2022-2023學年江西省南昌市高二下學期期末考試數學試題一、單選題1．已知集合，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據集合的運算結果建立不等式求解.【詳解】由知，，即，解得，故選：B2．已知，為實數，則使得“”成立的一個充分不必要條件為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據“充分必要條件”的定義逐項分析.【詳解】對于A，如果，例如，則，不能推出，如果，則必定有，既不是充分條件也不是必要條件，錯誤；對于B，如果，根據對數函數的單調性可知，但不能推出，例如，不是充分條件，如果，則，是必要條件，即是的必要不充分條件，錯誤；對于C，如果，因為是單調遞增的函數，所以，不能推出，例如，如果，則必有，是必要不充分條件，錯誤；對于D，如果，則必有，是充分條件，如果，例如，則不能推出，所以是充分不必有條件，正確.故選：D.3．下列函數中為偶函數,且在上單調遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據奇偶性定義判斷各函數奇偶性，結合指對數函數性質判斷單調性.【詳解】定義域為R且既不是偶函數又不是奇函數，A不滿足條件；定義域為且是偶函數，在區間內單調遞增，B不滿足條件；定義域為R且是奇函數，C不滿足條件；定義域為R且為偶函數且在上遞減，D滿足條件.故選：D4．函數的圖象如圖所示，則（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【分析】由圖象分析函數奇偶性，特殊位置，及函數定義域即可.【詳解】由圖象觀察可得函數圖象關于軸對稱，即函數為偶函數，所以得：，故C錯誤；由圖象可知，故D錯誤；因為定義域不連續，所以有兩個根可得，即異號，，即B錯誤，A正確.故選：A5．已知函數，若（其中），則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對數的運算法則以及基本不等式求解.【詳解】，由，，即，，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為.故選：.6．我們比較熟悉的網絡新詞，有“yyds”、“內卷”、“躺平”等，定義方程的實數根x叫做函數的“躺平點”．若函數，，的“躺平點”分別為a，b，c，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據“躺平點”新定義，可解得,，利用零點存在定理可得,即可得出結論.【詳解】根據“躺平點”定義可得，又；所以，解得；同理，即；令，則，即為上的單調遞增函數，又，所以在有唯一零點，即；易知，即，解得；因此可得.故選：B7．已知函數的定義域為，滿足為奇函數且，當時，，則（

）A． B． C．0 D．10【答案】D【分析】根據題意推得，得到函數的周期為，利用函數的周期性和對稱，結合，代入即可求解.【詳解】由為奇函數，可得函數的對稱中心為，即又由，則的對稱軸為，即，所以，即，又由，所以，即函數的周期為，則.故選：D.8．已知函數，．若，，使得成立，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意，將問題轉化為的值域是的值域的子集，然后分與討論，即可得到結果.【詳解】設函數在上的值域為，函數在上的值域為，因為若，，使得成立，所以，因為，，所以在上的值域為，因為，當時，在上單調遞減，所以在上的值域為，因為，所以，解得，又，所以此時不符合題意，當時，圖像是將下方的圖像翻折到軸上方，令得，即，①當時，即時，在，上單調遞減，，，所以的值域，又，所以，解得，②當時，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，，或，所以的值域或，又，所以或，當時，解得或，又，所以，當時，解得或，又，所以，所以的取值范圍．③當時，時，在上單調遞增，所以，，所以在上的值域，又，所以，解得，綜上所述，的取值范圍為.故選：C二、多選題9．德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，是解析數論的創始人之一，以其命名的函數，稱為狄利克雷函數，則關于下列說法正確的是（

）A．的值城為 B．，.C．為偶函數 D．為周期函數【答案】BCD【分析】根據函數，可判斷其值域，判斷A；討論x為有理數或無理數，求得，判斷B;根據奇偶性定義可判斷C；根據周期函數定義判斷D.【詳解】由題意函數，則其值域為，A錯誤；當x為有理數時，，則，當x為無理數時，，則，故，，B正確；當x為有理數時，為有理數，則，當x為無理數時，為無理數，則，故為偶函數，C正確；對于任何一個非零有理數,若x為有理數，則也為有理數，則，若x為無理數，則也為無理數，則，即任何一個非零有理數都是函數的周期，即為周期函數，D正確，故選：10．已知，為正實數，且，則（

