右下角的D區向上和向左平移到結果頻譜圖的A區，同理把其右上角的B區向下和向左平移到結果頻譜圖的C區,對應地把其左下角的C區向上和向右平移到結果頻譜圖的B區，就可以得到中心對稱的頻譜圖。

5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析2、原點坐標平移到(M/2，N/2)后的傅里葉頻譜

坐標位于(0,0)的頻譜圖坐標位于(0,0)的頻譜圖圖5.7原點平移到(M/2，N/2)后的頻譜圖

原點在(0,0)時的頻譜圖:5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析(a)(b)2、原點坐標平移到(M/2，N/2)后的傅里葉頻譜

（a）原圖像（b）移動前的幅度譜（c）移動后幅度譜5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析坐標位于(0,0)的頻譜圖坐標位于(0,0)的頻譜圖圖5.7原點平移到(M/2，N/2)后的頻譜圖

原點在(0,0)時的頻譜圖:的傅里葉頻譜圖。5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析(a)(b)離散傅里葉變換的-頻譜示例

離散傅里葉變換的-頻譜示例

離散傅里葉變換的-頻譜示例

離散傅里葉變換的-頻譜示例

3、對圖像進行傅里葉變換的意義

（1）簡化計算，在空間域中處理圖像時所進行的復雜的卷積運算，等同于在頻率域中簡單的乘積運算。5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析4、對圖像進行傅里葉變換的意義

（2）由于在用頻譜圖表示的頻率域圖像中，中心部位是能量集中的低頻特征，反映的是圖像的平滑部分；隨著不斷遠離頻譜圖的中心位置，對應于空間圖像中變化越來越快的細節、邊緣、結構復雜區域、突變部位和噪聲等高頻成分逐漸加強。所以，在頻率域中濾波的概念更為直觀，更容易理解；也即，某些在空間域中難于處理或處理起來比較復雜的問題，在頻率域卻比較容易處理。5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析4、對圖像進行傅里葉變換的意義

（3）某些只能在頻率域處理的特定應用需求，比如頻率域圖像特征提取、數據壓縮、紋理分析、水印嵌入等。

5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析5.1.4快速離散傅里葉變換及其實現5、二維DFT的Matlab編程

相關函數：（1）F=fft2(f1);%二維傅里葉變換

（2）FS=fftshift(F);%將變換的頻率圖像四角移動到中心

（3）S=log(1+abs(FS));%對頻譜進行對數運算，提升中心低頻部分，為了更好地顯示

（4）fr=real(ifft2(ifftshift(FS)));%二維傅里葉逆變換5.1.4快速離散傅里葉變換及其實現5、二維DFT的Matlab編程

（5）ret=im2uint8(mat2gray(fr))其中：①mat2gray的功能是實現圖像矩陣的歸一化操作。②im2uint8的功能是把圖像數據類型轉換為無符號八位整型。

【例】傅里葉變換（Fouriertransform）matlab程序(Fourier_T51.m)clc;clearall;closeall;gray_img=imread('d:\0_matlab圖像課編程\girl.jpg')%讀灰度圖像FT_img=fft2(gray_img);%二維傅里葉正變換FTS_img=fftshift(FT_img);%分4塊平移頻譜圖，實現頻譜圖的中心對稱FTS_log_img=log(1+abs(FTS_img));%頻譜圖對數運算Inverse_I=ifftshift(FTS_img);%反移頻譜中心Inverse_img=real(ifft2(Inverse_I));%傅里葉逆變換，并取變換結果的實部Inverse_FT_img=uint8(Inverse_img);%轉換成8位圖像subplot(1,3,1);imshow(gray_img);title('原灰度圖像');subplot(1,3,2);imshow(FTS_log_img,[]);title('傅立葉頻譜圖像');subplot(1,3,3);imshow(Inverse_FT_img);title('反變換結果圖像');

5.2頻率域圖像處理的實現思路

二維離散傅里葉變換很好地描述了二維離散信號的空間域與頻域之間的關系，所以對于那些在空間域中表述起來比較困難，甚至是不太可能實現的圖像處理問題，可以先通過對圖像進行離散傅里葉變換把圖像變換到頻率域，然后利用適當的頻率域圖像處理方式對圖像進行處理，處理完后再把它轉換回空間域中，就可解決那些在空間域不便于解決的圖像處理問題。由傅立葉頻譜的特性可知，u和v同時為0時的頻率成分對應于圖像的平均灰度級。當從(傅立葉)變換的原點離開時，低頻對應著圖像的慢變化分量，比如一幅圖像中較平坦的區域；當進一步離開原點時，較高的頻率開始對應圖像中變化越來越快的灰度級，它們反映了一幅圖像中物體的邊緣和灰度級突發改變(如噪聲)部分的圖像成分。

頻率域圖像增強正是基于這種機理，通過對圖像的傅立葉頻譜進行低通濾波(使低頻通過，使高頻衰減)來慮除噪聲，通過對圖像的傅立葉頻譜進行高通濾波(使高頻通過，使低頻衰減)突出圖像中的邊緣和輪廓。

