第七章空間圖形

在平面幾何里，我們研究過一些平面圖形（由同一個平面內的點、線所構成的圖形）的形狀、大小和位置關系，還有平面圖形的畫法和計算以及它們的應用.可是，在解決實際問題中，只知道在這些幾何知識還是不夠用的，例如，建造廠房、制造機器、修筑堤壩等，都需要進一步研究空間圖形.第一節平面及其基本性質第二節線面間的位置關系第三節多面體第四節旋轉體第一節平面及其基本性質一、空間概念

空間圖形是由空間的點、線、面所構成，這些圖形上的點不完全在同一個平面內，例如桌子、書、粉筆、螺母等物體，以及我們所熟悉的長方體、圓柱、圓錐等幾何圖形，這些都屬于空間圖形，平面圖形是空間圖形的一部分.

從集合的觀點看，空間圖形是滿足某種條件的空間點的集合.

平面是最常見最基本的空間圖形，桌面、黑板面、平靜的水面以及窗玻璃，都給我們以平面的形象，幾何里所講的平面就是從這樣的一些物體抽象出來的，幾何里的平面是無限延展的，它沒有厚度.二、平面的表示法圖7-1平面的畫法及表示(a)(b)(c)(d)

畫直立的平面時，可以把平面畫成矩形或平行四邊形，使它的豎邊和水平平面的橫邊垂直，被平面遮住的線段畫成虛線或不畫，如圖7-1所示.詳細的作圖方法，后面還要介紹.三、平面的基本性質

在生產與生活中，人們經過長期的觀察與實踐，總結出關于平面的三個基本性質，我們把它們當作公理，作為進一步推理的基礎.公理3

不共線的三點確定一個平面，如圖7-4所示.

圖7-2公理1的圖形圖7-3公理2的圖形圖7-4公理3的圖形“確定”二字的含義是指，經過不在一條直線上的任意三點，可以作一個平面，并且只可以作一個平面.根據上述公理，可以得出以下推論：推論1一條直線和這條直線外一點確定一個平面（圖7-5）；推論2兩條相交直線確定一個平面（圖7-6）；推論3兩條平行直線確定一個平面（圖7-7）；圖7-7推論3的圖形圖7-5推論1的圖形圖7-6推論2的圖形

例1

證明兩兩相交且不過同一點的三條直線共面（即在同一平面內）.圖7-8例1圖形證明四、平面圖形直觀圖的畫法

我們知道，在水平平面內畫矩形不是畫它的真實形狀（簡稱真像），而是畫成平行四邊形，這個平行四邊形通常叫做矩形的直觀圖.一般地，我們把平面圖形（或空間圖形）在水平平面內所畫成的圖形叫做該圖形的直觀圖.下面舉例說明平面圖形的直觀圖的畫法.圖7-9例2圖形圖7-10例3圖形圖7-11例4圖形

歸納上面的例子可以知道，在水平平面內畫平面圖形的直觀圖一般可遵循下面的規則：(1)選擇已知圖形的水平方向線段（或作輔助的水平線段）；(2)凡水平方向的線段仍畫成水平方向，其長度不變（即實長）；思考題：課堂練習題：1.背熟3個公理及公理3的三個推論.2.能否說一個平面長4米、寬2米.判斷：習題答案(單擊左鍵顯示答案)第二節線面間的位置關系一、直線和直線的位置關系

我們已經知道，在同一平面內的兩條不重合直線的位置關系只有兩種：平行或相交.圖7-12平行六面體

（1）相交直線在同一平面內，有且只有一個公共點；（2）平行直線在同一平面內，沒有公共點；（3）異面直線不同在任何一個平面內，沒有公共點.[！注意兩條異面直線的畫法，參看圖7-13（a）].1.空間直線的平行關系

定理1

不在同一平面內的三條直線，如果其中兩條直線都平行于第三直線，那么這兩條直線也互相平行.

定理2

不在同一平面內的兩個角，如果其中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等.(a)異面直線的畫法（b）兩條異面直線所成的角圖7-13異面直線2.兩條異面直線所成的角

定義經過空間任一點分別作兩條異面直線的平行線，這兩條直線所成的銳角（或直角），稱為兩條異面直線所成的角[圖7-13（b）].

當兩條異面直線所成的角是直角時，就稱這兩條異面直線互相垂直.

