2021年遼寧省遼南協作校高考數學二模試卷（朝陽二模）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知全集〃=/?,設2={x|y=ln（x—1）},B={y\y=V%2+2x+10）,則An

S）=（）

A.口,3）B.[1,3]C.（1,3）D.（1,3]

2.某校有1000人參加某次模擬考試，其中數學考試成績近似服從正態分布

NQOS,/）。＞0）,試卷滿分150分，統計結果顯示數學成績優秀（高于120分）的

人數占總人數的也則此次數學考試成績在90分到105分之間的人數約為（）

A.150B.200C.300D.400

3.過拋物線C：y2=4x的焦點F的直線交拋物線C于4（巧,力）、以與）?）兩點，且

xi+x2=p則弦A8的長為（）

A.7B.4C.7D.|

4.已知久1，%2是一元二次方程a，+bx+c=0的兩個不同的實根Xi，x2,則“七＞1

且＞1”是"%+%2＞2且Xi?%2＞1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D,既不充分也不必要條件

5.已知向量五，方滿足|五|=|方|=2,一?（3—■=一2,則|2五一方|=（）

A.2B.2遮C.4D.8

6.今年我國中醫藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒

?“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為

清肺排毒湯、化濕敗毒方、宜肺敗毒方，若某醫生從“三藥三方”中隨機選出2種，

則恰好選出1藥1方的方法種數為（）

A.15B.30C.6D.9

7.函數y=（e，-eT）sin|2x|的圖象可能是（）

8.已知雙曲線C：捺一看=1（。>02>0）的一個焦點為尸，點/1,8是C的一條漸

近線上關于原點對稱的兩點，以A3為直徑的圓過月且交C的左支于M,N兩點,

若|MN|=2,A4BF的面積為8,則C的漸近線方程為（）

A.y=±V3xB.y=±?xC.y=±2xD.y=±?

3N

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.已知函數/。）=|s）x||cosx],則下列說法正確的是（）

A.的圖象關于直線x=三對稱B.〃%）的周期為]

C.（兀,0）是fO）的一個對稱中心DJQ）在區間用品上單調遞增

10.如圖，正方體4BCD-&B1GD1的棱長為1，E,F

是線段aD1上的兩個動點，且EF=；,則下列結論

中正確的是（）

A.AC1BE

B.EF//nABCD

C.A4E尸的面積與ABEF的面積相等

D.三棱錐E-4BF的體積為定值

11.下列說法正確的是（）

A.將一組數據中的每個數據都乘以同一個非零常數“后，方差也變為原來的“倍

B.若四條線段的長度分別是1,3,5,7,從中任取3條，則這3條線段能夠成三

角形的概率為:

C.線性相關系數r越大，兩個變量的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱

第2頁，共19頁

D.設兩個獨立事件A和B都不發生的概率混,月發生且B不發生的概率與B發生

且A不發生的概率相同，則事件A發生的概率為:

12.已知a>0,m(x)=ex~2-e2~x,f(x)=a/n(x)-siarx,若/(x)存在唯一零點，

下列說法正確的有()

A.m(x)在R上遞增

B.m(x)圖象關于點(2,0)中心對稱

C.任取不相等的實數％1，孫eR均有皿小);(久2)<7n(且著)

D.

三、單空題(本大題共3小題，共15.0分)

13.在(x—2y+z)7的展開式中，所有形如xa*z2Qb€N)的項的系數之和是

14.已知|z+V^i|+|z-遮"=6，則復數z在復平面內所對應點P(x,y)的軌跡方程為

15.已知三棱錐S-ABC的三條側棱S4,SB,SC兩兩互相垂直且AC=g,4B=V5,

此三棱錐的外接球的表面積為14兀，則BC=.

四、多空題(本大題共1小題，共5.0分)

16.函數y=f(x),xe[l,+oo),數列｛每｝滿足0n=f(n),neN*,

①函數f(x)是增函數；

②數列也工是遞增數列.

