專題16一元一次不等式（4個知識點5種題型3個易錯點2種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.一元一次不等式的概念（重點）知識點2不等式的解集（不等式的解）（重點）知識點3.一元一次不等式的解法（重點）（難點）知識點4.利用一元一次不等式解應用題（重點）【方法二】實例探索法題型1.一元一次不等式的特殊解問題題型2.已知不等式的解求字母的取值題型3.方程與不等式的綜合題型4.一元一次不等式在決策中的應用題型5.含絕對值不等式的應用【方法三】差異對比法易錯點1.不等式兩邊同除以一個負數時易出錯易錯點2.去分母時，忘記添括號易錯點3.去分母時，漏乘不含分母的項【方法四】仿真實戰法考法1.一元一次不等式的解法考法2.列一元一次不等式解應用題【方法五】成果評定法【學習目標】理解一元一次不等式的概念。理解一元一次不等式的解的概念，并會在數軸上表示一元一次不等式的解。掌握解一元一次不等式的一般步驟，并會運用該步驟解一元一次不等式。會在數軸上表示一元一次不等式的解。會根據具體問題中的數量關系列一元一次不等式，并會利用一元一次不等式解決簡單的實際問題。【知識導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.一元一次不等式的概念（重點）只含有一個未知數，未知數的次數是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個一元一次不等式．注意：一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式(單項式或多項式)；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數為1【例1】（2021春?吳江區期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．4x﹣5y＜1 B．4y+2≤0 C．﹣1＜2 D．x2﹣3＞5【變式】（2021春?亭湖區校級月考）請寫出一個解集為x＜2的一元一次不等式（未知數的系數不能為1）．知識點2不等式的解集（不等式的解）（重點）（1）不等式的解集：能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．（2）解不等式的定義：求不等式的解集的過程叫做解不等式．（3）不等式的解和解集的區別和聯系不等式的解是一些具體的值，有無數個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用不等號表示．不等式的每一個解都在它的解集的范圍內．【例2】（2022春?如東縣期中）不等式0≤x＜2的解（）A．為0，1，2 B．為0，1 C．為1，2 D．有無數個【變式】（2022春?玄武區期末）關于x的不等式ax+b＞c的解集為x＜3，則關于x的不等式a（x﹣2）+b＞c的解集為（）A．x＜3 B．x＞3 C．x＜5 D．x＜1知識點3.一元一次不等式的解法（重點）（難點）解一元一次不等式的一般步驟是：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數化為1；⑥其中當系數是負數時，不等號的方向要改變。（1）去分母：根據不等式的性質2和3，把不等式的兩邊同時乘以各分母的最小公倍數，得到整數系數的小等式。（2）去括號：根據上括號的法則，特別要注意括號外面是負號時，去掉括號和負號，括號里面的各項要改變符號。（3）移項：根據不等式基本性質1，一般把含有未知數的項移到不等式的左邊，常數項移到不等式的右邊。（4）合并同類項。（5）將未知數的系數化為1：根據不等式基本性質2或3，特別要注意系數化為1時，系數是負數，不等號要改變方向。（6）有些時候需要在數軸上表示不等式的解集。在用數軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：（1）邊界：有等號的是實心圓點，無等號的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左．【例3】（2023春?菏澤月考）解下列不等式，并把解集在數軸上表示出來．（1）．（2）5x﹣1≤3（x+1）．（3）3x+1≥﹣5．（4）．【變式】（2022秋?姑蘇區校級期末）解不等式，并把它的解集在數軸上表示出來．3x+1＜2（x+1）．知識點4.利用一元一次不等式解應用題（重點）（1）由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中的不等關系．因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數量關系，用字母表示未知數．②根據題中的不等關系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．【例4】（2022春?清江浦區期末）某醫院準備派遣醫護人員協助西安市抗擊疫情，現有甲、乙兩種型號的客車可供租用，已知每輛甲型客車的租金為280元，每輛乙型客車的租金為220元，若醫院計劃租用6輛客車，租車的總租金不超過1530元，那么最多租用甲型客車多少輛？【變式】．（2022秋?