巖石爆破振動信號的奇異譜分析

近年來，該分行在巖石爆炸聲的研究中發揮了重要作用。楊軍等討論了分形幾何在巖石力學中的應用狀況,并將分形維數引入爆破塊度研究中,為塊度預報提供了依據;并利用分形理論提出了一種新的巖石爆破損傷模型。劉慧等從理論和實測兩方面論證了巖體中的爆破振動信號具有分形特征,并說明了巖體性質、炸藥特性及裝藥結構等參量對分形維數的影響。單曉云等探討了巖石破碎過程中的分形特征。多分形是定義在分形結構上的由多個標度指數的分形測度組成的集合,能夠更細致地描述目標的物理特征。基于分形熱力學公式的多分形計算方法存在著難以計算和誤差較大的問題。而基于小波分析的多分形計算方法卻引起人們的注意。J.Muzy和E.Bacry提出了基于小波模極大的多分形譜計算方法。彭志科利用此方法給出了在旋轉機械振動信號方面的應用,并成功地進行了機械設備故障診斷。傅強討論了該方法在Rayleigh-Benard對流溫度信號中的應用。本文首先說明盒維數對巖體爆破振動信號分析中的缺陷,然后利用小波變換模極大方法來計算多分形譜。1爆破振動信號分析分形維數是分形研究的重要內容之一,盒維數DB是最常用的一種分形維數。n維歐氏空間子集F的盒維數DB定義為其中:Nδ(F)表示最大直徑為δ且能覆蓋F的集合的最小數。在實際計算中通常采用多點直線擬和來計算DB。圖1給出了某一巖石介質的爆破振動信號;橫坐標為信號采用長度,縱坐標為加速度;信號采樣頻率為1024Hz。圖2給出了其盒維數DB的分布情況,共利用8個點,采用最小二乘來擬和直線。大量事實表明,爆炸地震效應是一個短時非平穩隨機力學現象,其信號特征應該是隨機的和非線性的,如圖1所示。圖2中的8個點所擬和的斜率即盒維數為1.0207,但同時注意到,擬和的直線并非嚴格意義上直線,各段之間的斜率也有較大不同,分布為0.8015～1.2953。而規則的分形如Koch曲線,僅用一個盒維數就可進行描述。因此僅僅利用一個分形維數會忽略很多重要的信息。而爆炸振動信號也應該屬于多分形研究的范疇,其中多分形譜的研究就是其重要的內容。2變異特征的整體重新分配尋找多分形信號的奇異性分布對于分析信號的性質是至關重要的。多分形譜給出了不同Lipschitz正則性的奇異特征的整體重新分配。依據分形的定義可得其中:li表示第i個部分的線度;Mi表示在該部分產生的某種行為;α為奇異指數,控制著測度M的奇異性。如果在不同的li存在的奇異指數α不同,此時就存在α的一個序列,該序列確定了一個稱為多分形譜的f(α)的分布。2.1模極大線族的定義一般地,對任意的f(t)∈L2(R),其小波變換的定義為其中:a為尺度因子;b為平移因子;*表示復共軛;ψ(x)為母小波函數。一般常用的小波為Gaussian小波,其定義為ψN(x)=dNdxN[exp(?x2/2)]?(4)ψΝ(x)=dΝdxΝ[exp(-x2/2)]?(4)其中:N表示對x求導的次數。Gaussian小波具有N階消失矩,此性質能夠保證模極大曲線延伸到最細的尺度。對于小波變換式(3),固定尺度參數a時,在x的鄰域內,若|Wf(a,x0)|>|Wf(a,x)|,則稱x0為Wf(a,b)的一個局部極大值點。這些極大值x0的連線稱為模極大線族,簡稱模極大。顯然在模極大線族上的點滿足2.2模極大與尺度指數事實上,分形熱力學公式在實現上有諸多困難,且誤差較大。而用小波變換方法除了能夠得到所有的多分形參數外,還能夠給出信號的多層次多尺度空間結構。基于此,E.Bacry等人引入了全局分解函數,并提出了從小波變換的局部極大值即模極大(WTMM)來測量多分形的多分形譜的方法。設{up(s)}p∈Z是|Wf(a,b)|在給定尺度a下的所有局部極大點。則分解函數Z度量了所有這些模極大的q方之和式(6)利用尺度指數τ(q)測量了Z(q,a)隨尺度a的漸進衰減性。文獻證明尺度指數是多分形譜f(α)的Legendre變換,即其中:Λ=[αmin,αmax]是f(α)的支集。實際應用中可以利用log2Z(q,a)作為log2a的函數的線性衰減來計算τ(q),即需要說明的是,為了度量直至αmax的所有奇異指數,必須使用具有足夠高階消失矩的小波,例如Gaussian小波。在數值計算上,τ(q)是通過求和Z(q,a)來計算。故通過式(8)的Legendre的逆變換就可得到多分形譜f(a),即3爆破振動信號的多分形譜圖1給出了一典型的爆破振動信號,其小波變換及其模極大分布,如圖3所示。選擇小波為ψ′(x)。圖3(a)(b)分別給出爆破振動信號的小波變換及其三維圖,可看出小波變換清晰反映出信號的能量分布情況,顯然在高尺度上能量分布的差別較大。時域信號中在130點處有一明顯的沖擊成分,在圖3(a)(b)中可清晰地表現。圖3(c)給出了某一尺度下的小波變換情況,波形的變化反映了此尺度時的能量分布趨勢,顯然極大值出現在每個突變處。圖3(d)給出了爆破振動信號的模極大線族,由于使用了Gaussian小波,能夠使模極大延伸導至最小細節尺度處。在此基礎上,可方便地計算Z(q,a),然后利用log2Z(q,a)與log2a的函數的線性衰減來計算τ(q),最后給出爆破振動信號的多分形譜f(α),如圖4所示。圖4(a)給出了在q取某些值時Z(q,a)與log2a的關系,可看出當q在[-1,1]之間逐漸變化時,log2a在上和Z(q,a)均保持較好的線性衰減,表現出較高的標度不變性,說明此信號的奇異分布屬于多重分形。圖4(a)經線性回歸后即得到圖4(b)中的τ(q)分布,與文獻中給出的魔鬼階梯的τ(q)分布相比,此時τ(q)分布已經不再是標準的直線,而是大致呈直線分布,這說明爆破振動中出現(也可能是連續的)不同的奇異性,顯示出明顯的多分形特性。在上述工作的基礎上,圖4(c)給出了爆破振動信號的多分形譜,曲線是凸的,呈鐘狀分布。可看出α的分布區間主要集中在[-0.5,1.5]之間,分布范圍較寬,說明信號的奇異度變化較大。同時f(α)大部分分布在α<1尺度中,說明在該尺度內,信號具有很強的奇異性,這些地方體現了信號的突變,這與爆破振動信號的特征一致;而在α>1時,f(α)范圍較少,說明此時信號的脈動要平緩得多。同時發現,當α∈[0.28,0.72]時,f(α)主要集中在0.8～0.9之間,變化緩慢,說明對于此類爆破振動信號的奇異指數主要集中在0.28～0.72之間。綜上所述,可知多分形譜準確地反映了信號的奇異特征及其分布特點。同時,信號的分數維數Df=-τ(0)=1.0513≈1;對于一個一維信號,Df=1說明對于爆破地震信號雖然是連續的,但幾乎是處處奇異的。4爆破振動信號的多分形特征(1)爆破振動信號是典型的非平穩信號,具有非線性和不規則性,僅僅利用某種分形維數,來對爆破振動信號的分形特征進行刻畫