單元復習15概率01樣本空間與隨機事件及其概率一、單選題1．下列事件中，隨機事件的個數是（

）①未來某年8月18日，北京市不下雨；②在標準大氣壓下，水在4℃時結冰；③從標有1，2，3，4的4張號簽中任取一張，恰好取到1號簽；④任取，則.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據各項的描述，判斷隨機事件、必然事件、不可能事件，進而確定隨機事件的個數.【解析】①未來某年8月18日，北京市不下雨，屬于隨機事件；②在標準大氣壓下，水在4℃時結冰，屬于不可能事件；③從標有1，2，3，4的4張號簽中任取一張，恰為1號簽，屬于隨機事件；④任取，則，屬于必然事件；所以屬于隨機事件的有①③，即隨機事件的個數是.故選：B2．一個家庭有兩個小孩，則樣本空間為（

）A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}【答案】C【分析】列舉出所有可能結果，由此可得樣本空間.【解析】兩個小孩的所有結果是：男男，男女，女男，女女，則所有樣本空間為{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．故選：C.3．袋中裝有1個紅球，3個黃球，現抽取2個球，則這2球中有紅球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設紅球為，黃球為，求出總的基本事件的個數，再求出這2球中有紅球的基本事件的個數，再利用古典概型的概率公式求解.【解析】設紅球為，黃球為，抽取2球的基本事件有，共6個，這2球中有紅球的基本事件有共3個，由古典概型的概率公式得這2球中有紅球的概率.故選：C4．隨機鄭兩枚質地均勻的骰子，它們向上的點數之和除以4，余數分別為，所對應的概率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用表格列舉出所有可能的余數情況，并確定余數為對應概率，即可得結果.【解析】由題設，兩枚骰子所得點數和除以4的余數情況如下：除以4的余數123456123012323012303012301412301252301236301230由上表知：共36種情況，其中余數為分別有9種、8種、9種、10種，所以.故選：A5．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進行一場比賽，勝兩場及以上者獲勝，若雙方均不知道對方馬的出場順序，則田忌獲勝的概率為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將齊王與田忌的上、中、下等馬編號，列出雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進行一場比賽的基本事件即可利用古典概率計算作答.【解析】齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別記為A，B，C，田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別記為a，b，c，雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進行一場比賽，勝兩場及以上者獲勝，依題意，共賽3場，所有基本事件為：，共6個基本事件，它們等可能，田忌獲勝包含的基本事件為：，僅只1個，所以田忌獲勝的概率.故選：D6．某車站，每天均有輛開往省城的分為上、中、下等級的客車，某人某天準備在該車站乘車前往省城辦事，但他不知道客車的車況，也不知道發車順序，為了盡可能乘上上等車，他采取如下策略；先放過第一輛車，如果第二輛車比第一輛車等級高則上第二輛，否則上第三輛車，那么他乘上上等車的概率為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列舉法列出事件種數，并確定乘上上等車的事件數，最后根據古典概型概率公式求結果.【解析】用A，B，C分別表示上、中、下等級的客車，按排列的先后順序為一個發車順序，則不同的發車順序有：，共6種，它們等可能，他乘上上等車的事件有：，共3個，所以他乘上上等車的概率．故選：B7．獨立地重復一個隨機試驗次，設隨機事件發生的頻率為，隨機事件發生的概率為，有如下兩個判斷：①如果是單元素集，則；②集合不可能只含有兩個元素，其中（

）A．①正確，②正確 B．①錯誤，②正確C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②錯誤【答案】B【分析】對于①，舉反例可判斷①的正誤；對于②，利用頻率與概率的關系可判斷②正誤，即可得出結論.【解析】對于①，比如定義隨機試驗：從個紅球中任意抽取個球，定義隨機事件三個球中有一個白球，則，且，①錯；對于②，頻率會隨著試驗的變化而變化，是一個變化的值，但隨著試驗次數的增加，頻率會接近于概率，因此，不可能只含有兩個元素，②對.故選：B.8．已知函數（且），在集合中任取一個數為,則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定的條件，分類討論并利用函數單調性及古典概率計算作答.【解析】依題意，函數定義域為，當時，函數在上遞增，由得，解得，則，當時，函數在上遞減，由得，無解，于是得，當時，只能取5，6，7，共3個數，而在集合中任取一個數有8個不同結果，所以所求概率為.故選：B二、多選題9．下列有關古典概型的說法中，正確的是（