）A．的最大值為2 B．的最小值為4C．的最小值為3 D．的最小值為【答案】ABD【分析】對條件進行變形，利用不等式的基本性質對選項一一分析即可.【詳解】解：因為，當且僅當時取等號，解得，即，故的最大值為2，A正確；由得，所以，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值4，B正確；，當且僅當，即時取等號，C錯誤；，當且僅當時取等號，此時取得最小值，D正確．故選：ABD．11．已知冪函數，m，n互質），下列關于的結論正確的是（

）A．當m，n都是奇數時，冪函數是奇函數B．當m是偶數，n是奇數時，冪函數是偶函數C．當m是奇數，n是偶數時，冪函數是偶函數D．當時，冪函數在上是減函數【答案】AB【分析】對每一個選項，利用冪函數的奇偶性或單調性逐一分析判斷得解.【詳解】，當m，n都是奇數時，冪函數是奇函數，故A中的結論正確；當m是偶數，n是奇數時，冪函數是偶函數，故B中的結論正確；當m是奇數，n是偶數時，冪函數在時無意義；故C中的結論錯誤；當時，冪函數在上是增函數，故D中的結論錯誤．故選AB．【點睛】本題主要考查冪函數的奇偶性和單調性，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12．已知函數，若有四個不同的解且，則可能的取值為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】作出分段函數的圖象，數形結合確定以及，進而可得，構造函數結合函數的單調性即可得解.【詳解】當時，，當時，，當時，，作出函數的圖象如下，

則由圖象可知，的圖象與有4個交點，分別為，因為有四個不同的解且，所以，且，且，，又因為所以即，所以，所以，且，構造函數，因為函數在上都是減函數，所以函數在上單調遞減，所以，即，所以.故選：BC.【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.三、填空題13．化簡：．【答案】【分析】利用對數的運算性質即可化簡求值.【詳解】．故答案為：14．已知函數（，）恒過定點，則函數的圖像不經過第象限.【答案】二【分析】由指數函數的性質可知恒過定點，再由指數函數的性質可知不過第二象限.【詳解】由已知條件得當時，，則函數恒過點，即，此時，由于由向下平移五個單位得到，且過點，由此可知不過第二象限，故答案為：二.15．定義在上的函數滿足是偶函數，且，若，則【答案】/【分析】由已知結合函數的奇偶性及對稱性可求出函數的周期，然后結合周期，利用賦值法即可求得結果.【詳解】因為是偶函數，所以，因為，所以，所以，所以，所以的周期為6，因為，，所以，所以，所以，所以，故答案為：16．對于三次函數，給出定義：設是的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為曲線的“拐點”，可以發現，任何一個三次函數都有“拐點”.設函數，則.【答案】－3033【分析】由題意對已知函數進行二次求導，證明函數關于點中心對稱，即，由此可得到結果.【詳解】因為，所以，設，則，令，可得，又，所以，即，所以，所以.故答案為：.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.四、解答題17．國家質量監督檢驗檢疫局發布的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》新的國家標準中規定，車輛駕駛人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車，經過反復試驗，喝一瓶啤酒后酒精在人體血液內的變化規律“散點圖”如下：

該函數模型.根據上述條件，回答以下問題：(1)前幾日，一同學在2023屆高考中考出726分的好成績，周老師聽聞后激動的喝下一瓶啤酒.按照試驗結果，試計算周老師喝1瓶啤酒后多少小時血液中的酒精含量達到最大值？最大值是多少？(2)中午12點周老師喝完1瓶啤酒后，突然想起來已經跟兒子多多約定好，下午放學6點半準時開車去接他回家，試計算周老師在喝完這1瓶啤酒后多少小時才可以駕車？他能完成跟多多之間的約定嗎？（時間以整小時計）（參考數據：）【答案】(1)喝一瓶啤酒后1.5小時血液中的酒精達到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；(2)喝一瓶啤酒后6小時才可以駕車，所以周老師來得及接多多放學.【分析】（1）由散點圖可知在的范圍內能取到最大值，利用正弦函數的性質求出最值即可；（2）根據題意列出不等式求解即可.【詳解】（1）由圖可知，當函數取得最大值時，.此時，當時，即時，函數取得最大值為，故喝一瓶啤酒后1.5小時血液中的酒精達到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，（2）由題意知當車輛駕駛人員血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以駕車，此時，由，得，兩邊取自然對數得，即，∴，故喝一瓶啤酒后6小時才可以駕車.能夠完成約定.18．如圖，平面ABCD是圓柱OO?的軸截面，EF是圓柱的母線，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．