蘇州期末）小穎家每月水費都不少于15元，自來水公司的收費標準如下：若每戶每月用水不超過5立方米，則每立方米收費元；若每戶每月用水超過5立方米，則超出部分每立方米收費2元，小穎家每月用水量至少是立方米．【方法二】實例探索法題型1.一元一次不等式的特殊解問題1．（2022秋?高新區期末）若代數式2m+7的值不大于3，則m的最大整數解是．2．（2022秋?姑蘇區校級期末）定義新運算：a⊕b＝1﹣ab，則不等式x⊕2≥﹣3的非負整數解的個數為．3．（2022秋?姑蘇區校級期末）已知關于x的方程2x﹣a＝3．（1）若該方程的解滿足x＞1，求a的取值范圍；（2）若該方程的解是不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）的最小整數解，求a的值．題型2.已知不等式的解求字母的取值4.（2023春?牡丹區校級月考）已知關于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集為x＜﹣1，則a的取值范圍是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜15.（2022?南京模擬）若（a+3）x＞a+3的解集為x＜1，則a必須滿足（）A．a＜0 B．a＞﹣3 C．a＜﹣3 D．a＞36.（2022春?錦江區校級期中）若關于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集是x＞，則m的取值范圍是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m≤17.（2022秋?岳陽樓區校級期末）若（m+1）x＞m+1的解集為x＜1，則m的取值范圍是．8．（2022春?崇川區校級月考）x＝1不是不等式（x﹣5）（ax+3a+2）≤0的解，則實數a的取值范圍是．9．（2023春·河南平頂山·八年級校考階段練習）已知不等式的解集為，則m的值為．10．（2023春·山東棗莊·八年級校考階段練習）已知關于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是.題型3.方程與不等式的綜合11．（2023秋·四川瀘州·八年級校聯考開學考試）若關于，的方程組的解滿足，則的所有非負整數之和為（）A． B． C． D．12．（2023春·河南焦作·八年級焦作市實驗中學校考階段練習）若關于和的二元一次方程組，滿足，求整數的最小值．13．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學校校考開學考試）已知不等式的最大整數解是方程的解，求a的值．14．（2023春·四川達州·八年級校考階段練習）如果關于的方程的解不大于1，且是一個正整數，試確定的值．15．（2023秋·八年級課時練習）已知關于x的分式方程的解是正數，求m的取值范圍．題型4.一元一次不等式在決策中的應用16．（2023春?濱海縣月考）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩和冬殘奧會吉祥物雪容融深受大家喜愛．已知購買1個冰墩墩毛絨玩具和2個雪容融毛絨玩具用了400元，購買3個冰墩墩毛絨玩具和4個雪容融毛絨玩具用了1000元．（1）求這兩種毛絨玩具的單價各是多少元？（2）若某商店購進兩種玩具共60個，費用不超過8000元，求冰墩墩毛絨玩具最多購進多少只？17．（2023春?漣水縣月考）新年伊始，某酒店為了給游客提供更舒適的環境，決定更換酒店的部分空調和電視機．已知購買2臺空調和3臺電視機共需12300元；購買3臺空調和1臺電視機共需11100元．（1）求空調和電視機的單價；（2）若該酒店準備購買空調和電視機共50臺，且空調數量不少于電視機的2倍，請設計出最省錢的購買方案，并說明理由．18．（2023春?灌云縣月考）隨著第24屆北京冬奧會和冬殘奧會的順利召開，“冰墩墩”和“雪容融”成為了大家競相追捧的吉祥物，某商家迅速抓住這一商機，購進了一批“冰墩墩”和“雪容融”小掛件，已知2個“冰墩墩”和1個“雪容融”小掛件共需26元，4個“冰墩墩”和3個“雪容融”小掛件共需62元．（1）“冰墩墩”和“雪容融”小掛件單價各是多少元？（2）如果這一商家準備再購進相同的“冰墩墩”和“雪容融”小掛件共100個，且“雪容融”的數量不少于“冰墩墩”數量的，請設計出最省錢的購買方案，并求出最少費用．19．（2023春?吳江區月考）某快遞公司為了提高工作效率，計劃購買A、B兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人比每臺B型機器人每天多搬運20噸，并且3臺A型機器人和2臺B型機器人每天共搬運貨物460噸．（1）求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別搬運貨物多少噸？（2）每臺A型機器人售價3萬元，每臺B型機器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人共20臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于1800噸，請根據以上要求，求出A、B兩種機器人分別采購多少臺時，所需費用最低？最低費用是多少？題型5.含絕對值不等式的應用20．（2023春·河北保定·八年級校考階段練習）不等式的解集是（