）A．試驗的樣本空間的樣本點總數有限B．每個事件出現的可能性相等C．每個樣本點出現的可能性相等D．已知樣本點總數為，若隨機事件包含個樣本點，則事件發生的概率【答案】ACD【分析】根據古典概型的定義逐項判斷即可.【解析】由古典概型概念可知：試驗的樣本空間的樣本點總數有限；每個樣本點出現的可能性相等.故AC正確；每個事件不一定是樣本點，可能包含若干個樣本點，所以B不正確；根據古典概型的概率計算公式可知D正確．故選：ACD10．下述關于頻率與概率的說法中，錯誤的是（

）A．設有一大批產品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品B．做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現正面，因此，拋一枚硬幣出現正面的概率是C．隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率D．利用隨機事件發生的頻率估計隨機事件的概率，如果隨機試驗的次數超過10000，那么所估計出的概率一定很準確【答案】ABCD【分析】根據頻率與概率的關系，結合各選項的描述判斷正誤.【解析】A：次品率描述出現次品的概率，即可能情況不是必然發生，錯誤；B，C：概率是多次重復試驗中事件發生的頻率在某一常數附近，此常數為概率，與描述不符，錯誤；D：10000次的界定沒有科學依據，“一定很準確”的表達錯誤，試驗次數越多，頻率越穩定在概率值附近，但并非試驗次數越多，頻率就等于概率，D錯誤.故選：ABCD三、解答題11．柜子里有雙不同的鞋，如果從中隨機取出只，那么寫出試驗的樣本空間．【答案】.【分析】用列舉法一一列舉出來即可.【解析】記第雙鞋左右腳編號為，第雙鞋左右腳編號為，第雙鞋左右腳編號為，則樣本空間為．12．春節期間，我國高速公路繼續執行“節假日高速免費政策”．某路橋公司為了解春節期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點發現大年初三上午9：20~10：40這一時間段內有600輛車通過，將其通過該收費點的時刻繪成頻率分布直方圖．其中時間段9：20~9：40記作區間，9：40~10：00記作，10：00~10：20記作，10：20~10：40記作，例如：10點04分，記作時刻64．(1)估計這600輛車在9：20~10：40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；(2)為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取5輛，再從這5輛車中隨機抽取3輛，則恰有1輛為9：20~10：00之間通過的概率是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）運用頻率分布直方圖中平均數公式計算即可.（2）運用分層抽樣比計算各段所抽取的車輛數，再運用列舉法求古典概型的概率即可.【解析】（1）這600輛車在時間段內通過該收費點的時刻的平均值為，即：10點04分.（2）由題意知，時間段內抽取車輛數為，分別記為：，，時間段內抽取車輛數為，分別記為：，，時間段內抽取車輛數為，記為：，所以從這5輛車中隨機抽取3輛的基本事件有：，，，，，，，，，共10個，恰有1輛為之間通過的基本事件有：，，，，，共有6個，所以恰有1輛為之間通過的概率為.13．2022年，是中國共產主義青年團成立100周年，為引導和帶動青少年重溫共青團百年光輝歷程，某校組織全體學生參加共青團百年歷史知識競賽，現從中隨機抽取了100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：，統計結果如圖所示：(1)試估計這100名學生得分的平均數（同一組中的數據用該組區間中點值代表）；(2)現在按分層抽樣的方法在和兩組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人參加這次競賽的交流會，求兩人都在的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據頻率分布直方圖估計平均數的求法直接解決即可；（2）根據分層抽樣得在分組中抽取的人數為人，在分組中抽取的人數為2人，利用列舉法求得基本事件的總數，結合古典概型概率求法，即可求解.【解析】（1）解：由頻率分布直方圖的數據，可得這100名學生得分的平均數：分.（2）解：在和兩組中的人數分別為：人和人，所以在分組中抽取的人數為人，記為，在分組中抽取的人數為2人，記為，所以這5人中隨機抽取2人的情況有：，共10種取法，其中兩人得分都在的情況只有，共有1種，所以兩人得分都在的概率為.14．