與球有關的外接與內切問題一．辦法綜述如果一種多面體的各個頂點都在同一種球面上，那么稱這個多面體是球的內接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關多面體外接球的問題，是立體幾何的一種重點，也是高考考察的一種熱點.考察學生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，解決這類問題的核心是抓住內接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．并且還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑之間的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用.當三棱錐有三條棱垂直或棱長相等時，可構造長方體或正方體.與球的外切問題重要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時重要抓住多面體過球心的對角面來作.當球與多面體的各個面相切時，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積來求球的半徑.二．解題方略類型一構造法（補形法）【例1】已知是球上的點，,，,則球的表面積等于________________．【例2】劉徽《九章算術?商功》中將底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體叫做陽馬．如圖，是一種陽馬的三視圖，則其外接球的體積為（）A． B． C． D．【舉一反三】1、已知直三棱柱的底面為直角三角形，且兩直角邊長分別為1和，此三棱柱的高為，則該三棱柱的外接球的體積為A． B． C． D．2、在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．3、某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一種直角邊為2的等腰直角三角形，側視圖是兩直角邊分別為2和1的直角三角形，俯視圖為一矩形，則該多面體的外接球的表面積為（）A．B．C．D．類型二正棱錐與球的外接【例3】正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A．B．C．D．【舉一反三】1、球O的球面上有四點S，A，B，C，其中O，A，B，C四點共面，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S-ABC的體積的最大值為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．2eq\r(3)D．42.正四周體ABCD的體積為，則正四周體ABCD的外接球的體積為______．3、正三棱錐中，，點在棱上，且.正三棱錐的外接球為球，過點作球的截面，截球所得截面面積的最小值為__________．類型三直棱柱的外接球【例4】直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于.【舉一反三】1、已知直三棱柱的頂點都在球的球面上，，，若球的表面積為，則這個直三棱柱的體積是（）A．16B．15C．D．2、已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上,若,,,則球的半徑為 （）A． B． C． D．3、正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側面積有最值，為.三．強化訓練一、選擇題1、《九章算木》中將底面為長方形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，現有一陽馬，其正視圖和側視圖是如圖所示的直角三角形，該“陽馬”的體積為，若該陽馬的頂點都在同一種球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．2．在三棱錐中，平面，M是線段上一動點，線段長度最小值為，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．3．已知A，B，C為球O的球面上的三個定點，，，P為球O的球面上的動點，記三棱錐p一ABC的體積為，三棱銋O一ABC的體積為，若的最大值為3，則球O的表面積為A． B． C． D．4．在三棱錐S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積是（）A． B． C． D．5．點，，，在同一種球面上，，，若球的表面積為，則四周體體積的最大值為A． B． C． D．6．三棱錐P—ABC中，底面ABC滿足BA=BC，，點P在底面ABC的射影為AC的中點，且該三棱錐的體積為，當其外接球的表面積最小時，P終究面ABC的距離為（）A．3 B． C． D．7．已知正方形ABCD的邊長為4，E，F分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF折成一種三棱錐P-AEF（使B，C，D重疊于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（）A． B． C． D．8．中國古代數學典型《九章算術》系統地總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖為一種陽馬與一種鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽馬的外接球的表面積等于A． B． C． D．二、填空題9．已知在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為__________．10已知三棱錐的全部頂點都在同一球面上，底面是正三角形且和球心O在同一平面內，若此三棱錐的最大致積為，則球O的表面積等于_____．11．