反映兩異面直線位置關系除了角度，還有距離，和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線（可以證明它是存在的且是惟一的）.公垂線在兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線間的距離。證明圖7-14例1圖形圖7-15例2圖形二、直線與平面位置關系

一條直線和一個平面的位置關系有且僅有以下三種，如圖7-16所示.圖7-16直線與平面的位置關系（1）直線在平面內—有無數個公共點；（2）直線和平面相交—有且只有一個公共點；（3）直線和平面平行—沒有公共點.1.直線和平面平行的判定和性質直線和平面平行，除可以根據定義判定外，還有以下的定理.

直線和平面平行的判定定理如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.

直線和平面平行的性質定理如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和已知平面相交,那么這條直線就和交線平行.2.直線和平面垂直的判定和性質

直線和平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面.圖7-21直線和平面垂直判定定理示意圖

直線和平面垂直的性質定理如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行.圖7-22直線和平面垂直性質證明示意圖

從平面外一點引一條平面的垂線,這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.

如果一條直線和一個平面平行,那么這條直線上每一點到平面的距離相等.圖7-23例5圖形3.直線和平面斜交自平面外一點向平面引垂線,垂足叫做這點在這個平面上的射影,這個點與垂足之間的線段叫做這點到這個平面的垂線段.

一條直線和一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點叫做斜足,斜線上一點與斜足間的線段叫做這點到這個平面的斜線段.

過斜線上的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影，斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上.根據直角三角形性質，我們容易得到：定理從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：(1)若射影相等，則斜線段也相等，若射影不等，則射影較長的斜線段也較長.(2)若斜線段相等，則射影也相等，若斜線段不等，則斜線段較長的射影也較長.(3)垂線段比任何一條斜線段都短.

可以證明，斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角.圖7-25例6圖形5.三垂線定理

三垂線定理在平面內的一條直線,如果和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.圖7-26三垂線定理的圖形

三垂線定理的逆定理在平面內的一條直線,如果和這個平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線的射影垂直.

例7如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等,那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上.圖7-28例8圖形三、平面和平面的位置關系兩個平面的位置關系只有：（不含重合平面）（1）兩平面平行——沒有公共點；（2）兩平面相交——有一條公共直線.判定兩個平面平行，除根據定義之外，還有下面的定理.

兩個平面平行的判定定理如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.圖7-29兩平面平行的判定定理證明示意圖

推論1

如果一個平面內的兩條相交直線分別和另一個平面內的兩條相交直線平行，那么這兩個平面平行.

推論2

垂直于同一條直線的兩個平面平行.

兩個平面平行的性質定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.

顯然，兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面；一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面.圖7-30兩上平面平行性質證明示意圖

和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段.

容易證明，兩個平行平面的公垂線段都相等.如圖7-31所示.我們把公垂線段的長度叫做兩個平行平面間的距離.圖7-31兩平行平面的公垂線圖7-32例9圖形四、二面角

修筑堤壩時，為了使堤壩堅固耐用，必須使壩的側面與水面成適當的角度；發射人造衛星時，也要根據需要，使衛星軌道平面與地球赤道平面成一定角度，因此生產和科學技術的發展要求我們研究兩平面所成的角.

一個平面內的一條直線把這個平面分成兩部分，每一部分叫做半平面.

定義從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫二面角，這條直線叫做二面角的棱，構成二面角的兩個半平面叫做二面角的面.1.二面角的平面角

定義在二面角的棱上取任一點，從這個點起，分別在二面角的兩個半平面內作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.圖7-33兩面角示意圖圖7-34例10圖形圖7-35例11圖形2.平面和平面垂直的判定和性質兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面相互垂直.

兩個平面垂直的判定定理如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.圖7-36兩個平面垂直判定理證明示意圖

兩個平面垂直的性質定理如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.圖7-37兩個平面垂直性質證明示意圖圖7-38例12圖形圖7-39例13圖形

推論1

如果兩個平面互相垂直，那么經過其中一個平面內的一點垂直于另一個平面的直線，必在前一個平面內.