）A． B． C． D．或21．（2023春·全國·八年級專題練習）解下列不等式：（1）（2）22．（2022秋?姑蘇區校級期末）數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形進行完類地結合．研究數軸我們發現了很多有趣的結論和方法．閱讀材料（一）：數軸上點A、點B表示的數分別為a，b，則A，B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點表示的數為．閱讀材料（二）：例1：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在數軸上與1距離為2的點對應的數為3和﹣1，即該方程的x＝3或x＝﹣1；例2：解不等式|x﹣1|＞2，如圖，在數軸上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距離為2的點對應的數為﹣1，3，則|x﹣1|＞2的解為x＜﹣1或x＞3；參考閱讀材料，利用數軸探究下列問題：（1）如圖，數軸上點A表示的數為﹣2，點B表示的數為6，直接寫出線段AB的中點表示的數為；（2）方程|x+4|＝7的解為．（3）不等式|x﹣3|＞4的解集為．（4）|x+2|﹣|x﹣6|有最大值是；（5）點C在數軸上對應的數為10，動點P從原點出發在數軸上運動，若存在某個位置，使得PA+PB＝PC，則稱點P是關于點A，B，C的“石室幸運點”，請問在數軸上是否存在“石室幸運點”？若存在，請直接寫出所有“石室幸運點”．【方法三】差異對比法易錯點1.不等式兩邊同除以一個負數時易出錯23.（2022秋?蘇州期末）解下列不等式：．易錯點2.去分母時，忘記添括號24．（2023?盤錦）不等式≥的解集是．易錯點3.去分母時，漏乘不含分母的項25．（2023春?鐵西區期末）解不等式：．【方法四】仿真實戰法考法1.一元一次不等式的解法1．（2023?攀枝花）下列各數是不等式x﹣1≥0的解的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．（2023?臺州）不等式x+1≥2的解集在數軸上表示為（）A． B． C． D．3．（2023?盤錦）不等式≥的解集是．4．（2023?瀘州）關于x，y的二元一次方程組的解滿足x+y＞2，寫出a的一個整數值．5．（2023?宿遷）不等式x﹣2≤1的最大整數解是．考法2.列一元一次不等式解應用題6．（2023?麗水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設經過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為（）A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n7．（2023?廣東）某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率不能少于10%，則最多可打折．8．（2023?淄博）某古鎮為發展旅游產業，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉村振興，決定在“五一”期間對團隊*旅游實行門票特價優惠活動，價格如下表：購票人數m（人）10≤m≤5051≤m≤100m＞100每人門票價（元）605040*題中的團隊人數均不少于10人．現有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于50人．（1）如果兩個團隊分別購票，一共應付5580元，問甲、乙團隊各有多少人？（2）如果兩個團隊聯合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節省的費用不少于1200元，問甲團隊最少多少人？【方法五】成果評定法一、單選題1．（2023春·陜西榆林·八年級校考期中）下列不等式中，屬于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·福建福州·八年級校考開學考試）在數軸上表示不等式的解集，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023秋·浙江·八年級專題練習）設“〇”□”△”分別代表三種不同的物體，用天平比較它們質量的大小，兩次情況如圖所示，若每個“△”的質量為1，則每個“〇”的質量的取值范圍在數軸上表示正確的是（）A． B．C． D．4．（2023春·安徽宿州·八年級校考期中）樅陽實驗中學為落實“五項管理”工作，促進學生健康和全面發展﹐豐富學生的體育活動，準備從體育用品商店購買一些鞍馬、鉛球，標槍，鞍馬和鉛球的單價相同，買一個鉛球需要元，買一個標槍需要元．根據實際需要，該學校從體育用品商店一次性購買了三種體育器材共個，且購買三種體育器材的總費用不超過元，則這所中學最多可購買標槍的個數為（