已知四棱錐的三視圖如圖所示，若該四棱錐的各個頂點都在球的球面上，則球的表面積等于_________.12．如圖，是邊長為2的正方形，其對角線與交于點，將正方形沿對角線折疊，使點所對應點為，.設三棱錐的外接球的體積為，三棱錐的體積為，則__________．13．已知，，，，是球的球面上的五個點，四邊形為梯形，，，，，,平面平面，則球的表面積為_____.14．三棱錐中，側棱與底面垂直，，，且，則三棱錐的外接球的表面積等于__________．15．在四棱錐中，是等邊三角形，底面是矩形，平面平面，若，則四棱錐的外接球的表面積是_____．16．已知是球表面上四點，點為的中點，且，，，，則球的表面積是__________．17.在三棱錐中，是等邊三角形，底面，，，則該三棱錐的外接球的表面積為______．答案類型一構造法（補形法）【例1】已知是球上的點，,，,則球的表面積等于________________．【答案】【解析】由已知S,A,B,C是球O表面上的點，因此，又，，因此四周體的外接球半徑等于以長寬高分別以SA,AB,BC三邊長為長方體的外接球的半徑，由于，,因此，因此球的表面積.【指點迷津】當一三棱錐的三側棱兩兩垂直時，可將三棱錐補成一種長方體，將問題轉化為長方體（正方體）來解.長方體的外接球即為該三棱錐的外接球.【例2】劉徽《九章算術?商功》中將底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體叫做陽馬．如圖，是一種陽馬的三視圖，則其外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知陽馬為四棱錐，且四棱錐的底面為長方體的一種底面，四棱錐的高為長方體的一棱長，且陽馬的外接球也是長方體的外接球，由三視圖可知四棱錐的底面是邊長為1的正方形，四棱錐的高為1，∴長方體的一種頂點處的三條棱長分別為1，1，1，∴長方體的對角線為，∴外接球的半徑為，∴外接球的體積為.故選：B．【指點迷津】當一四周體或三棱錐的棱長相等時，能夠構造正方體，在正方體中構造三棱錐或四周體，運用三棱錐或四周體與正方體的外接球相似來解即可.【舉一反三】1、已知直三棱柱的底面為直角三角形，且兩直角邊長分別為1和，此三棱柱的高為，則該三棱柱的外接球的體積為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，將直三棱柱補充為長方體，則該長方體的體對角線為，設長方體的外接球的半徑為，則，,因此該長方體的外接球的體積，故選C.2、在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：如圖，把三棱錐補形為長方體，設長方體的長、寬、高分別為，則，∴三棱錐外接球的半徑∴三棱錐外接球的表面積為．故選：C．3、某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一種直角邊為2的等腰直角三角形，側視圖是兩直角邊分別為2和1的直角三角形，俯視圖為一矩形，則該多面體的外接球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三視圖可得，該幾何體為一種三棱錐，放在長、寬、高分別為2，1，2的長方體中，此三棱錐和長方體的外接球是同一種，長方體的外接球的球心在體對角線的中點處，易得其外接球的直徑為，從而外接球的表面積為.故答案為：C.類型二正棱錐與球的外接【例3】正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】A．【指點迷津】求正棱錐外接球的表面積或體積，應先求其半徑，在棱錐的高上取一點作為外接球的球心，構造直角三角形，運用勾股定理求半徑.【舉一反三】1、球O的球面上有四點S，A，B，C，其中O，A，B，C四點共面，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S-ABC的體積的最大值為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．2eq\r(3)D．4【答案】A【解析】(1)由于平面SAB⊥平面ABC，因此點S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據球的對稱性可知，當S在“最高點”，即H為AB的中點時，SH最大，此時棱錐S-ABC的體積最大．由于△ABC是邊長為2的正三角形，因此球的半徑r＝OC＝eq\f(2,3)CH＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(2\r(3),3).在Rt△SHO中，OH＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),3)，因此SH＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝1，故所求體積的最大值為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×1＝eq\f(\r(3),3).2.正四周體ABCD的體積為，則正四周體ABCD的外接球的體積為______．【答案】【解析】解：如圖，設正四周體ABCD的棱長為，過A作AD⊥BC，設等邊三角形ABC的中心為O，則，，，即．再設正四周體ABCD的外接球球心為G，連接GA，則，即．∴正四周體ABCD的外接球的體積為.故答案為：．3、正三棱錐中，，點在棱上，且.正三棱錐的外接球為球，過點作球的截面，截球所得截面面積的最小值為__________．【答案】【解析】由于，因此，因此，同理，故可把正三棱錐補成正方體（如圖所示），其外接球即為球，直徑為正方體的體對角線，故，設的中點為，連接，則且，因此，當平面時，平面截球的截面面積最小，此時截面為圓面，其半徑為，故截面的面積為．填．類型三直棱柱的外接球【例4】直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于.