——PAGE\#"0"/NUMPAGES\#"0"——PAGE\#"0"/NUMPAGES\#"0"——PAGE\#"0"/NUMPAGES\#"0"——PAGE\#"0"/NUMPAGES\#"0"—中國精算師金融數學第9章金融衍生工具定價理論綜合練習與答案一、單選題1、某一股票當前的交易價格為10美元，3個月末，股票的價格將是11美元或者9美元。連續計復利的無風險利率是每年3.5％，執行價格為10美元的3個月期歐式看漲期權的價值最接近于（）美元。A.1.07B.0.54C.0.81D.0.95E.0.79【參考答案】：B【試題解析】：在這種情形下，ｕ＝1.1，d=0.9，r=0.035，如果股票價格上升，則期權價值為1美元，如果股票價格下降，則期權價值為0。價格上升的概率p可以計算為（e0.035×3/12-0.9）／（1.1-0.9）=0.5439。因此，該看漲期權的價值是e0.035×3/12×（0.5439×1）=0.54（美元）。2、一只不分紅的股票現價為37美元。在接下來的6個月里，每3個月股價要么上升5％，要么下降5％。連續復合收益率為7％。計算期限為6個月，執行價格為38美元的歐式看漲期權的價值為（）美元。A.1.2342B.1.1236C.1.0965D.1.0864E.1.0145【參考答案】：A【試題解析】：3、某股票的當前價格為50美元，在今后兩個3個月時間內，股票價格或上漲6％，或下跌5％，無風險利率為每年5％（連續復利）。執行價格為51美元，6個月期限的看漲期權的價格為（）美元。A.1.653B.1.635C.1.615D.1.605E.1.561【參考答案】：B【試題解析】：①圖的二叉樹圖描述了股票價格的變化行為。向上趨勢的風險中性概率p由下式給出：對于最高的末端節點（兩個向上的復合），期權收益為56.18－51=5.18（美元），而在其他情況中的收益為零。因此，期權的價值為：5.18×0.56892×e-0.05×0.5=1.635（美元）②結果同樣可以通過價格樹計算出來。看漲期權的價值為圖9-2中每個節點的下面的數值。圖二叉樹圖4、某看漲期權的各項參數如下：則用Black-Scholes期權定價模型計算歐式看漲期權的價格為（）美元。A.1.01B.1.06C.1.36D.1.61E.2.65【參考答案】：B【試題解析】：根據Black-Scholes公式：C=SΦ（d1）-Ke-rTΦ（d2）可知該看漲期權的價值=75×0.68?70×e-0.05×1×1×0.75=1.06（美元）所以該看漲期權的價格也為1.06美元。5、某股票價格服從幾何布朗運動，其中收益率期望為16％，波動率為35％，股票的當前價格為38美元。一個該股票上具有執行價格為40美元，期限為6個月的歐式看漲期權被行使的概率為（）。A.0.4269B.0.4598C.0.4698D.0.4968E.0.5032【參考答案】：D【試題解析】：要求的概率就是6個月后股票價格超過40美元的概率。假設6個月后股票的價格是ST，則有：lnST~N（ln38+×0.5,0.352×0.5）也即：lnST~N（3.687,0.06125）因為ln40=3.689，則要求的概率為：從正態分布表可以得出Φ（0.008）=0.5032，結果要求的概率是0.4968。6、股票的當前價格為40美元，假定其收益率期望為15％，波動率為25％。在兩年內的股票收益率（連續復利）的概率分布是（）。A.N（0.11875，0.03235）B.N（0.11975，0.03125）C.N（0.11875，0.03125）D.N（0.11875，0.08125）E.N（0.11875，0.13125）【參考答案】：C【試題解析】：μ=0.15和σ=0.25。根據公式：可得2年期連續復利的回報率的概率分布是：也即：N（0.11875,0.03125）7、某股票的當前價格為50美元，已知在2個月后股票價格將變為53美元或48美元，無風險利率為每年10％（連續復利），執行價格為49美元，期限為2個月的歐式看漲期權價格為（）美元。