5.2.1基本實現思想5.2.1基本實現思想5.2.1基本實現思想以上過程可簡要地描述為圖5.10。5.2.1基本實現思想5.2.1基本實現思想

頻率域（高低痛）濾波的原理：轉移函數H(u,v)的設計:

一是先憑直觀感覺選擇一個理想的濾波器模型，然后通過反復的濾波實驗和參數修正來逼近并設計出實際的濾波器。

二是利用頻率成分和圖像外表之間的對應關系選擇頻率域濾波器。

三是基于數學和統計準則設計頻率域濾波器。5.2.2轉移函數的設計

對于大小為M×N的函數f(x,y)和h(x,y)，其卷積形式表示為：

用F(u,v)和H(u,v)分別表示f(x,y)和h(x,y)的傅立葉變換，則有傅立葉變換變換對：（5.23）

（5.24）

也即，空間域的卷積在頻率域簡化為相乘，頻率域的卷積在空間域簡化為相乘；有時也可以將頻率域的濾波器函數變換到空間域，然后再在空間域對圖像進行濾波運算。

5.2.2轉移函數的設計

5.3基于頻率域的圖像噪聲消除——頻率域低通濾波

在頻率域中，圖像中的噪聲和邊緣對應于傅立葉頻譜的高頻部分，選擇能使低頻通過、使高頻衰減的轉移函數，就可以實現低通濾波，達到慮除噪聲的目的。

5.3.1理想低通濾波器

1.

理想低通濾波器的轉移函數定義

其中，D0是1個非負整數，D(u,v)為頻率平面從原點到點(u,v)的距離。（5.25）

D(u,v)的值：

設已經將傅里葉頻譜的原點平移到(M/2,N/2），則點（u,v）到頻率平面原點(M/2,N/2)的距離為：（5.26）

(0,0）(M/2,N/2）vu5.3.1理想低通濾波器

1.

理想低通濾波器的轉移函數定義

2.

理想低通濾波器的含義在半徑為D0的圓內，所有的頻率沒有衰減地通過該濾波器；而在此半徑的圓之外的所有頻率完全被衰減掉。所以稱D0為截至頻率。5.3.1理想低通濾波器

3.

理想低通濾波器的轉移函數橫截面圖和透視圖

1（a）轉移函數（b）透視圖該透視圖的含義是：

只有那些位于該圓柱體內的頻率范圍的信號才能通過，而位于圓柱體外的頻率成分都將被慮除掉。頻譜幅度譜5.3.1理想低通濾波器

例5.4頻率域理想低通濾波器的濾波效果及低頻特性分析若一般地設R為截止頻率的圓周半徑，EB為圓周內能量（圖像功率）與原圖像總能量（總功率）的百分比，根據圖像信號能量在頻率域上的分布有：(5.27)

5.3.1理想低通濾波器

例5.4（續1）(a)原圖像(b)頻譜圖

(c)截止頻率半徑10

(d)截止頻率半徑20(e)截止頻率半徑40(f)截止頻率半徑80

5.3.1理想低通濾波器

5.3.1理想低通濾波器

1.巴特沃斯低通濾波器的轉移函數定義（5.28）

其中，D0為截至頻率，D(u,v)為頻率平面從原點到點(u,v)的距離，且D(u,v)由下式給出。即：5.3.2巴特沃斯低通濾波器（5.26）

2.轉移函數橫截面圖和透視圖（階數n為1～4）

（a）轉移函數（b）透視圖透視圖的含義是：只有那些位于該草帽型體內的頻率范圍的信號才能通過，而位于草帽型體外的頻率成分都將被慮除掉。頻譜幅度譜5.3.2巴特沃斯低通濾波器圖5.14是利用巴特沃斯低通濾波器進行圖像去噪的實驗結果。5.3.2巴特沃斯低通濾波器【例】利用巴特沃斯低通濾波器進行圖像去噪matlab編程。clc;clearall;closeall;img0=imread('d:\0_matlab圖像課編程\lena.jpg');Noisy_img=imnoise(img0,‘salt&pepper’,0.02);%噪聲密度為0.02的椒鹽噪聲f=double(Noisy_img);FT_img=fft2(f);%傅里葉變換FTS_img=fftshift(FT_img);%平移頻譜圖為中心對稱D0=input('\n請輸入非負的截止頻率值(10/20/30)D0=')%正整數n=input('\n請輸入巴特奧斯濾波器的階數(1/2/3)n=');%濾波器階數1至3[h,w]=size(img0);M=fix(h/2);N=fix(w/2);%將h/2和w/2分別向零方向(向下)取整foru=1:hforv=1:wduv=sqrt((u-M)^2+(v-N)^2);huv=1/(1+(duv/D0)^(2*n));%計算巴特奧斯低通濾波器轉移函數值

huv_img(u,v)=huv*FTS_img(u,v);%對傅里葉頻譜進行濾波

endend【例】利用巴特沃斯低通濾波器進行圖像去噪matlab編程。Inverse_I=ifftshift(huv_img);%反移頻譜中心Inverse_img=real(ifft2(Inverse_I));%傅里葉逆變換，并取變換結果的實部Inverse_H_img=uint8(Inverse_img);%轉換成8位圖像figure;subplot(1,3,1);imshow(img0);title('原圖像');subplot(1,3,2);imshow(Noisy_img);title('加入椒鹽噪聲圖像');subplot(1,3,3);imshow(Inverse_H_img);title('低通濾波結果圖像');截至頻率D0=10，濾波器階數n=2