）A．個 B．個 C．個 D．個5．（2023春·陜西西安·八年級校考期中）關于x的一元一次不等式組的解集如圖所示，則它的解集是（）A． B． C． D．6．（2023秋·浙江·八年級專題練習）不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·浙江·八年級專題練習）已知關于x的不等式的解集為，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023秋·湖南長沙·八年級校考開學考試）不等式的解集在數軸上表示正確的是（）A．

B．

C．

D．

9．（2023春·河北邯鄲·八年級校聯考期中）某城市出租車的起步價為10元（即行駛距離在3千米及以內付10元車費），超過3千米后，每行駛1千米加2元（不足1千米按1千米計）．小張在該市乘出租車從甲地到乙地，支付車費22元，則從甲地到乙地的路程最多有（

）A．11千米 B．10千米 C．9千米 D．8千米10．（2023春·陜西榆林·八年級校考期中）瑤瑤去玩具店購買一款心愛的玩具，付款時收銀員說：玩具成本是元，定價為元，今天是店慶，可以打折優惠，但利潤率不能低于，則該玩具最多可以打（

）A．折 B．折 C．折 D．折二、填空題11．（2023秋·廣東廣州·八年級廣州市第一一三中學校考開學考試）不等式的解集是．12．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學校校考開學考試）“與2的差小于0”用不等式表示為．13．（2023秋·廣東惠州·八年級校考開學考試）某商品進價4元，標價6元出售，商家準備打折出售，但其利潤率不能少于，則最多可打折．14．（2023秋·吉林長春·八年級東北師大附中校考開學考試）某次數學測驗，共16道選擇題，評分標準為：答對一題給6分，答錯或不答一題扣2分，小明想自己的分數不低于72分，他至少要答對道題．15．（2023春·山東棗莊·八年級校考期中）不等式的非負整數解共有個．16．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶一中校考期末）快遞運費通常按郵件重量計算，某快遞公司規定：省內郵件重量不超過1千克時收費10元；郵件重量超過1千克時，超過的部分按每千克3元收費．若省內寄快遞的費用不超過28元，則郵件的重量最多為千克．17．（2023秋·浙江杭州·八年級校考開學考試）若不等式的解集為，則a的取值范圍是．18．（2023春·四川達州·八年級校考期末）若關于x的分式方程的解是非負數，則m的取值范圍是．三、解答題19．（2023春·陜西榆林·八年級校考期中）求不等式的負整數解．20．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習）解下列不等式，并將其解集表示在數軸上．(1)(2)21．（2023春·河南新鄉·八年級校考期中）在疫情防控期間，學校給每個班級配備了體溫檢測儀和霧化消毒器，已知一臺霧化消毒器單價比一個體溫檢測儀的單價多20元，用3000元購進霧化消毒器的數量是用1200元購進體溫檢測儀的數量的2倍．(1)求霧化消毒器和體溫檢測儀的單價分別為多少元？(2)學校根據實際情況，購進霧化消毒器的數量是體溫檢測儀的3倍少5個，總費用沒有超過10000元，那么學校最多可能購買了多少個體溫檢測儀．22．（2023春·河南焦作·八年級焦作市實驗中學校考階段練習）定義一種新運算“”的含義為：當時，．當時，．例如：，．(1)填空：______；(2)如果，求的取值范圍．23．（2023秋·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學校校考階段練習）某水果店銷售A、B兩種規格的水果禮盒，A進貨價為每盒60元，B進貨價為每盒45元．表格中是該水果店近兩周這兩種水果禮盒的銷售情況．（進價保持不變，不考慮水果變質等損耗）銷售時段周銷售數量周銷售總利潤第一周40盒A水果禮盒85盒B水果禮盒2075元第二周60盒A水果禮盒100盒B水果禮盒