A.2.29B.2.25C.2.23D.2.13E.2.07【參考答案】：C【試題解析】：①兩個月結束的時候，期權的價值或者為4美元（如果股票價格為53美元），或者為0美元（如果股票的價格為48美元）。考慮一份資產組合的構成：＋△：股票，－1：期權。兩個月后組合的價值或者為48Δ或者為53Δ－4。如果：48Δ=53Δ-4也即：Δ=0.8資產組合的價值為38.4美元（48×0.8或者53×0.8－4）。因此對于組合來說，Δ的值是無風險的。組合的現值為：0.8×50-f其中f是期權的價值。因為組合必須以無風險的利率盈利：（0.8×50-f）e0.10×0.16667=38.4也即：f=2.23（美元）因此期權的價值為2.23美元。②可以直接運用公式：f=e-rT[pfu+（1-p）fd]其中：由題意知，u=1.06，d=0.96，因此：f=e-0.10×0.16667×0.5681×4=2.23（美元）可見，兩種方法結果一致。8、假設一股票在相鄰的交易日價格上漲50％的概率是1/3，下跌10％的概率是2/3。如果該股票周一開始交易，價格是每股2美元，那么預期周四價格的期望值是（）美元。A.1.458B.2.662C.3.785D.5.489E.6.75【參考答案】：B【試題解析】：設股票從周一到周四三天上漲的次數為X，則X~B（3,1/3）。周四股票的價格P=2×（1+50%）X×（1-10%）3-X=2×1.5X×0.93-X預期周四價格的期望值為：9、某股票的當前價格為50美元。假定股票的預期收益率為年率18％，波動率為30％，在兩年后股票價格的95％的置信區間為（）。A.28.52～150.44B.28.42～150.54C.28.32～150.64D.28.52～153.44E.27.52～151.44【參考答案】：A【試題解析】：S0=50（美元）、μ=0.18和σ=0.30。未來兩年的股票價格ST符合正態分布：即：lnST~N（4.18,0.18）50e2×0.18=50e0.36=71.67（美元）股票價格的標準差：在給定95%的置信度下，lnST的置信區間為：（4.18-1.96×0.42,4.18+1.96×0.42）即：3.35美元～5.01美元。股票價格ST在95%置信度下的置信區間是：e3.35～e5.01即：28.52美元～150.44美元。10、假設股票價格S=50美元，執行價X=50美元，T=1年，r=12%，=10%。則看漲期權的理論價格為（）。A.5.49B.5.63C.5.92D.5.98E.6.59【參考答案】：C【試題解析】：計算d1和d2:分別為：d1=[ln（S/X）+（r+σ2/2）T]/σT0.5=[ln（50/50）+（0.12+0.01/2）×1]/0.1×1=1.25d2=d1-σT-0.5=1.25-0.1×1=1.15查標準正態分布可得：Φ（d1）=Φ（1.25）=0.8944Φ（d2）=Φ（1.15）=0.8749因此看漲期權理論價格為：C=SΦ（d1）-Xe-rTΦ（d2）=50×0.8944-50e-0.12×1×0.8749=44.72-50×0.8669×0.8749=44.72-38.80=5.9211、無股息股票中股票價格為52美元，執行價格為50美元，無風險利率為年率12％，波動率為年率30％，期限為3個月。則該股票的歐式看漲期權的價格為（）美元。A.4.65B.5.00C.5.06D.5.16E.5.36【參考答案】：C【試題解析】：在本題中S0=52（美元）、K=50（美元）、r=0.12、σ=0.30和T=0.25，歐式看漲期權的價格為：也即看漲期權的價格為5.06美元。12、一個一年期歐式看漲期權，其標的資產為一只公開交易的普通股票，已知：A.股票現價為122元B.股票年收益率標準差為0.2C.ln（股票現價/執行價現價）=0.2利用Black-scholes期權定價公式計算該期權的價格（）。[2011年春季真題]D.18E.20F.22G.24H.26【參考答案】：D【試題解析】：13、假設股價隨機模型如下：其中Z表示標準正態隨機變量，則ST的95％置信區間為（）。