1.二維高斯低通濾波器的轉移函數定義（5.29）

其中，D(u,v)為頻率平面從原點到點(u,v)的距離，σ

表示高斯曲線擴展的程度，且D(u,v)由下式給出：當σ

=D0時，可得到高斯低通濾波器的一種更為標準的表示形式：（5.30）

5.3.3高斯低通濾波器（5.26）

2.轉移函數橫截面圖和透視圖（D=10,20,40,100）

透視圖的含義是：只有那些位于該草帽型體內的頻率范圍的信號才能通過，而位于草帽型體外的頻率成分都將被慮除掉。（a）轉移函數（b）透視圖頻譜幅度譜5.3.3高斯低通濾波器5.4基于頻率域的圖像增強——頻率域高通濾波

在頻率域中，圖像中的邊緣和灰度的陡峭變化對應于傅立葉頻譜的高頻部分，選擇能使高頻通過、使低頻衰減的轉移函數，就可以實現高通濾波，達到突出圖像的高頻邊緣成分，實現圖像增強的效果。

1.理想高通濾波器的轉移函數定義（5.31）

其中，D0為截至頻率；D(u,v)為頻率平面從原點到點(u,v)的距離，且D(u,v)由下式給出：5.4.1理想高通濾波器

（5.26）

2.理想高通濾波器的含義將以半徑為D0的圓周內的所有頻率置零，而讓圓周外的所有頻率毫不衰減地通過。

5.4.1理想高通濾波器

3.轉移函數的橫截面圖和透視圖1透視圖的含義是：只有那些位于該圓柱體外的頻率范圍的信號才能通過，而位于圓柱體內的頻率成分都將被慮除掉。頻譜幅度譜5.4.1理想高通濾波器

1.巴特沃斯高通濾波器的轉移函數定義（5.32）

其中，D0為截至頻率；D(u,v)為頻率平面從原點到點(u,v)的距離，且D(u,v)由下式給出：5.4.2巴特沃斯高通濾波器（5.26）

2.

轉移函數的橫截面圖和透視圖透視圖的含義是：只有那些位于該倒立型草帽體外的頻率范圍的信號才能通過,而位于倒立型草帽體內的頻率成分都將被慮除掉。頻譜幅度譜5.4.2巴特沃斯高通濾波器

1.高斯高通濾波器的轉移函數定義（5.33）

其中，D(u,v)為頻率平面從原點到點(u,v)的距離，且D(u,v)由下式給出：5.4.3高斯高通濾波器（5.26）

2.轉移函數的橫截面圖和透視圖透視圖的含義是：只有那些位于該倒立型草帽體外的頻率范圍的信號才能通過,而位于倒立型草帽體內的頻率成分都將被慮除掉。頻譜幅度譜5.4.3高斯高通濾波器5.4.3高斯高通濾波器

2.轉移函數的橫截面圖和透視圖（a）原圖（b）D0=30（c）D0=60由上圖可以看出：隨著D0值的增大，增強效果更加明顯，即使對于微小的物體和細線條，用高斯濾波器濾波后也比較清晰。5.4.3高斯高通濾波器【例】利用高斯高通濾波器進行圖像增強matlab編程。clc;clearall;closeall;img0=imread('d:\0_matlab圖像課編程\girl.jpg');f=double(img0);FT_img=fft2(f);%傅里葉變換FTS_img=fftshift(FT_img);%平移頻譜圖為中心對稱D0=input('\n請輸入非負的截止頻率值(10/20/30/40)D0=')%正整數[h,w]=size(img0);M=fix(h/2);N=fix(w/2);%將h/2和w/2分別向零方向(向下)取整d=2*D0^2;foru=1:hforv=1:wduv=sqrt((u-M)^2+(v-N)^2);huv=1-exp(-duv^2/d);%計算高斯高通濾波器轉移函數值

huv_img(u,v)=huv*FTS_img(u,v);%對傅里葉頻譜進行濾波

endend【例】利用巴特沃斯低通濾波器進行圖像去噪matlab編程。Inverse_I=ifftshift(huv_img);%反移頻譜中心Inverse_img=real(ifft2(Inverse_I));%傅里葉逆變換，并取變換結果的實部img1=f+Inverse_img;%形成結果圖像result_img=uint8(img1);%轉換成8位圖像figure;subplot(1,2,1);imshow(img0);title('原圖像');subplot(1,2,2);imshow(result_img);title('高斯高通濾波結果圖像');截至頻率D0=305.5帶阻濾波和帶通濾波

