全等三角形及其輔助線作法常見輔助線的作法有以下幾種：遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉〞〔或構造平行線的*型全等〕．遇到角平分線，一是可以自角平分線上的*一點向角的兩邊作垂線，二是在角的兩邊上截取一樣的線段，構成全等。利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折〞，也是運用了角的對稱性。截長法與補短法，具體做法是在較長線段上截取一條線段與特定線段相等，使剩下的線段與另一條線段相等；或者是將兩條較短線段中的一條延長，使這兩條線段的和等于較長的線段。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等題目．遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一〞的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折〞．也可以將兩腰分拆到兩個三角形中，證明這兩個三角形全等。特殊的應用有等邊三角形與等腰直角三角形。此外，還有旋轉、折疊等情況。(一)、中點線段倍長問題〔中線倍長或者倍長中線〕：1、〔“希望杯〞試題〕，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值圍是_________.2、如圖△ABC中，點D是BC邊中點，過點D作直線交AB、CA延長線于點E、F。當AE=AF時，求證BE=CF。AABCDEF3、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比擬BE+CF與EF的大小.4、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.5如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，∠BAC=∠DAE=90°。求證：AM⊥DC。DDMCDEDADBD應用：1、以△ABC以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE-90°，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關系及數量關系．〔1〕如圖①當△ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是，線段AM與DE的數量關系是；〔2〕將圖①中的等腰Rt△ABD繞點A沿逆時針方向旋轉θ°(0<θ<90)后，如圖②所示，〔1〕問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由．〔二〕角平分線與軸對稱1、如圖，AD為△ABC的角平分線，∠C=2∠B，求證:AB=AC+CD.BBCDA如圖，直線l1∥l2，直線m與直線l1、l2交于A、B兩點。AE、BE為其同旁角平分線，過E點作直線與l1、l2交于D、C兩點，求證AD+BC=AB。ll1l2ABCDEm12ACDB12ACDBBDCA4、如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠BDCA5、〔1〕如圖①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°,CD平分∠ACB，點E為AB上一點，且CE=BE，PE⊥AB交CD的延長線于P，求∠PAC+∠PBC的度數。〔2〕如圖②，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠60°,CD平分∠ACB,點E為AB上一點，且CE=BE,PE⊥AB交CD的延長線于P。〔1〕中結論是否成立，說明理由。ABABCDEPABCDEPABABCDE1、如圖，AB∥CD,BE,CE分別平分∠ABC,∠DCB,求證：AB+CD=BCABCDEF2、如圖，Rt△ABCDEFDDAECB3．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。4.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180oDCBA5.：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA6.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線，DMMBDCAABCEOFy*7、如圖，直線AB交*軸于A(m,o)，交y軸于B〔o,n〕,其中m,n滿足m2+4m+4+=0.C為B點關于*軸的對稱點，當直線OF的解析式y=k*，當k的值發生改變時〔但始終保持k＜0〕。過C點作CE∥ABCEOFy*〔四〕等腰直角三角形，等邊三角形ABDEC圖ABDEC圖*ADEPO*ADEPOy②*y*yFGHO③ABCOy*①(2)如圖②，P為y軸負半軸上一個動點，當P點向y軸負半軸向下運動時，假設以P點為頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D點作DE⊥*軸于E點，求OP-DE的值。〔3〕如圖③，點F坐標為(-4，-4)，當G在y軸的負半軸上沿負方向運動時，作Rt△FGH，始終保持∠GFH=90°，FG與y軸負半軸交于點G(o,m),FH與*軸正半軸交于點H(n,o)，當G點在y軸負半軸沿負方向運動時，求m+n的值。3、如圖，△ABC中，AB=AC,∠A=90°,點D為BC邊的中點，E、F分別在AB、BC上，且ED⊥FD，EG⊥BC于G點，FH⊥BC于H點，以下結論：①DE=DF②AE+AF=AB③S四邊形AEDF=S△ABC.④EG+FG=BC,其中結論正確的選項是〔〕A、只有②③.B、只有①④.C、只有①②③.D、只有①②③④.AABCDEFGHABCDOy*4、如圖，在ABCDOy*ABCDEFGH5、如圖，G為線段AB上一點，AC⊥AB,BD⊥AB,GE⊥AB,且AC=BG，BD=AG,GE=AB.假設∠ABCDEFGH〔五〕旋轉、折疊1、〔倍角與半角問題〕〔1〕如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,點D、E在斜邊AB上，且∠DCE=45°，求證AD+BE＞DE.AABCDE〔2〕如圖，假設將Rt△ABC改為等邊三角形，∠DCE=30°,其它條件不變，上述結論成立嗎？試證明。AABCDE2、如圖,RT△CDA≌RT△CDB,①、假設∠ACD=30°，∠MDN=45°,當∠MDN繞點D旋轉時，AM、MN、BN三條線段之間的關系式為＿＿＿＿＿＿②、假設∠ACD=45°，∠MDN=45°,AM、MN、BN三條線段之間的數量關系式為：＿＿＿＿＿＿③、由①②猜測：在上述條件下，當∠ACD與∠MDN滿足什么條件時，上述關系式成立，證明你的結論。ABCABCDMN③BDACMN②BACDMN①3、如圖①，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊AB、CD上)，使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P，連接EP．(1)如圖②，假設M為AD邊的中點，①,△AEM的周長=_____cm；②求證：EP=AE+DP；(2)隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置(點M不與A、D重合)，△PDM的周長是否發生變化"請說明理由．三點A(a,b)、B(3,1)、C(6,0)，其中a,b滿足(a-2)2=-.〔1〕求A的坐標。〔2〕點P為*軸上一動點，當△OAP與△CBP的周長和取得最小值時，求P點坐標；〔3〕點P為*軸上一動點，當∠APB=20°時，求∠OAP+∠PBC的度數。yyOBC*△ABC中，∠BAC=45°,以AB,AC為邊在△ABC外作等腰△ABD和△ACE，AB=AD，AC=AE，且∠BAD=∠CAE，連接CD,BE并交于F點，連接AF。ABCDEF如圖①，假設∠BAD=60°，則∠AFE=＿＿＿＿，如圖②，假設∠BAD=90°,則∠AFE=＿＿＿