推論2

如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線必垂直于第三個平面.習題1.判斷題.思考題：課堂練習題：(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線.()(2)空間中平行于同一直線的兩條直線互相平行.()(3)兩條互相垂直的直線一定共面.()1.用三種方法畫異面直線圖形.2.判斷題：(1)平行于同一平面的兩條直線一定互相平行.()(2)過平面外一點作平面的平行線，能且只能作一條.()(3)一條直線垂直平面內的兩條直線，這直線和該平面垂直.()（單擊左鍵顯示答案）答案（單擊左鍵顯示答案）(4)平面內垂直于斜線的直線，就垂直于斜線在這個平面內的射影.()(5)分別在兩個平行平面內的直線互相平行.()(6)如果一個平面內兩條直線同時平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行.()(7)垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.()第三節多面體

本節將介紹特殊的多面體：棱柱、棱錐、棱臺及相關計算.

由幾個多邊形圍成的封閉的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面.兩上相鄰面的交線叫做多面體的棱.棱和棱的交點叫做多面體的頂點.不在同一個面內的兩個頂點的連線叫做多面體的對角線.多面體至少具有四個面，若按多面體的面數分類，則有四面體、五面體、六面體、七面體等.一、棱柱

1.棱柱的概念和性質有兩個面互相平行，其余每相鄰的兩個面的交線都互相平行的多面體，稱為棱柱.

互相平行的兩個面，稱為棱柱的底面，其余各面稱為棱柱的側面，兩個相鄰側面的交線稱為棱柱的側棱.兩個底面間的距離稱為棱柱的高，經過不在同一側面內的任意兩條側棱的截面叫做棱柱的對角截面.

側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.

棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…,我們把這些棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…根據棱柱的定義，容易得到棱柱的以下性質.(1)側棱都相等，側面都是平行四邊形；(2)兩個底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形；(3)對角截面是平行四邊形.

在棱柱中，底面為平行四邊形的棱柱稱為平行六面體，它的上、下底面及四個側面均為平行四邊形.

按側棱與底面是否垂直來分，又有斜平行六面體與直平行六面體的區別，其中底面為矩形的直平行六面體，就是我們通常所說的長方體，長方體的任意一條對角線的平方等于長、寬、高的平方和.圖7-42例1圖形圖7-43棱柱的直截面圖7-44例2圖形圖7-45例3圖形

3.直棱柱的畫法前面我們已經學過平面圖形直觀圖的畫法，現在來介紹直棱柱的直觀圖的畫法，下面以正六棱柱為例說明畫法的步驟.(1)畫出直棱柱下底面的真像[圖7-46（a）];(a)(c)(b)二、棱錐1.棱錐概念和性質有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共點的三角形，這樣的多面體稱為棱錐.

這個多邊形叫做棱錐的底面，其余各面叫做棱錐的側面，相鄰側面的公共邊叫做棱錐的棱，各側面的公共點叫做棱錐的頂點，頂點到底面的距離叫做棱錐的高.圖7-46(d)

棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……,我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……

如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐.圖7-48例4圖形2.正棱錐的側面積、全面積和一般棱錐的體積圖7-49例5圖形

3.正棱錐的畫法現以正五棱錐為例說明畫正棱錐直觀圖的步驟.(b)圖7-50正五棱錐的直觀圖的作法(a)(d)(c)三、棱臺

1.棱臺的概念和性質用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺.

原棱錐的底面和截面叫做棱臺的下底面和上底面，其他各面叫做棱臺的側面，相鄰側面的公共邊叫做棱臺的側棱，上下底面之間的距離叫做棱臺的高.

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺，分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺.正棱臺有以下性質.(1)正棱臺的側棱相等，側面是全等的等腰梯形，各等腰梯形的高相等，它叫做正棱臺的斜高；(2)正棱臺的兩底面以及平行于底面的截面是相似正多邊形；圖7-52正棱臺性質示意圖7-53例6圖形2.正棱臺的側面積、全面積和一般棱臺體積圖7-54例7圖形3.正棱臺的畫法現以正四棱臺為例說明畫正棱臺直觀圖的步驟.圖7-55正棱臺直觀圖的畫法（a）（c）圖7-55正棱臺直觀圖的畫法（b）圖7-55正棱臺直觀圖的畫法院（d）習題思考題：1.面數最少的多面體是幾面體，它有多少條棱？多少個頂點？2.直棱柱的底面與側面是否垂直，為什么？3.平行六面體的各個面是什么樣的四邊形？直平行六面體？長方體呢？課堂練習題：答案答案答案答案答案答案第四節旋轉體

在日常生活中,我們常見到的足球、燈泡、日光燈管等都屬于旋轉體，我們從它產生的方法給出一般意義的旋轉體的定義.