在某些應用中，圖像的質量可能受到帶有一定規律的結構性噪聲的影響。比如，圖像上疊加有正弦干擾圖案就是這類噪聲的一個典型情況。當正弦干擾圖案比較明顯時，會在圖像的頻譜平面上出現2個比較明顯的對稱點（由于傅立葉變換的共軛對稱性所致）。象這種用于消除以某點為對稱中心的給定區域內的頻率，或用于阻止以原點為對稱中心的一定頻率范圍內信號通過的問題，就可以用帶阻濾波器實現。

5.5.1帶阻濾波器

1.帶阻濾波的傳遞函數定義1一個用于消除以某點為中心，以D為半徑的圓域上的帶阻濾波器，可以通過把以原點為中心的高通濾波器平移到該點得到，設該帶阻濾波器的中心為點(u0,v0)，半徑為D0，則其傳遞函數定義為：

（5.34）

其中：

（5.35）

5.5.1帶阻濾波器由于傅立葉變換的共軛對稱性，要求帶阻濾波器必須成對出現，所以一個用于消除以（u0,v0）為中心，以D0為半徑的對稱區域內的所有頻率的理想帶阻濾波器的轉移函數定義為：（5.36）

其中：

（5.37）

（5.38）

1.帶阻濾波的傳遞函數定義25.5.1帶阻濾波器

2.一種n階徑向對稱的巴特沃斯帶阻濾波器的傳遞函數定義（5.39）

其中，W為阻帶帶寬，

D0為阻帶中心半徑。

5.5.1帶阻濾波器

3.帶阻濾波轉移函數的透視圖透視圖的含義是：

只有那些位于兩個立方體外的頻率范圍的信號才能通過，而位于兩個立方體內的頻率成分都將被慮除掉。5.5.1帶阻濾波器

1.帶通濾波器轉移函數的定義（5.40）

帶通濾波器也可以通過對相應的帶阻濾波器進行“翻轉”獲得。若設H’(u,v)為帶阻濾波器的傳遞函數，則對應的帶通濾波器的傳遞函數H(u,v)可定義為：

（5.41）

5.5.2帶通濾波器

2.帶通濾波器轉移函數的透視圖透視圖的含義是：

只有那些位于兩個立方體內的頻率范圍的信號會被通過，而位于兩個立方體外的頻率成分都將被慮除掉。5.5.2帶通濾波器作業：

謝謝第五章

圖像恢復

所謂圖像恢復，就是使退化了的圖像去除退化因素，并以最大保真度恢復成原來圖像的一種技術。

圖像恢復與圖像增強的研究內容有一定的交叉性。一般認為，圖像增強是一種改進圖像視覺效果的技術；而圖像恢復是一種對退化（或品質下降）了的圖像去除退化因素，并進而復原或重建被退化了的圖像的技術。

根據以上定義，通過去模糊函數去除圖像模糊應屬于一種圖像恢復技術。6.1圖像的退化模型

6.1.1常見退化現象的物理模型1、造成圖像退化的因素造成圖像退化的原因是多方面的。

下面是一些具體的退化因素的例子：透鏡象差/色差聚焦不準（失焦，限制了圖象銳度）模糊（限制頻譜寬度）噪聲（是一個統計過程）抖動（機械、電子）

非線性退化空間模糊退化平移退化疊加隨機噪聲退化圖6.1常見的4種退化現象的物理模型示意圖

6.1.1常見退化現象的物理模型2、常見的4種退化現象的物理模型成像模糊恢復后結果運動成像模糊恢復后結果3、圖像退化舉例16.1.1常見退化現象的物理模型光脈沖退化的光脈沖6.1.1常見退化現象的物理模型3、圖像退化舉例26.1.1常見退化現象的物理模型3、圖像退化舉例3原始圖像模糊圖像抖動模糊圖像6.1.1常見退化現象的物理模型3、圖像退化舉例4

設f(x,y)是一幅原圖像，圖像的退化過程可以理解為一個作用于原圖像f(x,y)的系統H，或理解為施加于原圖像f(x,y)上的一個運算H；同時數字圖像也常會因受一些隨機誤差，也即噪聲n(x,y)而退化。由此可得退化模型:并可以表示為：

（6.1）

6.1.2圖像退化模型的表示6.2逆濾波圖像恢復

圖像恢復按是否對圖像恢復施加約束條件分為：

無約束恢復方法；

有約束恢復方法。

逆濾波圖像恢復方法是一種典型的無約束最小二乘方恢復方法；維納濾波是一種典型的有約束圖像恢復方法。

接下來先介紹逆濾波圖像恢復方法，然后介紹維納濾波圖像恢復方法。為了分析噪聲的統計特征，以及噪聲與圖像的相關情況，需要引入最小二乘方恢復。由式（6.1）有：6.2.1無約束最小二乘方恢復（6.2）