A.B.C.D.E.以上選項都不正確【參考答案】：C【試題解析】：14、某股票的當前價格為80美元，已知在4個月后股票價格將變為75美元或85美元，無風險利率為每年5％（連續復利），執行價格為80美元，期限為4個月的歐式看跌期權價格為（）美元。A.1.65B.1.71C.1.73D.1.75E.1.80【參考答案】：E【試題解析】：①4個月結束時，期權的價值或者為5美元（如果股票價格為75美元），或者為0美元（如果股票的價格為85美元）。考慮一份資產組合的構成：－△：股票，＋1：期權。參數delta（Δ）在看跌期權中為負值。構建的這份資產組合為＋1份的期權和－Δ份的股票，以此保證初始投資為正。4個月后組合的價值或者為－85Δ或者為－75Δ+5。如果：-85Δ=-75Δ+5也即：Δ=-0.5資產組合的價值為42.5美元。對于組合來說，Δ的值是無風險的。組合的現值為：0.5×80+f其中f是期權的價值。因為組合必須以無風險的利率盈利：（0.5×80+f）e0.05×0.3333=42.5也即：f=1.80（美元）因此期權的價值為1.80美元。②可以直接運用公式：f=e-rT[pfu+（1-p）fd]其中：由題意得，u=1.0625，d=0.9375，因此：1-p=0.3655f=e-0.05×0.3333×0.3655×5=1.80（美元）可見，兩種方法結果一致。15、假設某種不支付紅利股票的市價為50元，無風險利率為12％，該股票的年波動率為10％，求該股票協議價格為50元、期限1年的歐式看漲期權價格為（）美元。A.5.92B.5.69C.4.96D.3.25E.0.27【參考答案】：A【試題解析】：16、無股息股票的股票價格為69美元，執行價格為70美元，無風險利率為年率5％，波動率為年率35％，期限為6個月。則該股票的歐式看跌期權的價格為（）美元。A.5.60B.5.80C.6.00D.6.20E.6.40【參考答案】：E【試題解析】：在本題中，S0=69（美元）、K=70（美元）、r=0.05、σ=0.35和T=0.5，歐式看跌期權的價格為：也即看跌期權的價格為6.40美元。17、不支付紅利的股票當前價格是75美元，股票的年波動率是18.25％，當前連續計復利的無風險利率是5％。現有的某一3年期歐式看漲期權的執行價格是90美元，假設該股票的價格每年將按比例地上升或者下降，且其在任何一年中股票價格將會上升的概率是60％，那么該歐式看漲期權的價值是（）美元。A.22.16B.12.91C.3.24D.7.36E.8.36【參考答案】：D【試題解析】：首先，我們需要計算資產的價格上升的比例是那么價格下降的比例是1／1.20=0.83。下一步，我們打算在3年期間內股票價格變化的多種途徑，該股票存在4種可能的期末價值：Suuu=75×1.2×1.2×1.2=129.60（美元）Suud=Sduu=Sudu=75×1.2×1.2×0.83=89.64（美元）Sudd=Sdud=Sddu=75×1.2×0.83×0.83=62.00（美元）Sddd=75×0.83×0.83×0.83=42.89（美元）只有當價格連續3次上升時，期權才能在到期日處于實值狀態，這一概率大約是（0.60）（0.60）（0.60）=0.216。因此，當日期權的價值是（129.60-90）×0.216×e-0.05×3=7.36（美元）。18、某股票的當前價格為50美元，在6個月后股票價格將變為60美元或42美元，無風險利率為每年12％（連續復利），計算執行價格為48美元，期限為6個月的歐式看漲期權價格為（）美元。A.6.69B.6.86C.6.91D.6.96E.6.99【參考答案】：D【試題解析】：①6個月后，該期權價值為12美元（如果股票價格為60美元）或0美元（如果股票價格為42美元）。考慮一個資產組合，包括：＋△：股票，－1：衍生產品。6個月后，資產組合價值為42△或60△-12，若：42Δ=60Δ-12解得：Δ=0.6667資產組合的價值確定為28美元。因此，由于△的值是無風險的，該組合為無風險資產組合。