寫出一個滿足①的函數/(X)的解析式

寫出一個滿足②但不滿足①的函數f(x)的解析式_(2)_.

五、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.在①(b+a—c)(b—a+c)=ac；(2)cos(A+B)=sin(4-B)；③tang^=sinC這

三個條件中任選兩個，補充在下面問題中.

問題：是否存在△力BC,它的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2也，

,?若三角形存在，求人的值；若不存在，說明理由.

=

18.設又為數列｛小｝的前〃項和，已知。2=3，an+i2an+1.

(1)證明｛廝+1｝為等比數列.

(2)判斷〃，an,Sn是否成等差數列？并說明理由.

19.中國探月工程自2004年立項以來，聚焦“自主創新、

重點跨越、支撐發展、引領未來”的目標，創造了許

多項中國首次2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回

器攜帶“月壤”著陸地球，又首次實現了我國地外天

體無人采樣返回.為了了解某中學高三學生對此新聞事

件的關注程度，從該校高三學生中隨機抽取了100名學生進行調查，調查樣本中有

40名女生.如圖是根據樣本的調查結果繪制的等高條形圖(陰影區域表示關注“嫦

娥五號”的部分).

關注沒關注合計

男

女

合計

附：

P(K2>fc0)0.1500.1000.0500.0100.005

k。2.0722.7063.8416.6357.879

吟…雷瑟珠向，其中…+b+c+d

(1)完成上面的2x2列聯表，并計算回答是否有95%的把握認為“對‘嫦娥五號'關注

程度與性別有關”？

(2)若將頻率視為概率，現從該中學高三的女生中隨機抽取3人.記被抽取的3名女

第4頁，共19頁

生中對“嫦娥五號”新聞關注的人數為隨機變量X,求X的分布列及數學期望.

20.如圖，A8是半圓。的直徑，C是半圓。上除4,8外的一個動點，OC垂直于半圓

。所在的平面，DC//EB,DC=EB=1,AB=4.

(1)證明：平面力DEI平面ACO；

(2)當C點為半圓的中點時，求二面角。一4E—B的余弦值.

21.設函數/(久)=axlnx,其中aeR,曲線y=/(乃在點(1/(1))處的切線經過點(3,2).

(I)求a的值；

(11)求函數/0)的極值；

(m)證明:/(x)

22.已知橢圓E：捺+看=l(a>b>1)的離心率e=4，其左、右頂點分別為點A,B,

且點A關于直線y=x對稱的點在直線y=3x-2±.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若點M在橢圓E上，點N在圓O：/+y2=爐上，且M,N都在第一象限,MNly

軸，若直線MA,MB與y軸的交點分別為C,D,判斷sin“ND是否為定值，若是

定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.

第6頁，共19頁

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：；y=ln(x-l),二x-l>0,二X>1,二4=(1,+8),

x2+2x+10=(x+I)2+9>9,

y=yJx2+2x4-10>3，-'-B=[3,+oo),CyB=(—<?,3),

??An(QB)=(1,3).

故選：C.

先求出集合A,B,再由全集U=R求出B的補集，最后求出A與8補集的交集即可.

此題考查了交、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義等基礎知識，考查運算求解能力,

是基礎題.

由已知求出P(X<90)=P(X>120)=0.2,進一步求出P(90<X<105)=；P(90<

X<120)=0.3,則答案可求.

【解答】

解：vP(X<90)=P(X>120)=0.2,

P(90<X<120)=1-0.4=0.6,

P(90<X<105)=|P(90<X<120)=0.3,

此次數學考試成績在90分到105分之間的人數約為1000x0.3=300.

故選：C.

3.【答案】C

【解析】解：由題意知，p=2,

由拋物線的定義知，\AB\=x1+x2+p=i+2=y.

故選：C.

拋物線的焦點弦長公式為|AB|=XI+X2+P，代入數據，運算即可.