當疊加噪聲n無法知道時，顯然可從g–Hf

獲得n。

由于g是已知的退化圖像，所以如果取為f的估計，就可使在最小均方誤差的意義下代替Hf，并通過求退化后的實際圖像g與退化圖像的估值

的模(或范數)平方，也即從而可把圖像的恢復問題看作是對求下式的最小值：

如果在求最小值的過程中，不施加任何約束，稱這種復原為無約束復原，或稱為非約束復原。（6.2）（6.4）6.2.1無約束最小二乘方恢復（6.3）由于有：∴

（6.8）6.2.1無約束的最小二乘方恢復根據極值條件

（6.8）給式（6.8）兩端同乘以得則有（6.10）

當圖像矩陣的尺寸滿足N=M，且和滿秩非奇異（即可逆）時，則有

式（6.11）說明：當已知H時，便可由g

求出

的估值。（6.11）

如果對式（6.11）兩邊取傅里葉變換，可以證明有：

式對式（6.7）的結果求傅立葉反變換，就可得到恢復后的圖像：（6.11）6.2.2

逆濾波圖像恢復方法u=0,1,…,M-1；v=0,1,…,N-1）（6.12）u=0,1,…,M-1；v=0,1,…,N-1）（6.13）

【例】設有退化函數對原圖像進行退化和逆濾波圖像恢復的結果如圖6.3所示。6.2.2

逆濾波圖像恢復方法

【例】逆濾波（Inversefilter）圖像復原matlab編程。clc;clearall;closeall;img0=imread('d:\0_matlab圖像課編程\lena.jpg');subplot(1,3,1);imshow(img0);title('原圖像');%顯示原圖像%1.頻率域方法生成退化圖像f=im2double(img0);FTS_img=fftshift(fft2(f));%傅里葉變換-平移頻譜圖為中心對稱%執行退化：退化函數H(u,v)=exp(-0.0025*((u-M/2).^2+(v-N/2).^2).^(5/6))[M,N]=size(img0);foru=1:Mforv=1:NH(u,v)=exp(-0.025*((u-M/2).^2+(v-N/2).^2).^(5/6));endendG_FTS_img=FTS_img.*H;%G=F*Hdegraded_I=ifftshift(G_FTS_img);%反移頻譜中心degraded_img0=real(ifft2(degraded_I));

%傅里葉逆變換，并取變換結果的實部degraded_img=uint8(abs(degraded_img0)*256);%生成的退化圖像subplot(1,3,2);imshow(degraded_img);title(‘生成的退化圖像’);

%2.對退化圖像進行逆濾波Filter_R=80;%設置逆濾波半徑ifFilter_R>M/2

F_Id_img=G_FTS_img./(H+eps);%全濾波F=G/Helse%對濾波半徑范圍內進行濾波

fori=1:M

forj=1:N

ifsqrt((i-M/2).^2+(j-N/2).^2)<Filter_R

F_Id_img(i,j)=G_FTS_img(i,j)./(H(i,j)+eps);

end

end

endendInverse_f_I=ifftshift(F_Id_img);%反移頻譜中心Inverse_f_img0=ifft2(Inverse_f_I);%傅里葉反變換Inverse_f_img=uint8(abs(Inverse_f_img0)*255);subplot(1,3,3);imshow(Inverse_f_img);title('濾波半徑為80的逆濾波復原圖像');6.2.2

逆濾波圖像恢復方法【例】逆濾波（Inversefilter）圖像復原matlab編程。6.2.3無約束圖像恢復的病態性（6.12）6.2.3無約束圖像恢復的病態性6.3維納濾波圖像恢復6.3.1

