§2成對數據的線性相關性2.1相關系數2.2成對數據的線性相關性分析學習目標1.能結合向量共線與夾角來理解相關系數公式,進一步了解樣本相關系數的統計含義,培養直觀想象和數學建模能力.2.會計算樣本相關系數,并能根據相關系數的大小判斷變量之間相關程度的強弱,提升數據分析和數學運算素養.知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究問題1:如圖是一組數據的散點圖,若求出相應的線性回歸方程,求出的線性回歸方程可以用作預測和估計嗎?提示:圖(1)中兩個變量線性相關性很弱,求出的線性回歸方程不能用作預測和估計;圖(2)中兩個變量線性相關性很強,求出的線性回歸方程能用作預測和估計.問題2:兩個變量Y與X的回歸模型中,分別選擇了4個不同的模型,它們的相關系數r如表,其中擬合效果最好的模型是哪一個?模型模型1模型2模型3模型4相關系數r0.150.480.960.50提示:模型3.2.相關系數r的性質(1)r的取值范圍為

;(2)|r|值越接近1,隨機變量之間的線性相關程度

;|r|值越接近0,隨機變量之間的線性相關程度

;(3)當r>0時,兩個隨機變量的值總體上變化趨勢相同,此時稱兩個隨機變量

;(4)當r<0時,兩個隨機變量的值總體上變化趨勢相反,此時稱兩個隨機變量

;(5)當r=0時,此時稱兩個隨機變量

.[-1,1]越強越弱正相關負相關線性不相關師生互動·合作探究探究點一相關系數解析:(1)由題中散點圖可知,變量X和Y成正相關,故0<r1<1,0<r2<1,在剔除點(10,32)之后,可看出X與Y之間的線性相關程度更強,故r1<r2.所以0<r1<r2<1.故選A.解:(2)由條件可知,第一組中的數據負相關,相關系數小于零;第二組中的數據正相關,相關系數大于零,所以有r1<0<r2.故選C.方法總結線性相關系數是從數值上來判斷變量間的線性相關程度,是定量的方法.與散點圖相比較,線性相關系數要精細得多.解:由散點圖可知這兩個變量為負相關,所以r1,r2<0.因為剔除點(10,21)后,剩下點的數據更具有線性相關性,|r2|更接近1,所以-1<r2<r1<0.故選CD.探究點二[例2](2021·山東菏澤期中)隨著智能手機的普及,使用手機上網成為人們日常生活的一部分,很多消費者對手機流量的需求越來越大,某通信公司為了更好地滿足消費者對流量的需求,準備推出一款流量包.該通信公司選了5個城市(總人數、經濟發展情況、消費能力等方面比較接近),采用不同的定價方案作為試點,經過一個月的統計,發現該流量包的定價X(單位:元/月)和購買人數Y(單位:萬人)的關系如表:成對數據的相關性X3035404550Y18141085(1)根據表中的數據,運用相關系數進行分析說明,是否可以用線性回歸模型擬合Y與X的關系?并指出Y與X是正相關還是負相關.[例2](2021·山東菏澤期中)隨著智能手機的普及,使用手機上網成為人們日常生活的一部分,很多消費者對手機流量的需求越來越大,某通信公司為了更好地滿足消費者對流量的需求,準備推出一款流量包.該通信公司選了5個城市(總人數、經濟發展情況、消費能力等方面比較接近),采用不同的定價方案作為試點,經過一個月的統計,發現該流量包的定價X(單位:元/月)和購買人數Y(單位:萬人)的關系如表:X3035404550Y18141085(2)①求出Y關于X的回歸方程;[例2](2021·山東菏澤期中)隨著智能手機的普及,使用手機上網成為人們日常生活的一部分,很多消費者對手機流量的需求越來越大,某通信公司為了更好地滿足消費者對流量的需求,準備推出一款流量包.該通信公司選了5個城市(總人數、經濟發展情況、消費能力等方面比較接近),采用不同的定價方案作為試點,經過一個月的統計,發現該流量包的定價X(單位:元/月)和購買人數Y(單位:萬人)的關系如表:X3035404550Y18141085解:②由①知,若X=25,則Y=-0.64×25+36.6=20.6,故若將流量包的價格定為25元/月,則預測該市一個月內購買該流量包的人數能超過20萬.方法總結(1)散點圖可以直觀地判斷兩變量是否具有線性關系.(2)相關系數的計算運算量較大,注意運算的準確性.[針對訓練](2021·陜西二模)科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的樣本數據,如表:X(年齡/歲)26273941495356586061Y(脂肪含量/%)14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根據表中數據得到如圖所示的散點圖.(1)根據表中的樣本數據及其散點圖,計算樣本相關系數(精確到0.01),并刻畫它們的相關程度;[針對訓練](2021·陜西二模)科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的樣本數據,如表:X(年齡/歲)26273941495356586061Y(脂肪含量/%)14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根據表中數據得到如圖所示的散點圖.當堂檢測1.(2021·天津高二期末)對變量X,Y由觀測數據得散點圖1,對變量U,V由觀測數據得散點圖2,由這兩個散點圖可以推斷(

)A.X與Y正相關,U與V正相關B.X與Y正相關,U與V負相關C.X與Y負相關,U與V負相關D.X與Y負相關,U與V正相關D解析:題圖1中的點分布在從左上角到右下角的帶狀區域內,所以X與Y負相關;題圖2中的點分布在從左下角到右上角的帶狀區域內,所以U與V正相關.故選D.解析:由題圖可知,題圖2和題圖3是正相關,題圖1和題圖4是負相關,題圖1和題圖2的點相對更加集中,所以相關性更強,所以r1接近于-1,r2接近于1,所以r1<r4<0<r3<r2.故選A.A解析:因為線性相關系數r1=0.837,r2=-0.957,所以變量X與Y之間呈正相關關系,變量U與V之間呈負相關關系,X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性.故選C.C備用例題[例1](2021·浙江麗水期末)甲、乙、丙、丁四名同學各自對A,B兩變量的線性相關性做試驗,并用回歸分析的方法分別求得相關系數r如表:甲乙丙丁r-0.82-0.78-0.69-0.85則哪名同學的試驗結果體現A,B兩變量有更強的線性相關性(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析:因為0.85>0.82>0.78>0.69,且相關系數的絕對值越接近于1,則兩個變量的線性相關性越強,所以能體現出A,B兩變量有更強的線性相關性的是丁.故選D.[例2](2021·江西吉安期末)某商場五天內T恤衫的銷售情況如表:第X天12345銷售量Y/件19395979104則下列說法正確的是(

)A.Y與X負相關 B.Y與X正相關C.Y與X不相關 D.Y與X成正比例關系解析:根據表格中的數據作出散點圖,可知所有點都在一條直線附近波動,是線性相關的,且Y值隨著X值的增大而增大,即Y與X正相關.故選B.[例4]隨著網絡的發展,網上購物越來越受到人們的喜愛,各大購物網站為增加收入,促銷策略越來越多樣化,促銷費用也不斷增加.如表是某購物網站2020年1—8月促銷費用(單位:萬元)和產品銷量(單位:萬件)的具體數據:月份12345678促銷費用X/萬元2361013211518產品銷量Y/萬件11233.5544.5(1)根據數據散點圖能夠看出可用線性回歸模型擬合Y與X的關系,請用相關系數r加以說明(系數精確到0.001);[例4]隨