2023-2024學年廣州市嶺南中學數學高二上期末教學質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．以橢圓＋＝1的焦點為頂點，以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.2．經過點作圓的弦,使點為弦的中點，則弦所在直線的方程為A. B.C. D.3．在等差數列中，若，則（）A.6 B.9C.11 D.244．設是等差數列，是其公差，是其前n項的和．若，，則下列結論不正確的是（）A. B.C. D.與均為的最大值5．用反證法證明“若a，b∈R，，則a，b不全為0”時，假設正確的是（）A.a，b中只有一個為0 B.a，b至少一個不為0C.a，b至少有一個為0 D.a，b全為06．如圖，在正方體中，（）A. B.C. D.7．拋物線的焦點坐標A. B.C. D.8．已知等比數列的前n項和為，且，則（）A.20 B.30C.40 D.509．我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形個數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第個圖形包含個小正方形，則的表達式為（）A. B.C. D.10．已知線段AB的端點B在直線l：y=-x+5上，端點A在圓C1：上運動，線段AB的中點M的軌跡為曲線C2，若曲線C2與圓C1有兩個公共點，則點B的橫坐標的取值范圍是（）A.（-1，0） B.（1，4）C.（0，6） D.（-1，5）11．某手機上網套餐資費：每月流量500M以下（包含500M），按20元計費；超過500M，但沒超過1000M（包含1000M）時，超出部分按0.15元/M計費；超過1000M時，超出部分按0.2元/M計費，流量消費累計的總流量達到封頂值（15GB）則暫停當月上網服務.若小明使用該上網套餐一個月的費用是100元，則他的上網流量是（）A.800M B.900MC.1025M D.1250M12．已知函數，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關于直線C.的一個零點為 D.在區間的最小值為1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某農場某植物高度，且，如果這個農場有這種植物10000棵，試估計該農場這種植物高度在區間上的棵數為______.參考數據：若，則，，.14．總體由編號為01，02，…，30的30個個體組成.選取方法是從下面隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為____________.66065747173407275017362523611665118918331119921970058102057864532345647615．在數列中，，，則___________.16．千年一遇對稱日，萬事圓滿在今朝，年月日又是一個難得的“世界完全對稱日”（公歷紀年日期中數字左右完全對稱的日期）.數學上把這樣的對稱自然數叫回文數，兩位數的回文數共有個（），其中末位是奇數的又叫做回文奇數，則在內的回文奇數的個數為___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（Ⅰ）求的單調區間和最值；（Ⅱ）設，證明：當時，18．（12分）已知函數，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數的底數）（1）求的值；（2）是否存在常數，使得對于定義域內的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由19．（12分）已知命題p：實數x滿足（其中）；命題q：實數x滿足（1）若，為真命題，求實數x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實數的取值范圍20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若E為的中點，求與所成的角21．（12分）已知點關于直線的對稱點為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點，且（1）求圓Q的方程；（2）過坐標原點O任作一直線交圓Q于C，D兩點，求證：為定值22．（10分）已知函數，（1）討論的單調性；（2）若時，對任意都有恒成立，求實數的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據橢圓的幾何性質求橢圓的焦點坐標和長軸端點坐標，由此可得雙曲線的a，b，c，再求雙曲線的標準方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長軸端點坐標為，，焦點坐標為，，∴雙曲線的焦點在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線方程為，故選：B.2、A【解析】由題知為弦AB的中點，可得直線與過圓心和點的直線垂直，可求的斜率，然后用點斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線的方程為，整理得.選A.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，直線的斜率，直線的點斜式方程，屬于基礎題3、B【解析】根據等差數列的通項公式的基本量運算求解【詳解】設的公差為d，因為，所以，又，所以故選：B4、C【解析】由已知條件可以得出，，，即可得公差，再利用等差數列的性質以及前n項的和的性質可判斷每個選項的正誤，進而可得正確選項.