本題考查拋物線的定義與幾何性質，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：已知%1，%2是一元二次方程a/+bx+c=0的兩個不同的實根Xi，x2>

則當'%>1且7>1”時，

整理得：“Xi+%2>2且X/X2>1”

當巧=0.99,x2=2,滿足：“乂1+x2>2且?x2>1"但是>1且不>1"不成

立，

a

故“尤1>1且％2>1”是x1+x2>23.x1-x2>r的充分不必要條件，

故選：A.

直接利用不等式的性質和充分條件和必要條件的應用求出結果.

本題考查的知識要點：不等式的性質，充分條件和必要條件，主要考查學生的運算能力

和轉換能力及思維能力，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：向量落方滿足|磯=|石|=2,a-(b-a)=-2,

可得：a-b=2,

\2a—b|-J4a2—4a-b+b-y/16—8+4-y/12-2\/3'

故選：B.

利用數量積化簡已知條件，然后通過向量的模的平方，轉化求解即可.

本題考查向量的應用，向量的模的求法，考查計算能力.

6.【答案】D

【解析】解：根據題意，某醫生從“三藥三方”中隨機選出2種，恰好選出1藥1方，

則1藥的取法有3種，1方的取法也有3種，

則恰好選出1藥1方的方法種數為3x3=9；

故選：D.

根據題意，分析“1藥”和“1方”的取法數目，由分步計數原理計算可得答案.

本題考查排列組合的應用，涉及分類計數原理的應用，屬于基礎題.

7.【答案】A

第8頁，共19頁

【解析】解：函數的定義域為R，f(-x)=(e-x-ex)sin|-2x\=~(ex-e-x)sin|2x|=

-/(x),為奇函數，故排除選項B,C；

又=(￡2-e-2)sinl>0,/(-)=0,且三是第一個大于0的零點，故排除選項D.

故選:A.

由函數的奇偶性可排除選項2C,由特殊點的函數值可排除選項D,進而得出正確答案.

本題考查利用函數性質確定函數圖象，考查數形結合思想，屬于基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：設雙曲線

的另一個焦點為P,由雙

曲線的對稱性，可得四

邊形4F8尸是矩形，

"S4ABF-S&ABF，

即be=8,

(x2+y2=c2

由I式，可得

則|MN|=?=2,即/?2=C,

:,b=2,c=4,

???a=Vc2—b2=2V3，

???c的漸近線方程為、=士卷,

故選：B.

設雙曲線的另一個焦點為尸由雙曲線的對稱性，可得四邊形AFBF'是矩形，可得S-BF=

S^ABF，即be=8,再根據|MN|=2,可得爐=c,即可求出

本題考查了雙曲線的簡單性質，三角形的面積，雙曲線的漸近線方程，屬于中檔題

9.【答案】AB

【解析】解：函數f(x)=\sinx||cosx|=|sinxcosx|=1|sm2x|,

畫出函數圖象，如圖所示;

所以/(%)的對稱軸是％kez；

所以X=3是/(X)圖象的對稱軸，A正確；

/(X)的最小正周期是B正確；

/(X)是偶函數，沒有對稱中心，C錯誤；

*6［彳審時,2久€碎,兀］,sin2x>0,

所以八%)=加比2幻是單調減函數，。錯誤.

故選：AB.

化簡函數/(x),根據函數的單調性與對稱性和周期性，判斷選項中的命題是否正確即可.

本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是基礎

題.

10.【答案】ABD

【解析】解：由正方體的結構特征可知，DD1_L平面ABCD,而4cu平面ABCD,則。/1

AC,

又ABC。為正方形，ACJLBD,

?:DrDCBD=D,且A。、BDu平面。。出8,AC1?平

面DD1&B,

vBEu平面叫AC1BE,故A正確；

?-?B[D["BD,BDu平面ABCD,8血《平面ABCD,

ABD/mABCD,而EF在8業1上，.??EF〃平面A8C￡),故B正確；

點8到EF的距離為正方體的棱長，A到EF的距離大于棱長，貝必4EF的面積與4BEF

的面積不相等，故C錯誤；

如圖所示，連接8。，交AC于。，則A。為三棱錐A-BEF的高，

=XX=,

SABEF=『EF=；x￡x10-BEF=：SABEF.A。|4TS

則k.F=%-BEF=笠為定值，故。正確.