有約束最小二乘方恢復

為了克服圖像恢復過程中的病態性，常常會在圖像的恢復過程施加某種約束，于是就引入了有約束的最小二乘方恢復方法。6.3.1

有約束最小二乘方恢復1、有約束的最小二乘方恢復方法

有約束的最小二乘方恢復方法需要知道噪聲的模平方，有學者已經證明，

能用噪聲的均值

和方差表示為：（6.16）

也就是說，只要知道噪聲的均值和方差，就可實現有約束的最小二乘方圖像恢復方法。1、有約束的最小二乘方恢復方法

下面先討論有約束恢復的一般表示形式。

設對原圖像施加某一線性運算，求在約束條件下，使

為最小的原圖像f

的最佳估計

。

這一問題實際上是求極值問題，常采用拉格朗日乘數法來實現。也就說，要尋找一個，使得構造的輔助函數（準則函數）（6.17）（6.18）為最小。6.3.1

有約束最小二乘方恢復

尋找一個，使得構造的輔助函數（準則函數）（6.18）為最小，也即令（6.19）其中：是拉格朗日乘子，是約束項，如果找到

為最小的原圖像f的最佳估值

時，就為0。設，并帶入式（6.19）可得（6.21）（6.19）所以有6.3.1

有約束最小二乘方恢復（6.21）6.3.1

有約束最小二乘方恢復1、有約束的最小二乘方恢復方法6.3.2

維納濾波圖像恢復方法

維納濾波的總體思路是尋找圖像

的一種估計，使得

和之間的均方誤差最小。6.3.2

維納濾波圖像恢復方法設和分別表示原圖像和噪聲的自相關矩陣，對圖像取線性運算

如果用E{}一般地表示自相關矩陣，則有（6.22）（6.23）（6.24）6.3.2

維納濾波圖像恢復方法

將式（6.22）代入式（6.21）可得

如果式（6.25）可使

的模最小，也即使噪聲和信號的比對復原圖像的影響最小。

式（6.25）即是最小均方誤差濾波恢復方法的表示式。（6.22）（6.25）6.3.2

維納濾波圖像恢復方法

有學者已經證明，當式（6.25）中r=1時，即可得下式的（標準）維納濾波器公式:（6.26）其中：為噪聲的功率譜，為圖像的功率譜。

由式(6.26)可知，當沒有噪聲時，

，維納濾波器就可簡化成逆濾波器；當有噪聲時，維納濾波器也可用信噪功率比作為修正函數對逆濾波器進行修正，可在均方誤差最小的意義上提供最佳恢復。6.3.2

維納濾波圖像恢復方法

通常將噪聲假設為白噪聲，則噪聲的功率譜

為常數，也即認為（6.27）由于通常難以估計，一種近似的解決方法是用一個系數K

來代替，，這樣（6.26）就可用下式來近似（6.28）其中，K

是根據信噪比的某些先驗知識來預先設定的一個常數。

【例】設有退化函數對原圖像進行退化和逆濾波圖像恢復的結果如圖6.4所示。6.3.2

維納濾波圖像恢復方法

【例】維納濾波（WienerFiltering）圖像復原matlab程序。clc;clearall;closeall;img0=imread('d:\0_matlab圖像課編程\lena.jpg');subplot(1,4,1);imshow(img0);title('原圖像');%1.頻率域方法生成退化圖像f=double(img0);FTS_img=fftshift(fft2(f));%傅里葉變換-平移頻譜圖為中心對稱%執行退化：退化函數H(u,v)=exp(-0.005*((u-M/2).^2+(v-N/2).^2).^(5/6))[M,N]=size(img0);foru=1:Mforv=1:NH(u,v)=exp(-0.005*((u-M/2).^2+(v-N/2).^2).^(5/6));endendG=FTS_img.*H;%G=F?HG_I=ifftshift(G);

%反移頻譜中心G_img=real(ifft2(G_I));

%傅里葉反變換，并取變換結果的實部degraded_img=uint8(G_img);

%生成的退化圖像subplot(1,4,2);imshow(degraded_img);title(‘退化圖像’);

%2.對退化圖像疊加高斯噪聲f1=imnoise(uint8(G_img),'gaussian',0,0.001)subplot(1,4,3);imshow(uint8(f1));title('模糊退化且添加高斯噪聲的圖像');%3.對退化圖像進行維納濾波F1=fftshift(fft2(f1));%對退化圖像進行傅里葉變換，移頻譜中心對稱K=0.1;foru=1:Mforv=1:NH(u,v)=exp(-0.005*(((u-M/2)^2+(v-N/2)^2)^(5/6)));H0(u,v)=(abs(H(u,v)))^2;H1(u,v)=H0(u,v)/(H(u,v)*(H0(u,v)+K));endendF2=F1.*H1;%matlab中的點乘，也即卷積乘法

f2=ifft2(ifftshift(F2));%反移頻譜中心-傅里葉反變換f2_img=uint8(f2);%轉換成0-255圖像數據subplot(1,4,4);imshow(f2_img);title('維納濾波復原圖');6.2.2

逆濾波圖像恢復方法

【例】維納濾波（WienerFiltering）圖像復原matlab程序6.4勻速直線運動模糊的恢復

勻速直線運動模糊

6.4勻速直線運動模糊的恢復在圖像的運動分析中，比較簡單的情況就是對由于相機鏡頭和對象之間在曝光瞬間的相對運動而造成的圖像模糊的恢復。這種情況或者發生在相機處于靜止狀態而目標在場景中運動，或者發生在相機移動而目標處于靜止狀態這兩種情況。