【詳解】由可得，由可得，故選項B正確；由可得，因為公差，故選項A正確，，所以，故選項C不正確；由于是等差數列，公差，，，，所以都是的最大值，故選項D正確；所以選項C不正確，故選：C5、D【解析】把要證的結論否定之后，即得所求的反設【詳解】由于“a，b不全為0”的否定為：“a，b全為0”，所以假設正確的是a，b全為0.故選：D6、B【解析】根據正方體的性質，結合向量加減法的幾何意義有，即可知所表示的向量.【詳解】∵，而，∴，故選：B7、B【解析】由拋物線方程知焦點在x軸正半軸，且p=4，所以焦點坐標為，所以選B8、B【解析】利用等比數列的前n項和公式即可求解.【詳解】設等比數列的首項為，公比為，則，由得，即，解得或（舍），且代入①得，則，所以.故選：B.9、D【解析】先分別觀察給出正方體的個數為：1，，，，總結一般性的規律，將一般性的數列轉化為特殊的數列再求解【詳解】解：根據前面四個發現規律：，，，，，累加得：，，故選：【點睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題10、D【解析】設，AB的中點，由中點坐標公式求得，代入圓C1：得點點M的軌跡方程，再根據兩圓的位置關系建立不等式，代入，求解即可得點B的橫坐標的取值范圍.【詳解】解：設，AB的中點，則，所以，又因為端點A在圓C1：上運動，所以，即，因為曲線C2與圓C1有兩個公共點，所以，又因B在直線l：y=-x+5上，所以，所以，整理得，即，解得，所以點B的橫坐標的取值范圍是，故選：D.11、C【解析】根據已知條件列方程，化簡求得小明的上網流量.【詳解】顯然小明上網流量超過了1000M但遠遠沒達到封頂值，假設超出部分為M，由得.故選：C12、D【解析】根據余弦函數的圖象與性質判斷其周期、對稱軸、零點、最值即可.【詳解】函數，周期為，故A錯誤；函數圖像的對稱軸為，，，不是對稱軸，故B錯誤；函數的零點為，，，所以不是零點，故C錯誤；時，，所以，即，所以，故D正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1359【解析】由已知求得，則，結合已知求得，乘以10000得答案【詳解】解：由，得，又，，則，估計該農場這種植物高度在區間，上的棵數為故答案為：135914、23【解析】根據隨機表，由編號規則及讀表位置列舉出前5個符合要求的編號，即可得答案.【詳解】由題設，依次得到的數字為57，47，17，34，07，27，50，17，36，25，23，……根據編號規則符合要求的依次為17，07，27，25，23，……所以第5個個體編號為23.故答案為：23.15、##.【解析】由遞推關系取可求，再取求，取求.詳解】由分別取，2，3可得，，，又，∴，，，故答案為：.16、【解析】根據分類加法計數原理，結合題中定義、組合的定義進行求解即可.【詳解】兩位數的回文奇數有，共個，三位數的回文奇數有，四位數的回文奇數有，所以在內的回文奇數的個數為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）單調遞減區間為，單調遞增區間為；最小值為，無最大值；（Ⅱ）證明見解析【解析】（Ⅰ）根據導函數的正負即可確定單調區間，由單調性可得最值點；（Ⅱ）構造函數，利用導數可確定單調性，結合的正負可確定的零點的范圍，進而得到結論.【詳解】（Ⅰ）由題意得：定義域為，，當時，；當時，；的單調遞減區間為，單調遞增區間為的最小值為，無最大值（Ⅱ）設，則，令得：當時，；當時，，在上單調遞增；在上單調遞減由（Ⅰ）知：，可得：，，可得：，即又，當時，，即當時，【點睛】思路點睛：本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到函數單調性和最值的求解、利用導數證明不等式等知識；利用導數證明不等式的關鍵是能夠通過移項構造的方式，構造出新的函數，通過的單調性，結合零點所處的范圍可分析得到結果.18、（1）2；（2）存在，.【解析】（1）對函數求導，利用得的值；（2）討論和分離參數，構造新函數求解最值即可求解【詳解】解：（1），又由題意有（2）由（1）知，此時，由或，所以函數的單調減區間為和要恒成立，即①當時，，則要恒成立，令，再令，所以在內遞減，所以當時，，故，所以在內遞增，；②當時，lnx>0，則要恒成立，由①可知，當時，，所以內遞增，所以當時，，故，所以在內遞增，綜合①②可得，即存在常數滿足題意19、（1）（2）【解析】（1）由得命題p：，然后由為真命題求解；（2）由得，再根據是的充分條件求解.小問1詳解】當時，，解得：，由為真命題，，解得；【小問2詳解】由（其中）可得，因為是的充分條件，則，解得：20、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）連接，交于O，連接OD，根據中位線的性質，可證，根據線面平行的判定定理，即可得證；（2）如圖建系，求得各點坐標，進而可求得平面與平面法向量，根據二面角的向量求法，即可得答案；（3）求得坐標，根據線線角的向量求法，即可得答案.【小問1詳解】連接，交于O，連接OD，則O為的中點，在中，因為O、D分別為、BC中點，所以，又因為平面，平面，所以平面【小問2詳解】由題意得，兩兩垂直，以B為原點，為x，y，z軸正方向建系，如圖所示：設，則，所以，則，，因為平面在平面ABC內，且平面ABC，所以即為平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，則，所以，令，則，所以法向量，所以，由圖象可得平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角的余弦值為【小問3詳解】由（2）可得，設與所成的角為，則，解得，所以與所成的角為21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出點坐標，然后根據圓心到直線的距離公式及的值求出半徑即可求得圓的方程.（2）設出直線方程，聯立圓和直線方程利用韋達定理來求解.【小問1詳解】解：點關于直線的對稱點Q為由Q到直線的距離，所以所以圓的方程為【小問2詳解】當直線CD斜率不存在時，，所以.當直線CD斜率存在時，設為k，則直線為，記，聯