而該資產組合當期的價值為：0.6667×50-f其中f是期權的價值。由于資產組合應至少獲得無風險利率，所以有：（0.6667×50-f）e0.12×0.5=28解得：f=6.96（美元）因此，該期權的價值為6.96美元。②應用風險中性理論可以得到相同的結果。假設風險中性，p為股票價格上漲的概率，有：60p+42（1-p）=50×e0.06解得：18p=11.09從而有：p=0.6161在風險中性條件下，期權的期望價值為：12×0.6161+0×0.3839=7.3932（美元）其現值為：7.3932e-0.06=6.96（美元）所以，無套利原理與風險中性理論所得結論是一致的。19、某一股票的價格為40美元，在今后兩個3個月的時間段內，股票價格或上漲10％或下跌10％，無風險利率為每年12％（連續復利）。執行價格為42美元，6個月的美式看漲期權價格與6個月的歐式看跌期權價格之差為（）美元。A.0.401B.0.409C.0.412D.0.419E.0.457【參考答案】：C【試題解析】：①圖表示的是描述股票價格變動情況的二叉樹。在風險中性條件下，股票價格上漲的概率p為：經過計算期望收益和折現，期權的價格為：（2.4×2×0.6523×0.3477+9.6×0.34772）e-0.12×6/12=2.118（美元）所以，歐式期權的價格為2.118美元。②該結果同樣也可以從圖中利用二叉樹模型逆推求出。圖中每個節點的第二個數字即表示當期歐式期權的價格。二叉樹中每個節點的第三個數字表示的是美式期權的價格。總價值為2.537美元。所以：美式期權的價格-歐式期權的價格=2.537-2.118=0.419（美元）股票、歐式期權與美式期權價值的二叉樹在每個節點，第一個數字表示股票價格，第二個數字表示歐式期權價格，第三個數字表示美式期權價格。20、一個3個月期的無股息股票，期權執行價格為50美元，股票當前價格為50美元，無風險利率為連續復利10％，波動率為年率30％。則該股票的歐式看跌期權的價格為（）美元。A.2.03B.2.19C.2.27D.2.37E.2.65【參考答案】：C【試題解析】：本題中，S0=50,K=50,r=0.1,σ=0.3,T=0.25,歐式看跌期權價格為：50Φ（-0.0917）e-0.1×0.25-50Φ（-0.2417）=50×0.4634e-0.1×0.25-50×0.4045=2.37（美元）即看跌期權價格為2.37美元。21、下列選項中不屬于Black-Scholes模型假設條件的是（）。A.沒有交易費用B.沒有稅收C.市場是可以套利的D.無風險利率是一個常數E.可以無限制的賣空【參考答案】：C【試題解析】：Black-Scholes是一個連續時間衍生品的定價模型。該模型建立在對市場的下列假設之上：①基礎資產不支付紅利，且其價格服從幾何布朗運動；②市場是完全的，即所有未定權益都是可復制的；③市場是無套利的；④無風險利率r是一個常數，且任何期限的借貸利率都相等；⑤可以無限制的賣空；⑥市場無摩擦，即無稅收成本、無交易成本；⑦基礎資產可以以任何數量在任何連續的時間交易。22、一個3個月期的無股息股票，期權執行價格為50美元，股票當前價格為50美元，無風險利率為連續復利10％，波動率為年率30％，在兩個月后股票預計將支付股息1.5美元。則該股票的歐式看跌期權的價格為（）美元。A.2.03B.2.19C.2.27D.3.03E.3.68【參考答案】：D【試題解析】：在使用Black-Scholes公式之前，需從股票價格中減去股利的現值。因此，S0=50-1.50e-0.1667×0.1=48.52（美元）又：K=50,r=0.1,σ=0.3,T=0.25所以：歐式看跌期權價格為：50Φ（0.1086）e-0.1×0.25-48.52/Φ（-0.0414）=50×0.5432e-0.1×0.25-48.52×0.4835=3.03（美元）即看跌期權價格為3.03美元。23、某一股票當前的交易價格為10美元，3個月。股票的價格將是11美元或者9美元。連續計復利的無風險利率是每年3.5%，執行價格為10美元的3個月期歐式看漲期權的價值最接近于（