隨著中國實施制造強國戰略以來，中國制造（Madeinchina）逐漸成為世界上認知度最高的標簽之一，企業也越來越重視產品質量的全程控制某企業從生產的一批產品中抽取40件作為樣本，檢測其質量指標值，質量指標的范圍為，經過數據處理后得到如下頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中質量指標值的平均數和中位數（結果精確到0.1）；(2)為了進一步檢驗產品質量，在樣本中從質量指標在和的兩組中抽取2件產品，記至少有一件取自的產品件數為事件A，求事件A的概率．【答案】(2)【分析】（1）由頻率分布直方圖中平均數和中位數的公式計算即可；（2）先算出樣本中質量指標在的產品有6件，質量指標在的有4件，然后依照題意求出概率.【解析】（1）設質量指標值的平均數為，中位數為，則，因為區間對應的頻率為，區間對應的頻率為，區間對應的頻率為，所以中位數在區間上，故，.（2）樣本中質量指標在的產品有件，記為A，B，C，D，E，F，質量指標在的有件，記為a，b，c，d，從這10件產品中選取2人的所有選取方法：AB，AC，AD，AE，AF，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，BD，BE，BF，Ba，Bb，Bc，Bd，CD，CE，CF，Ca，Cb，Cc，Cd，DE，DF，Da，Db，Dc，Dd，EF，Ea，Eb，Ec，Ed，Fa，Fb，Fc，Fd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共45種，其中至少有一件取自有39種，則.15．將連續正整數1，2，3，，從小到大排列構成一個，為這個數的位數．例如：當．現從這個數中隨機取一個數字，為恰好取到0的概率．(1)求；(2)當時，求得表達式；(3)令為這個數中數字0的個數，為這個數中數字9的個數，，，求當時，的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）計算，數字0的個數為11，得到概率.（2）考慮，，，四種情況，依次計算得到答案.（3）考慮時，當時，當時三種情況，得到和的解析式，得到，再計算概率的最值得到答案.【解析】（1）當時，，即這個數中共有192個數字，其中數字0的個數為11，則恰好取到0的概率為；（2）當時，這個數有1位數組成，；當時，這個數有9個1位數組成，個兩位數組成，則；當時，這個數有9個1位數組成，90個兩位數組成，個三位數組成，；當時，這個數有9個1位數組成，90個兩位數組成，900個三位數組成個四位數組成，；綜上所述：，（3）時，，當時，；當時，，即，同理有，由，可知，所以當時，，當時，，當時，，當時，，由關于k單調遞增，故當時，有的最大值為，又，所以當時，的最大值為．【點睛】關鍵點點睛：函數的解析式，概率的計算，最值問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中分類討論的思想是解題的關鍵.四、填空題16．如果袋中裝有數量差別很大而大小相同的白球和黃球（只有顏色不同）若干個，有放回地從中任取1球，取了10次有7個白球，估計袋中數量較多的是_________球.【答案】白【分析】根據頻率估計概率即可求解.【解析】取了10次有7個白球，則取出白球的頻率是0.7，估計其概率是0.7，那么取出黃球的概率約是0.3，取出白球的概率大于取出黃球的概率，所以估計袋中數量較多的是白球.故答案為：白17．甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中任想一個數字，記為，再由乙猜甲剛才想的數字把乙猜的數字記為，且，，若，則稱甲乙“心有靈犀”現任意找兩個人玩這個游戲，得出他們”心有靈犀”的概率為______．【答案】【分析】由題意知是古典概型，從0~9中任意取兩個數共有100種取法，列出滿足所有可能情況，代入公式得到結果．【解析】由題意知本題是一個古典概型，試驗發生的所有事件是從，，，，，，，，，十個數中任取兩個共有種不同的結果，則的情況有；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；共種情況，他們”心有靈犀”的概率為．故答案為：．02互斥事件和獨立事件一、單選題1．下列說法正確的是（）A．互斥事件與對立事件含義相同B．互斥事件一定是對立事件C．對立事件一定是互斥事件D．對立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件【答案】C【分析】直接依據互斥事件和對立事件的概念判斷即可.【解析】如果A,B為互斥事件,則;如果A,B為對立事件,則且.為樣本空間),所以對立事件必是互斥事件,但反之不成立.故選：C.2．近期，貴陽一中某社團開展了一次校內招新活動，甲、乙、丙三名同學都投遞了簡歷，三人簡歷通過的概率分別為，則三人中至少有一人簡歷通過的概率為（