【答案】【解析】在中,,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為.【指點迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圓的圓心的連線上，擬定球心，用球心、一底面的外接圓的圓心，一頂點構成一種直角三角形，用勾股定理得有關外接球半徑的關系式，可球的半徑.【舉一反三】1、已知直三棱柱的頂點都在球的球面上，，，若球的表面積為，則這個直三棱柱的體積是（）A．16B．15C．D．【答案】A【解析】由題，，由于，，易知三角形ABC為等腰直角三角形，故三棱柱的高故體積故選A2、已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上,若,,,則球的半徑為 （）A． B． C． D．【答案】C【解析】由球心作面ABC的垂線，則垂足為BC中點M.計算AM=，由垂徑定理，OM=6，因此半徑R=,選C.3、正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側面積有最值，為.【答案】大三．強化訓練一、選擇題1、《九章算木》中將底面為長方形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，現有一陽馬，其正視圖和側視圖是如圖所示的直角三角形，該“陽馬”的體積為，若該陽馬的頂點都在同一種球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正視圖，側視圖可知，底面長方形的長，寬分別為4，2，故四棱錐的高為，因另外接球的直徑為，因此．故選：D．2．在三棱錐中，平面，M是線段上一動點，線段長度最小值為，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：如圖所示：三棱錐中，平面，M是線段上一動點，線段長度最小值為，則：當時，線段達成最小值，由于：平面，因此：，解得：，因此：，則：，由于：，因此：則：為等腰三角形．因此：，在中，設外接圓的直徑為，則：，因此：外接球的半徑，則：，故選：C．3．已知A，B，C為球O的球面上的三個定點，，，P為球O的球面上的動點，記三棱錐p一ABC的體積為，三棱銋O一ABC的體積為，若的最大值為3，則球O的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，設的外接圓圓心為，其半徑為，球的半徑為，且依題意可知，即，顯然，故，又由，故，∴球的表面積為，故選B.4．在三棱錐S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：取的中點，連接，.由于，，因此，可得即為二面角的平面角，故在中，,同理可得，由余弦定理得，解得在中，因此，為直角三角形，同理可得為直角三角形，取中點，則，在與中，,,因此點E為該球的球心，半徑為，因此球的表面積為，故選B.5．點，，，在同一種球面上，，，若球的表面積為，則四周體體積的最大值為A． B． C． D．【答案】C【解析】由于球的表面積為，因此,由于因此三角形ABC為直角三角形，從而球心到平面ABC距離為,因此四周體體積的最大值為，選C.6．三棱錐P—ABC中，底面ABC滿足BA=BC，，點P在底面ABC的射影為AC的中點，且該三棱錐的體積為，當其外接球的表面積最小時，P終究面ABC的距離為（）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】設外接球半徑為，P終究面ABC的距離為，，則，由于，因此，由于，因此當時，，當時，，因此當時，取最小值，外接球的表面積取最小值，選B.7．已知正方形ABCD的邊長為4，E，F分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF折成一種三棱錐P-AEF（使B，C，D重疊于P），三棱錐P-AEF的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：如圖，由題意可得，三棱錐P-AEF的三條側棱PA，PE，PF兩兩互相垂直，且，，把三棱錐P-AEF補形為長方體，則長方體的體對角線長為，則三棱錐P-AEF的外接球的半徑為，外接球的表面積為．故選：C．8．中國古代數學典型《九章算術》系統地總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖為一種陽馬與一種鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽馬的外接球的表面積等于A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在三棱錐（鱉臑）中，，平面，因此其外接球的直徑．設，則，因此其外接球的體積，解得．設四棱錐（陽馬）的外接球半徑為，則，因此該球的表面積．故選C．二、填空題9．已知在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為__________．【答案】【解析】,是正三角形，是等腰直角三角形，設中心為，外心為，則是斜邊的中點，因此，設三棱錐外接球球心為，則平面平面，由余弦定理，，，設球半徑為，球的表面積為，故答案為.10已知三棱錐的全部頂點都在同一球面上，底面是正三角形且和球心O在同一平面內，若此三棱錐的最大致積為，則球O的表面積等于_____．【答案】【解析】與球心在同一平面內，是的外心，設球半徑為，則的邊長，，當到所在面的距離為球的半徑時，體積最大，，，球表面積為，故答案為.11．已知四棱錐的三視圖如圖所示，若該四棱錐的各個頂點都在球的球面上，則球的表面積等于_________.【答案】【解析】由該四棱錐的三視圖知，該四棱錐直觀圖如圖，由于平面平面，連接AC,BD交于E，過E作面ABCD的垂線與過三角形ABS的外心作面ABS的垂線交于O，即為球心，連接AO即為半徑，令為外接圓半徑，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,則cos,∴sin，∴，∴，又OF