其中，最簡單的相機和目標的相對運動，即可以看成是勻速直線運動而造成的模糊圖像的恢復問題。

6.4勻速直線運動模糊的恢復基于式(6.31)和(6.32)，就可推出勻速直線運動模糊的恢復模型{自學}6.5圖像噪聲與被噪聲污染圖像的恢復

圖像噪聲去除是圖像處理技術中，圖像增強與圖像恢復的交叉研究問題，一般認為是一種圖像預處理技術。

為了在有噪聲的情況下恢復圖像，就需要了解噪聲的統計性質，以及噪聲與圖像之間的相關性質。

數字圖像常會因受一些隨機誤差而退化，這種退化通常稱為噪聲（noise）。圖像噪聲通常是一種空間上不相聯系的離散和孤立的像素的變化現象。圖像噪聲也是一種圖像退化因素。對圖像來說，噪聲是一種外部干擾。但噪聲本身也是一種信號（攜帶了噪聲源的信息）。6.5.1圖像噪聲6.5.1圖像噪聲圖像噪聲是一個隨機量，所以噪聲一般用其概率特征來描述。1.常用圖像噪聲的概率密度函數

對相關概念的理解：1、概率分布函數的幾何意義概率分布函數是對一個概率事件的描述，反映了事件的全貌；用于統計有多少情況可以發生。

2、概率密度函數的幾何意義

概率密度函數可以理解為每個事件出現的機會大小，反應的是每一種情況有多大的機會發生。6.5.1圖像噪聲對相關概念的理解：3、概率分布函數與概率密度函數區別與聯系?

解答：一元函數下：概率分布函數是概率密度函數的變上限積分,就是原函數；概率密度函數是概率分布函數的一階導函數。

多元函數下：聯合分布函數是聯合密度函數的重積分，聯合密度函數是聯合分布函數關于每個變量的偏導。6.5.1圖像噪聲

（1）高斯噪聲高斯噪聲是一種源于電子電路噪聲和由低照明度或高溫帶來的傳感器噪聲。高斯噪聲也稱為正態噪聲，其概率密度函數為：（6.59）其中，高斯隨機變量z表示灰度值；μ表示z的平均值或期望值；σ表示z的標準差，而標準差的平方σ2稱為z的方差。6.5.1圖像噪聲—常用圖像噪聲的概率密度函數

注意：高斯隨機變量Z的值不一定要和原圖像的范圍一致，例如可以是0-10。

高斯噪聲是白噪聲的一個特例（幅度符合高斯分布）。

白噪聲：當圖像面上不同點的噪聲互不相關時，稱為白噪聲。

白噪聲的特點：頻率均勻覆蓋整個頻譜，功率譜為常量，也即其強度不隨頻率的增加而衰減。

高斯噪聲的形成：電子噪聲、弱光照/溫度條件下的傳感器噪聲

（1）高斯噪聲（續1）6.5.1圖像噪聲—常用圖像噪聲的概率密度函數

（2）瑞利噪聲瑞利噪聲的概率密度函數為：

概率密度的均值和方差分別為：

（6.60）

（6.61）

（6.62）

瑞利噪聲的形成：深度成像、超聲波圖像。

6.5.1圖像噪聲—常用圖像噪聲的概率密度函數

（3）均勻分布噪聲均勻分布噪聲的概率密度函數為：概率密度的期望值和方差分別為：

（6.63）

（6.64）

（6.65）

6.5.1圖像噪聲—常用圖像噪聲的概率密度函數

（4）脈沖噪聲（椒鹽噪聲）噪聲脈沖可以是正的或負的，一般假設為a和b。都是“飽和”值的雙極性脈沖噪聲也稱椒鹽噪聲。(雙極)脈沖噪聲的概率密度為：（6.66）

含義:

脈沖噪聲在Pa或Pb均不可能為零，且在脈沖可能是正的，也可能是負值的情況下，稱為雙極脈沖噪聲。

椒鹽噪聲的形成：快速瞬變、誤切換。6.5.1圖像噪聲—常用圖像噪聲的概率密度函數

（4）脈沖噪聲（椒鹽噪聲）(續1)如果b>a，灰度b的值在圖像中將顯示一個亮點，而灰度a的值在圖像中將顯示一個暗點。如果Pa或Pb均不可能為零時，脈沖噪聲值就類似于隨機分布在圖像上的胡椒和鹽粉微粒，所以雙極脈沖噪聲也稱為椒鹽噪聲.式（6.66）表示的脈沖噪聲如果Pa或Pb為零，則脈沖噪聲稱為單極脈沖噪聲。（6.42）6.5.1圖像噪聲—常用圖像噪聲的概率密度函數

（4）脈沖噪聲（椒鹽噪聲）(續1)通常情況下脈沖噪聲總是數字化為允許的最大值或最小值，所以負脈沖以黑點(胡椒點)出現在圖像中，正脈沖以白點（鹽點）出現在圖像中。

6.5.1圖像噪聲—常用圖像噪聲的概率密度函數

（4）脈沖噪聲（椒鹽噪聲）(續2)

