基于初參數矩陣方程的圓拱隧道襯砌結構合理分析

1結構內力與變位的初參數解析多心圓拱段是目前較為常見的多車道隧道段類型。段形狀復雜，很難獲得內部公式。因此，段的設計參數通?；陬愃朴谠O計的數據和參考力值分析的結果，并通過優化和比較確定。本文基于文獻的混凝土襯砌彈性地基圓弧曲梁內力和變位方程,應用初參數解析原理,得到了多心圓拱隧道襯砌結構內力與變位的解析解。與數值解析方法相比,本文解析過程更嚴謹,解析結果更具確定性,方法的普適性更強,更具工程實踐參考意義。2混凝土彈性能文獻建立的混凝土襯砌彈性地基圓弧曲梁的徑向變位與內力方程為根據文獻思想,進一步推導出曲梁截面角位移φ(θ)的表達式:式中:如圖1所示,襯砌厚度h=r1-r0,斷面中心半徑ri=(1/2)(r0+r1),混凝土彈性模量為cE,斷面面積為F,慣性矩為I。截取微分單元為ridθ,其中徑向位移為ω(θ),K為圍巖抗力系數,襯砌與圍巖間的剪應力為τ,斷面的彎矩為M(θ)、剪力為Q(θ)、軸力為N(θ),曲梁截面角位移為φ(θ)。各力與夾角θ均以圖示方向為正。對于公路隧道,內水壓P0=0。3初參數解析方程對式(1)~(5),令θ=0,可得對應初參數表達式:聯立式(7)中5個初參數表達式,可求得常數c1～c4的表達式(含有ω0、M0、N0、Q0、φ0)。將常數c1~c4的表達式代入式(1)~(5),即得內力與變形(ω(θ),φ(θ),M(θ),N(θ),Q(θ))的初參數解析表達式。初參數方程構成的方程組用矩陣表示為初參數矩陣方程(8)為內力與變位求解的基本方程,式中Wθ為與初參數點圓心夾角為θ的點的內力與變形列矩陣,待求,Wθ=[ωθ,φθ,Mθ,Nθ,Qθ]T;W0為初參數點內力與變形列矩陣,已知,W0=[ω0,φ0,M0,N0,Q0]T;Tθ、Pθ為系數矩陣和列常數矩陣。4列矩陣的求解圖2為6心圓拱隧道襯砌斷面示意圖,其中D、E為結構對稱軸上點;A、B、C為圓弧拱交接點。利用初參數矩陣方程(8),考慮弧段交接點處的內力平衡和變位協調條件,可以進行如圖2所示多心圓拱隧道襯砌結構內力與變位求解。利用結構對稱性,有則D、E兩點的內力與變形列矩陣為應用式(8)對圓弧拱交接點的求解,可有兩種途徑,以B點為例。途徑1:由D作為初始點進行求解。由式(11)代入式(12)可得B點求解方程組:途徑2:由E作為初始點進行求解。對弧段EC、CB分別建立方程,并將C點方程代入B點方程,可得聯立式(13)、(14)得式(15)表示的是一個含有5個線性方程、6個未知參數(ωD,MD,ND;ωE,ME,NE)的方程組。為了進行未知數求解,需補充一個方程。由式(2)和式(3)可得將式(16)分別應用于弧段DA、AB、EC、CB,可得將式(17)、(19)分別代入式(18)、(20),經比較整理得聯立求解式(14)、(21),可得關于D、E點初參數ωD、MD、ND,ωE、ME、NE的6階線性方程組,采用迭代法可以求解。求解出D、E點初參數后,以D或者E為初始點,逐段應用式(8)建立方程,可進行各點內力與變位求解。5數值計算結果某公路隧道采用6心圓拱斷面,見圖2。襯砌弧段幾何參數和計算參數取值見表1和表2。采用本文提出的初參數求解方法,編制Matlab計算程序進行實例求解,并將計算結果與同種工況下有限元軟件(Ansys9.0)數值計算結果比較見表3。數值計算采用荷載-結構法,用布置于節點上的彈簧單元模擬圍巖與結構的相互作用。彈簧單元不承受拉力,受拉即自動脫落,結果基本一致。6襯砌結構的內力與變位求解實際計算結果表明,應用本文建立的初參數矩陣方程和初參數求解方程組,可以求解多心圓拱隧道襯砌結構內力與變位,并