(1)求證：GH∥平面ABCD；(2)求平面ABF與平面CDE夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質定理可得，最后由線面平行的判定定理證明平面即可；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，求出平面、平面的一個法向量，再利用向量的夾角公式可得答案．【詳解】（1）由題意知，平面平面，所以平面，因為，所以平面平面，因為平面，所以，又平面，平面，所以平面；（2）以點為原點建立如圖所示空間直角坐標系，

在中，由，得，所以，所以，設平面的一個法向量為，則由，得，令，得，設平面的一個法向量為，則由，得，令，得，所以，所以平面與平面的夾角的正弦值為.19．在等比數列中，，且，，成等差數列．(1)求的通項公式；(2)設，數列的前n項和為，求滿足的k的值．【答案】(1)；(2)40或37．【分析】（1）利用等比數列的通項公式，結合等差中項的意義求出公比及首項作答.（2）由（1）的結論求出，再分奇偶求和作答.【詳解】（1）設的公比為q，由，得，解得，由，，成等差數列，得，即，解得，所以數列的通項公式是．（2）由（1）知，，，當k為偶數時，，令，得；當k為奇數時，，令，得，所以或37.20．學習強國APP從2021年起，開設了一個“四人賽”的答題模塊，規則如下：用戶進入“四人賽”后共需答題兩局，每局開局時，系統會自動匹配3人與用戶一起答題，每局答題結束時，根據答題情況四人分獲第一?二?三?四名.首局中的第一名積3分，第二?三名均積2分，第四名積1分；第二局中的第一名積2分，其余名次均積1分，兩局的得分之和為用戶在“四人賽”中的總得分.假設用戶在首局獲得第一?二?三?四名的可能性相同；若首局獲第一名，則第二局獲第一名的概率為，若首局沒獲第一名，則第二局獲第一名的概率為.(1)設用戶首局的得分為，求的分布列；(2)求用戶在“四人賽”中的總得分的期望值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）按照求離散型隨機變量分布列的步驟求解即可（2）方法一，直接按照求離散型隨機變量分布列的步驟求解即可；方法二，總得分是第一局和第二局得分之和，所以總得分的期望是第一局得分期望和第二局得分期望之和【詳解】（1）的所有可能取值為，，，，，其分布列為（2）方法一：設總得分為，則的取值為，，，，則，，的分布列為Y5432P所以.方法二：.設第二局得分為，則的取值為，.則有，化簡得Y的分布列為，四人賽總分期望為21．已知離心率為的橢圓C：過點，橢圓上有四個動點，與交于點.如圖所示.

(1)求曲線C的方程；(2)當恰好分別為橢圓的上頂點和右頂點時，試探究：直線與的斜率之積是否為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請說明理由；(3)若點的坐標為，求直線的斜率.【答案】(1)(2)是定值，定值為(3)【分析】（1）根據離心率以及橢圓經過的點即可聯立方程求解，（2）聯立直線與橢圓方程得韋達定理，進而根據斜率公式化簡即可求解，（3）根據向量共線滿足的坐標運算，代入橢圓方程中，即可化簡求解.【詳解】（1）由題意可知，所以曲線C方程為（2）由題意知，，，所以，，所以，設直線CD的方程為，設，，聯立直線CD與橢圓的方程，整理得，由，解得，且，則，，所以，故直線AD與BC的斜率之積是定值，且定值為.（3）設，，，記（），得，所以.又A，D均在橢圓上，所以，化簡得，因為，所以，同理可得，即直線AB：，所以AB的斜率為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5