故選：ABD.

第10頁，共19頁

證明線面垂直，可得線線垂直判斷A;由直線與平面平行的判定定理判斷B；由點A和

點B到EF的距離不相等，可得AAEF的面積與ABE尸的面積不相等，判斷C錯誤；連

接BD,交AC于0,則A0為三棱錐71-BEF的高，利用等體積法證明三棱錐E-4BF的

體積為定值判斷D.

本題考查立體幾何的綜合，涉及線面的位置關系、棱錐的體積公式等，考查空間想象能

力與推理論證能力，考查運算求解能力，是中檔題.

11.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識點較多，綜合性較強，難度不大，屬于基礎題.

A.根據數據的變化與方差的定義進行判斷，

民利用古典概型的概率公式進行判斷，

C.結核性相關性系數與相關性之間的關系進行判斷，

D根據獨立性概率公式建立方程組進行求解即可.

【解答】

解：4將一組數據中的每個數據都乘以同一個非零常數“后，方差變為原來的a2倍，故

4錯誤，

3.從中任取3條共有4種，若三段能構成三角形，則只有3,5,7,一種，則構成三角

形的概率是:，故3正確，

4

C.M-1,兩個變量的線性相關性越強，|r|-0,線性相關性越弱，故C錯誤，

D由題意知P(7)?P(B)=I，P。).P(B)=P⑷?P(5)，

設P(4)=x,P(B)=y,則=3,

1(1—x)y=x(l—y)

得｛；丁一丫+孫=；得/_2%+]=；,即Q_l)2=；,得x-l=[或x-l=

得X=；(舍)或X=j,即事件A發生的概率為;，故。正確.

故正確的是BD,

故選：BD.

12.【答案】ABD

【解析】解：m\x)=ex-2+e2T>0,則m(x)在R上遞增，故A正確,

x22x2xx2

m^+m(<4-x)=e--e-+e--e-=0,則m(x)圖象關于點(2,0)中心對

稱，故B正確，

m"(x)=ex-2-e2-x,當x>2時，mw(x)>0,即m'(x)為增函數,即m(x)圖象下凸,

此時m(Xi)+m(X2)

(臂)，故c錯誤,

若/(x)存在唯一零點，則a(e*-2-e2~xy)=sirnrx只有一個解，即g(x)=a(ex~2—e2~x)

與h(x)=simrx只有一，個交點，

g'(x)—a(ex~2+e2~x),h'(x)=ncosnx,由g(2)=/i(2)=0,

則g(x)、h(x)的圖象均關于點(2,0)中心文寸稱，在x=2的右側附近g(x)為下凸函數，h(x)

為上凸函數，

要%>2時，圖象無交點，當且僅當g'(2)2/i'(2)成立.

于是2a2兀，即a2成立，故。正確，

故選：ABD.

分別求函數的導數，研究函數的單調性和對稱性，以及圖象特點，然后進行判斷即可.

本題主要考查與導數有關的命題的真假判斷，求函數的導數研究函數的單調性和對稱性,

考查學生的運算推理能力，是個難題.

13.【答案】-21

【解析】解：因為(x-2y+z)7=[(%-2y)+z]7,

所以展開式中含z2的項為廢(久-2y)5z2,

令x=y=z=1,則所求系數之和為C>(1—2)5-I2=-21,

故答案為：—21.

因為(x-2y+z)7=[(x-2y)+z]7,然后求出展開式的含z2的項，再令x=y=i,即

可求解.

本題考查了二項式定理的應用，涉及到賦值法的應用，考查了學生的運算轉化能力，屬

于基礎題.