定義一個平面圖形繞著與它在同一平面上的一條定直線旋轉一周所形成的幾何叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸.常見的旋轉體有圓柱、圓錐、圓臺和球.一、圓柱

1.圓柱的概念和性質一個矩形繞著它的一條邊旋轉一周所形成的幾何體叫做圓柱.圖7-58圓柱的形成2.圓柱的側面積、全面積和體積圖7-59例1圖形3.圓柱直觀圖的畫法圓柱的底面是圓，先介紹圓的直觀圖的畫法.在水平平面內畫圓的直觀圖常用下面的近似畫法.圖7-60例2圖形圖7-61水平平面內圓的直觀圖的作法(a)、(b)圖7-61水平平面內圓的直觀圖的作法（c）畫圓柱直觀圖的步驟如下.圖7-62圓柱直觀圖的作法(a)、(b)圖7-62圓柱直觀圖的作法(c)、(d)二、圓錐1.圓錐的概念和性質一個直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉一周所成的幾何體叫做圓錐.圖7-63圓錐的形成圖7-64圓錐的側面展開圖圖7-65例3圖形2.圓錐的側面積、全面積和體積圖7-67例5圖形圖7-66例4圖形3.圓錐直觀圖的畫法畫圓錐的直觀圖可按照畫圓柱類似的步驟進行，即：圖7-68圓錐直觀圖的作法（a）圖7-68圓錐直觀圖的作法（b）（c）（c）（b）三、圓臺

1.圓臺的概念和性質一個直角梯形繞著垂直于底邊的腰旋轉一周所形成的幾何體叫做圓臺.圖7-69圓臺的形成圓臺具有以下一些主要性質.(1)兩底面都是圓，并且互相平行；(2)平行于底面的截面都是圓；(3)軸截面都是全等的等腰梯形；(4)圓臺的軸垂直于底面且經過兩底面中心，軸長等于圓臺的高；(5)各母線都相等，并且它們的延長線交于一點；(6)母線與底面所成的角都相等；(7)圓臺的側面展開圖是一個扇環形(圖7-70).圖7-70圓臺的側面展開圖7-71例6圖形2.圓臺的側面積、全面積和體積圖7-72例7圖形圖7-73例8圖形3.圓臺直觀圖的畫法圓臺直觀圖的畫法可按照畫圓柱類似的步驟進行，即：圖7-74圓臺直觀圖的作法（a）、（b）圖7-74（c）四、球1.球的概念和性質一個半圓繞著它的直徑旋轉一周所形成的幾何體叫做球.圖7-75球的形成示意圖7-76球截面

（4）球切面（和球面只有一個公共點的平面）垂直于過切點的球半徑（圖7-77）.圖7-78例9圖形圖7-77球切面圖7-79例10圖形2.球缺、球臺用一個平面截球，所得球的一部分叫做球缺，球缺的球形表面叫做球冠，這個平面截球所得的圓叫做球缺（或球冠）的底，垂直于截面的球的直徑在截面和球冠之間的一段的長叫做球缺（或球冠）的高.圖7-80球缺(a)(b)(c)

用兩個平行平面截球，夾在兩個截面之間的部分叫做球臺.球臺的球形表面叫做球帶，這兩個截面圓叫做球臺的底，這兩個平行平面間的距離叫做球臺（或球帶）的高.圖7-81球臺(a)(b)3.球、球冠、球帶表面積及球、球缺、球臺的體積圖7-82例11圖形4.球的直觀圖的畫法先畫出球的輪廓線（是球大圓的真像），再在輪廓線內畫一個或幾個球的大圓的直觀圖（也可是小圓直觀圖）（圖7-83），即可.圖7-83球的直觀圖(a)(b)第四節旋轉體思考題：課堂練習題：1.圓柱、圓錐、圓臺是如何旋轉得到的幾何體？2.如何研究旋轉體？3.研究空間圖形(幾何體)的思路是什么？1.什么是簡單多面體？我們所學的多面體是這類多面體嗎？2.觀察下列五個多面體填表：(1)