2023-2024學年貴州省貴陽市實驗中學數學高二上期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線與圓相切，則的值是（）A. B.C. D.2．已知為偶函數，且，則___________.3．雙曲線的焦距是（）A.4 B.C.8 D.4．已知等比數列，且，則（）A.16 B.32C.24 D.645．已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B.C. D.6．直線經過兩個定點，，則直線傾斜角大小是（）A. B.C. D.7．甲、乙兩名同學8次考試的成績統計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數分別為，，標準差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞8．離心率為，長軸長為6的橢圓的標準方程是A. B.或C. D.或9．直線的傾斜角為（）A.0 B.C. D.10．已知直線：恒過點，過點作直線與圓：相交于A，B兩點，則的最小值為（）A. B.2C.4 D.11．九連環是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環相連成串，按一定規則移動圓環的次數決定解開圓環的個數.在某種玩法中，用表示解開n（，）個圓環所需的最少移動次數，若數列滿足，且當時，則解開5個圓環所需的最少移動次數為（）A.10 B.16C.21 D.2212．設是數列的前項和，已知，則數列（）A.是等比數列，但不是等差數列 B.是等差數列，但不是等比數列C.是等比數列，也是等差數列 D.既不是等差數列，也不是等比數列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設是數列的前項和，且，則_____________.14．函數定義域為___________.15．設點是雙曲線上的一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，已知，且，則雙曲線的離心率為________16．展開式中，各項系數之和為1，則實數_______．（用數字填寫答案）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，已知，,且.（1）求角的大小；（2）若，面積為，試判斷的形狀，并說明理由.18．（12分）某中學共有名學生，其中高一年級有名學生，為了解學生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學生，依據每名學生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學生人數及圖中的值；（2）估計樣本數據的中位數（保留兩位小數）；（3）估計全校睡眠時間超過個小時的學生人數.19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，點A（2，4），直線l：，設圓C的半徑為1，圓心在直線l上，圓心也在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點A作圓C的切線，求切線的方程.20．（12分）如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角.21．（12分）拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點（1）若，求直線AB的斜率；（2）設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值22．（10分）在平面直角坐標系內，已知的三個頂點坐標分別為（1）求邊的垂直平分線所在的直線的方程；（2）若面積為5，求點的坐標

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】直線與圓相切，直接通過求解即可.【詳解】因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，.故選：D2、8【解析】由已知條件中的偶函數即可計算出結果，【詳解】為偶函數，且，.故答案為：83、C【解析】根據，先求半焦距，再求焦距即可.【詳解】解：由題意可得，，∴，故選：C【點睛】考查求雙曲線的焦距，基礎題.4、A【解析】由等比數列的定義先求出公比，然后可解..【詳解】，得故選：A5、A【解析】求出直線斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：A.6、A【解析】由兩點坐標求出斜率，再得傾斜角【詳解】由已知直線的斜率為，所以傾斜角為故選：A7、A【解析】根據折線統計圖，結合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.8、B【解析】試題解析：當焦點在x軸上：當焦點在y軸上：考點：本題考查橢圓的標準方程點評：解決本題的關鍵是焦點位置不同方程不同9、D【解析】根據斜率與傾斜角的關系求解即可.【詳解】由題的斜率，故傾斜角的正切值為，又，故.故選：D.10、A【解析】根據將最小值問題轉化為d取得最大值問題，然后結合圖形可解.【詳解】將，變形為，故直線恒過點，圓心，半徑，已知點P在圓內，過點作直線與圓相交于A，兩點，記圓心到直線的距離為d，則，所以當d取得最大值時，有最小值，結合圖形易知，當直線與線段垂直的時候，d取得最大值，即取得最小值，此時，所以.故選：A.11、D【解析】根據題意，結合數列遞推公式，代入計算即可.【詳解】根據題意，由，得.故選：D.12、B【解析】根據與的關系求出通項，然后可知答案.【詳解】當時，，當時，，綜上，的通項公式為，數列為等差數列同理，由等比數列定義可判斷數列不是等比數列.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據題意可知，再利用裂項相消法，即可求出結果.【詳解】因為，所以.故答案為：.14、【解析】根據函數定義域的求法，即可求解.【詳解】解：,解得,故函數的定義域為:.故答案為：.15、【解析】由雙曲線的定義可求得、，利用勾股定理可得出關于、的齊次等式，進而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線定義可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.16、【解析】通過給二項式中的賦值1求出展開式的各項系數和，即可求出詳解】解：令，得各項系數之和為，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）為等邊三角形【解析】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得sinB（2cosA﹣1）＝0，從而得角A；（2）由S△ABC＝bcsinA＝，可得bc＝3，①；再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得b2+c2＝6，②；聯立①②可求得b＝c＝，從而可判斷△ABC的形狀【詳解】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC＝0，∴2sinBcosA﹣sin（A+C）＝0，sinB（2cosA﹣1）＝0∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝．∵0＜A＜π，∴A＝（2）△ABC為等邊三角形，∵S△ABC＝bcsinA＝，即bcsin＝，∴bc＝3，①∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，A＝，a＝，∴b2+c2＝6，②由①②得b＝c＝，∴△ABC為等邊三角形【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，著重考查正弦定理與余弦定理的應用，考查方程思想與運算求解能力，屬于中檔題18、（1）樣本中高一年級學生的人數為，；（2）；（3）.【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學生的人數，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數左邊的矩形面積之和為可求得中位數的值；（3）利用頻率分布直方圖可計算出全校睡眠時間超過個小時的學生人數.【小問1詳解】解：樣本中高一年級學生的人數為.，解得.【小問2詳解】解：設中位數為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數據的中位數約為.【小問3詳解】解：由圖可知，樣本數據落在的頻率為，故全校睡眠時間超過個小時的學生人數約為.19、（1）（2）或【解析】（1）直接求出圓心的坐標，寫出圓的方程；（2）分斜率存在和斜率不存在進行分類討論，利用幾何法列方程，即可求解.【小問1詳解】由圓心C在直線l：上可設：點，又C也在直線上，∴，∴又圓C的半徑為1，∴圓C的方程為.【小問2詳解】當直線垂直于x軸時，與圓C相切，此時直線方程為.當直線與x軸不垂直時，設過A點的切線方程為，即，則，解得.此時切線方程，.綜上所述，所求切線為或20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意可證得，所以以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量證明，（2）求出兩個平面的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，.設平面的法向量為，則，令，則，∵平面，∴∥平面.【小問2詳解】，設平面的法向量為，則，令，則.∴.由圖可知平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角為.21、（1）；（2）面積最小值是4【解析】本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系、直線的斜率等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，依題意F（1,0），設直線AB的方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，得，由此能夠求出直線AB的斜率；第二問，由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC的中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于，由此能求出四邊形OACB的面積的最小值試題解析：（1）依題意知F（1,0），設直線AB方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，消去x得．設，，所以，．①因為，所以．②聯立①和②，消去，得所以直線AB的斜率是（2）由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于因為，所以當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4考點：拋物線的標準