14.【答案】《+[=1

94

【解析】解：?.?復數Z在復平面內所對應點p(x,y),

又|z+V5i|+|z—V5i|=6，

第12頁，共19頁

2

???J尤2+(y+而)2+Jx2+(y-V5)=6，

即點P(x,y)到點4(0,一遮)，和B(O,-V虧)的距離之和為:6,且兩定點的距離為：2?。?,

故點P的運動軌跡是以點A8為焦點的橢圓，且2a=6,2c=2通，

故b=Va2—c2=2，

??.復數Z在復平面內所對應點P(X,y)的軌跡方程為：4+9=1，

94

故答案為：[+1=1.

直接利用復數的幾何意義以及橢圓的定義即可求解結論.

本題考查點的軌跡方程的求法，并涉及到復數的運算，屬于基礎題.

15.【答案】JlO

【解析】解：由題意三棱錐S-ABC的三條側棱SA,SB,SC兩兩

互相垂直可知，三棱錐S-ABC是長方體的一個角，z

如圖：設SA=x,SB=y,SC=z,

S'"----------A

x

由題意可得：x2+z2=13,x2+y2=5,y2+z2=BC2,

三棱錐的外接球的表面積為14兀，三棱錐擴展為長方體，長方體的對角線的長度，就是

外接球的直徑2R,

所以2R=y/x2+y2+z2,4nR2=14兀，

可得/+y2+z2=14,

解得x=2,y=1,z=3,

所以BC=y]y2+z2=V10-

故答案為：VTO.

畫出圖形，利用已知條件，列出方程組，轉化求解即可.

本題考查空間幾何體的外接球的表面積的求法與應用，判斷幾何體的形狀，是解題的關

鍵，是中檔題.

16.【答案】/(x)=x2

4

/Q)=(%--)2

【解析】解：由題意，可知：

在xe[l,+8)這個區間上是增函數的函數有許多，可寫為：/(x)=x2.

第二個填空是找一個數列是遞增數列，而對應的函數不是增函數，可寫為：/(X)=(X-

乎

則這個函數在［1(］上單調遞減，在歲+8)上單調遞增，

???/(X)=0-()2在［1,+8)上不是增函數，不滿足①.

而對應的數列為：%,=(。一)2在neN*上越來越大，屬遞增數列.

故答案為：/(x)=%2;/(x)=(x-?)2.

本題第一個填空很簡單，可用到常用的函數f(x)=x2；第二個填空要考慮到函數和對

應的數列增減性不同去思考.

本題主要考查對常用函數的增減性的熟悉以及函數和數列對應的增減性的一點區別，本

題屬中檔題.

17.【答案】解：①,??(b+a-c)(b-0+c)=ac,即墳一(a-c7=QC,

???a2+c2—b2=ac,

由余弦定理知，cosB=a~b=~=~^

2ac2ac2

??.B6(0,7T),???B=

③■:tan^|^=sinC,

c

.71—C.「HnC0S2c.CC

tan——=sinC,即一|=2sin-cos

2sin-22

VCG(0,TT),.%COS1>0,A2stn21=l,即C=《

選擇①②：由上知B=￡,

vcos(i4+8)=sin(i4-8),

???^cosA-ysinA=^sinA-ycosA,即(1+翼)cosA=(1+\f3)sinA,

**tCLTiA—1,

AE(0,TT),4=〔，sinA=孝，

由正弦定理知，意=焉,

A=逅，??.b=2V3.

22

選擇①③：B書，C=以

va=2>/2???.b=2遍.

第14頁，共19頁

選擇②③：由上知C=￡,

vcos(i4+B)=sin(i4—B)=COS(TT—C)=—cosC=0,

???4-B=0,即4=B=今，

:?b=a=2V2-

【解析】①根據平方差公式將其進行化簡，并結合余弦定理，可得8=全

③結合同角三角函數的平方關系、二倍角公式，可得。=看

選擇①②：結合B=g與兩角和差公式化簡條件②，推出tarM=l,再由正弦定理，得

解；

選擇①③：根據特殊直角三角形的邊長比例關系，得解；

選擇②③：結合c=5三角形的內角和定理與誘導公式，推出a=B=W，從而得解.