）【答案】D【分析】求出三人中沒有一人簡歷通過的概率，根據對立事件的概率公式，即得答案.【解析】三人中沒有一人簡歷通過的概率為，所以三人中至少有一人簡歷通過的概率為，故選：D.3．若A與B是相互獨立事件，則下面不相互獨立的事件是（

）A．A與 B．A與 C．與B D．與【答案】A【分析】根據相互獨立事件的性質，逐一判斷即可得到本題答案.【解析】因為與是相互獨立事件，所以與，與，與都是相互獨立事件，而是的對立事件，與是互斥事件.故選：A4．已知事件A與事件B是互斥事件，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據互斥事件、對立事件、必然事件的概念可得答案.【解析】因為事件A與事件B是互斥事件，則不一定是互斥事件，所以不一定為0，故選項A錯誤；因為事件A與事件B是互斥事件，所以，則，而不一定為0，故選項B錯誤；因為事件A與事件B是互斥事件，不一定是對立事件，故選項C錯誤；因為事件A與事件B是互斥事件，是必然事件，所以，故選項D正確.故選：D.5．已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據事件A，，兩兩互斥，求出，進而利用求出答案.【解析】因為事件A，，兩兩互斥，所以，所以.故選：B．6．有6個大小相同的小球，其中1個黑色，2個藍色，3個紅色．采用放回方式從中隨機取2次球，每次取1個球，甲表示事件“第一次取紅球”，乙表示事件“第二次取藍球”，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”，丁表示事件“與兩次取出相同顏色的球”，則（

）A．甲與乙相互獨立 B．甲與丙相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立【答案】A【分析】根據給定條件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互獨立事件的定義判斷作答.【解析】依題意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球兩次的試驗的基本事件總數是，顯然事件丙與丁是對立事件，兩次取出的球顏色相同含有的基本事件數為，事件丙的概率，事件丁的概率，對于A，事件甲與乙同時發生所含的基本事件數為6，其概率，甲與乙相互獨立，A正確；對于B，事件甲與丙同時發生所含的基本事件數為9，其概率，甲與丙不獨立，B錯誤；對于C，事件乙與丙同時發生所含的基本事件數為8，其概率，乙與丙不獨立，C錯誤；對于D，事件乙與丁同時發生所含的基本事件數為4，其概率，乙與丁不獨立，D錯誤.故選：A7．甲、乙兩同學進行棒球比賽，約定連勝兩局者勝出，比賽結束，最多比賽五局，若前四局不分勝負，則第五局勝者獲勝，比賽結束．已知甲每局獲勝的概率為，每局比賽沒有平局，結果相互獨立，則甲第一局獲勝并最終獲得勝利的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，甲第一局獲勝并最終獲得勝利，可能比賽兩局、四局或五局，結合獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【解析】由題意，甲第一局獲勝并最終獲得勝利，可能比賽兩局、四局或五局，當比賽兩局時，則甲每局比賽的結果依次為勝勝，獲勝的概率；當比賽四局時，則甲每局比賽的結果依次為勝負勝勝，則獲勝的概率；當比賽五局時，則甲每局比賽的結果依次為勝負勝負勝，獲勝的概率，故甲第一局獲勝并最終獲得勝利的概率為．故選：D.8．對于一個古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（

）A．A與B不互斥 B．A與D互斥但不對立C．C與D互斥 D．A與C相互獨立【答案】D【分析】由已知條件結合事件的運算判斷事件間的互斥、對立關系，根據的關系判斷事件是否獨立.【解析】由，，，即，故A、B互斥，A錯誤；由，A、D互斥且對立，B錯誤；又，，則，C與D不互斥，C錯誤；由，，，所以，即A與C相互獨立，D正確.故選：D二、多選題9．若則（

）A． B．事件A與B不互斥C．事件A與B相互獨立 D．事件A與B不一定相互獨立【答案】BC【分析】根據互斥與獨立事件的定義判斷即可.【解析】因為，所以與能同時發生，不是互斥事件，故B正確；，所以，故A不正確；又，故成立，故事件A與B相互獨立，故C正確，D錯誤故選：BC.10．已知事件滿足，，則下列結論正確的是（