（5）其他噪聲周期噪聲：圖像采集過程中的電子或電磁干擾指數和Gamma分布：激光成像6.5.1圖像噪聲—常用圖像噪聲的概率密度函數

圖像中噪聲的概率密度函數舉例1：

加高斯噪聲圖像加瑞利噪聲圖像

加gamma噪聲圖像

疊加噪聲后圖像的直方圖原圖對應的直方圖6.5.1圖像噪聲按噪聲信號與圖像信號的相關性可以把噪聲分為兩類：加性噪聲和乘性噪聲。2.圖像噪聲的分類

6.5.1圖像噪聲—圖像噪聲的分類

（1）加性噪聲

加性噪聲是指疊加在圖像上的噪聲，也即它們與信號的關系是相加的，它與圖像信號的有無及灰度值大小無關，即使信號為零，它也會存在。這種在圖像通過信道傳輸時，獨立于圖像信號的噪聲稱為加性噪聲（additivenoise）；含有這類噪聲的圖像一般表示為（6.67）

其中，噪聲

和輸入圖像

是相互獨立的變量。6.5.1圖像噪聲—圖像噪聲的分類

（2）乘性噪聲

乘性噪聲是指對有用信號有調幅作用的噪聲，也即它們與信號的關系是相乘的，該類噪聲的幅值與圖像本身的灰度值有關；但當有用信號為零時，該噪聲的干擾影響就不存在了，也即信號在它在，信號不在它也就不在了。這種噪聲稱為乘性噪聲（multiplicativenoise），含有這類噪聲的圖像一般表示為（6.68）

比如，電視光柵退化和膠片材料的退化都是乘性噪聲。6.5.1圖像噪聲—圖像噪聲的分類

（2）乘性噪聲

由于乘性噪聲的處理是比較復雜的，所以通常總是假定信號或圖像和噪聲是互相獨立的，也即一般都假設噪聲是加性噪聲。

在紅外圖像的成像過程中，由于紅外波的相互干涉作用，往往存在有散斑噪聲，也即這種噪聲在圖像上呈斑點分布狀。由于散斑噪聲既包含乘性噪聲的成分，也包含加性噪聲的成分，所以含有這類噪聲的圖像一般表示為（6.69）

6.5.1圖像噪聲

下面以疊加加性噪聲為例進行說明。

若假設輸入圖像f(x,y)的灰度級取值范圍為[0，L-1]，則產生加性零均值高斯噪聲的具體步驟為：3.給圖像疊加噪聲的方法①取圖像灰度值的標準差＞0。②對每一水平相鄰的像素（x，y）、（x，y+1）產生一對位于[0，1]范圍的獨立的隨機數，。③計算（6.70）④計算

和

⑤置

⑥跳轉到③，直到掃描完所有像素為止。

（6.71）（6.72）6.5.1圖像噪聲【例】給原圖像疊加噪聲密度為0.05的椒鹽噪聲的實例。3.給圖像疊加噪聲的方法6.5.1圖像噪聲

【例】

給圖像疊加生成椒鹽噪聲的matlab程序。3.給圖像疊加噪聲的方法6.5.1圖像噪聲

◆典型的Matlab疊加噪聲函數

（1）Matlab中用椒鹽噪聲污染圖像f的函數及編程

函數：

imnoise(f,'salt&pepper',d)

其中，d是噪聲密度（即包括噪聲值的圖像區域的百分比），含義是大約有d×numel（f）個像素受到影響，也即有d×100%的像素受到污染。一般的默認噪聲密度為0.01—0.05。

Matlab用椒鹽噪聲污染圖像的編程實現

clc;clearall;closeall;img0=imread('d:\0_matlab圖像課編程\lena.jpg');f=im2double(img0);imgnoise=(rand(size(f)));%生成隨機數組d=0.05;%需要的椒鹽噪聲密度result_f=f;[h,w]=size(f);fori=1:h

forj=1:w

if(imgnoise(i,j)>(1-d/2))

result_f(i,j)=1;

else

if(imgnoise(i,j)<d/2)

result_f(i,j)=0;

else

continue;

end

end

endendsubplot(1,2,1);imshow(img0);title('原圖像');%顯示原圖像subplot(1,2,2);imshow(result_f);title(‘加0.05椒鹽噪聲圖像’);

6.5.1圖像噪聲

◆典型的Matlab疊加噪聲函數

（2）Matlab中給圖像疊加加性零均值高斯噪聲的函數imnoise(img0,'gaussian',0.02)；

給圖像加噪聲密度為0.02的高斯噪聲imnoise(img0,'speckle',0.02)；

給圖像加噪聲密度為0.02的斑點噪聲6.5.1圖像噪聲4.圖像的信噪比

設

是含有噪聲的圖像,是沒有被噪聲污染的圖像，則圖像的信噪比（signal-to-noiseratio，SNR）的定義為：

SNR=

設信噪比的對數表示形式如式（6.50）所示，單位為分貝。

（6.73）

（6.74）

設f(x,y)是一幅原圖像，經過退化過程H(x,y)后，形成的退化圖像為g(x,y)。當一幅圖像中存在的唯一退化因素是噪聲n(x,y)，并且噪聲與圖像不相關時，則在空間域中的退化圖像就可以表示為：

在圖像中僅存