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理、余弦定理、二倍角公式與兩角和差公式是解題

的關鍵，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：a2=3,an+1=2an+l,可得的=1,

即有冊+i+1=2(an+1),

則｛an+1｝為首項為2,公比為2的等比數列；

(2)由(1)可得冊+1=2”,即有廝=2n-l,

S="I)-n=2n+1—2—n,

n1-2

由n+S”-2即=n+2n+1-2-n-2(2n-1)=0,

可得小an,S。成等差數列.

【解析】本題考查等比數列的判定，等差數列的中項性質，考查化簡運算能力，屬于中

檔題.

(1)由題意，結合等比數列的定義，即可得證；

(2)由等比數列的通項公式和求和公式，結合等差數列的中項性質，可得結論.

19.【答案】解：(1)2x2列聯表如下：

關注沒關注合計

男303060

女122840

合計4258100

所以長2="(ad-bc)Z=l°Qx(30*28-12x30)'=照憶3941>3841

-(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)-42x58x40x60-203~'

所以有95%的把握認為“對‘嫦娥五號'關注程度與性別有關”；

(2)因為隨機選一個高三的女生，對此事關注的概率為P=篙=卷

又因為X?B(3,卷)，所以隨機變量X的分布列為:

X0123

34344118927

P

1000100010001000

故E(X)=np=^.

【解析】(1)由等高條形圖中的數據填寫列聯表，再由公式計算好的值，然后判斷即可；

(2)計算出女生中關注此新聞的概率，再由二項分布的性質求出分布列以及數學期望即

可.

本題考查了離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量期望的求解與應用，二項分布

的性質的運用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

20.【答案】(1)證明：???48是圓。的直徑，二4。18(7,

*

vDC，平面ABC,BCu平面ABC,

???DC1.BC,又。CnAC=C,

二BC,平面ACC,/r

???DC//EB,DC=EB,'、

???四邊形QCBE是平行四邊形，.?.CE//BC,

???DE_L平面ACD,xy

又DEu平面ADE,

???平面4CD1平面ADE.

(2)當C點為半圓的中點時，AC=BC=2<2,

以C為原點，以C4,CB,CQ為坐標軸建立空間坐標系如圖所示：

則。(0,0,1),E(0,2A/2,1).4(2&,0),5(0,272,0),

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.-.AB=(-2V2,2V2,0),=(0,0,1),=(0,2V2,0),=(272,0，-1)，

設平面DAE的法向量為沆=(Xi.yi.Zi),平面ABE的法向量為元=(x2,y2>Z2)>

皿"沆.麗=0[n-AB=0pnf2V2x1-z1=0(-2^2x2+2\[2y2=0

川(沆?尻=0,(諾?前=0,或%=0'lz2=0'

令X]=1得記=(10,2-y2),令句=1得元=(L1,0).

,—>—、mn1V2

??.cos<磯兀>=而而=赤=".

?.?二面角。一4E-8是鈍二面角，

???二面角D-AE-B的余弦值為一號.

6

【解析】(1)由BC1AC,BC1CDnBC_L平面ACQ,證明四邊形QCBE是平行四邊形

得DE//BC,故而DE//平面AC￡>,于是平面4DEJ■平面AC￡>；

(2)建立空間坐標系，求出兩半平面的法向量，計算法向量的夾角得出二面角的大小.

本題考查了面面垂直的判定，空間向量與二面角的計算，屬于中檔題.

21.【答案】解：(/)/,(x)=alnx+a,

則f(l)=0,f(l)=a,

故取消y=f(x)在(Lf(l))處的切線方程y=a(x-I),

把點(3,2)代入切線方程可得，a=1,

(〃)由⑺可得尸(x)=伍％+1,x>0,

易得，當0<x<｝時，f(x)<0,函數單調遞減，當x>2時，f(x)>0,函數單調遞

增，

故當x=?時，函數取得極小值/?)=一%沒有極大值，

證明：(/〃)〃>)>宏