）A．如果，那么B．如果，那么，C．如果與互斥，那么D．如果與相互獨立，那么【答案】CD【分析】古典概型、條件概率、互斥事件的概率，相互獨立事件的概率公式的運用。【解析】對于選項A，設一個盒子里有標號為1到10的小球,從中摸出一個小球,記下球的編號,記事件A=“球的編號是偶數”，事件B=“球的編號是1，2，3”，事件C=“球的編號是奇數”滿足,但是選項A錯誤;對于選項B，如果,那么,選項B錯誤;對于選項C，如果與互斥，那么,所以選項C正確;對于選項D，如果與相互獨立，那么所以選項D正確。故選：CD11．擲一枚質地均勻的骰子一次，記事件“擲到的點數為5”，事件“擲到的點數小于或等于3”，事件“擲到的點數為偶數”，則下列結論正確的是（

）A． B． C．A與B是互斥事件 D．A與C是對立事件【答案】ABC【分析】利用概率的定義以及互斥事件、對立事件的定義判斷.【解析】擲骰子所得點數為：1，2，3，4，5，6，，則，故A正確；，故B正確；又A與B不能同時發生，故C正確；由A不發生C不一定發生，故D錯誤．故選：ABC.12．先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，A表示事件“兩次擲出的點數之和是4”，B表示事件“第二次擲出的點數是偶數”，C表示事件“兩次擲出的點數相同”，D表示事件“至少出現一個奇數點”，則（

）A．A與互斥 B．C． D．B與C相互獨立【答案】BCD【分析】A選項可以根據互斥的定義判斷，BC選項通過已知條件計算即可，D選項可以通過判斷是否成立.【解析】A選項，兩次投擲的點數不同，仍有可能點數之和為4，于是A與可以同時發生，并不互斥，故A選項錯誤；選項B，基本事件總數為，滿足條件的有共3種情況，所以，故B正確，兩次都不出現奇數點的事件記為，依題意，于是，故C選項正確；D選項，，兩次投擲的點數相同，顯然是6種情況，于是，意為兩次投出的點數均為偶數，顯然只有3種情況，于是，符合獨立事件的定義，故D選項正確，故選：BCD.三、填空題13．一個不透明的袋子中有10個大小、材質一樣的小球，其中有個紅球，其余為黑球，從中不放回地先后各摸一個球出來，若第2次摸得紅球的概率為，則________．【答案】【分析】根據題意得到袋子中有個紅球，個黑球，利用相互獨立事件的概率公式，分別求得第1次摸出的是紅球和第1次摸出的是黑球時，第2次莫得紅球的概率，結合題意列出方程，即可求解.【解析】由題意，不透明的袋子中有個紅球，個黑球，當第1次摸出的是紅球時，第2次莫得紅球的概率為；當第1次摸出的是黑球時，第2次莫得紅球的概率為，因為第2次摸得紅球的概率為，即，解得.故答案為：.14．已知事件A與事件B相互獨立，如果，，那么__________．【答案】##【分析】根據獨立事件的概率公式計算即可.【解析】解：因為事件A與事件B相互獨立，，則，所以，故答案為：15．從m名男生和n名女生中任選3人去參加演講比賽，所選3人中至少有1名女生的概率為，那么所選3人都是男生的概率為______.【答案】【分析】利用對立事件的概率公式計算即可得出結論.【解析】解析設事件A表示“所選3人中至少有1名女生”，事件B表示“所選3人都為男生”，則A，B互為對立事件，所以.故答案為：.16．2022年神舟十五號載人飛船發射任務都取得圓滿成功，神舟十四號航天員與神舟十五號航天員首次完成空中會師，現有航天員甲?乙??乙?丙10分鐘內試驗成功的概率分別為，，，每個人能否完成任務相互獨立，該項試驗任務按照甲?乙?丙順序派出，則試驗任務成功的概率為___________.【答案】【分析】把試驗任務成功的事件拆成三個互斥事件的和，再求出每個事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式計算作答.【解析】試驗任務成功的事件是：甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成功的事件的和，事件，，互斥，，，，所以試驗任務成功的概率.故答案為：.四、解答題17．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，黑球或黃球的概率是，綠球或黃球的概率也是.求從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是多少？【答案】得到黑球、黃球和綠球的概率分別是，，【分析】設出事件，由已知條件得出事件的概率，根據對立事件以及互斥事件的概率性質，即