《振動力學》一一習題

第二章單自由度系統的自由振動

2-1如圖2-1所示，重物”懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜止平衡位置，另一重物區從

高度為h處自由下落到叱上且無彈跳。試求明下降的最大距離和兩物體碰撞后的運動規

律。

平衡位置

力

解:

皿」叢氏片=4^

2g~

動量守恒:

卬2W.+W,

T嶺=-------%，

grr?IVT,

平衡位置:

W；=Q,叫

X'=T

_叱+嗎

叫+嗎=。2,Xi2~~T~

故:

w,

故:

x=-x0cos^y?r+—sincont

例

=-X0COS69?r+—sin69,/

2-2一均質等直桿，長為/,重量為仍用兩根長〃的相同的鉛垂線懸掛成水平位置，如圖

2-2所示。試寫出此桿繞通過重心的鉛垂軸做微擺動的振動微分方程，并求出振動固有周期。

a

_L_L

.W________T_______

解：給桿一個微轉角。

a

20=ha

2F=mg

由動量矩定理：

10=M

1〃

Ir==—ml

12

“廠?eaa2

M=-F6zsinezcos—?-m^—a=-m2——a

228力

其中

0.

sinacos—?1

2

—ml~0+mg?-8=0

124h

〃2=血

Pnl2h

7=生=0包=曳（A

PnvWa《3g

2-3一半圓薄壁筒，平均半徑為R,置于粗糙平面上做微幅擺動,如圖2-3所示。試求

其擺動的固有頻率。

、

機

R

八------

7/////////////////////////7i2—

圖2-3圖2-4

2-4如圖2-4所示，一質量〃z連接在一剛性桿上，桿的質量忽略不計，試求以下情況

系統作垂直振動的固有頻率：

(1)振動過程中桿被約束保持水平位置;

(2)桿可以在鉛垂平面內微幅轉動;

(3)比擬上述兩種情況中哪種的固有頻率較高，并說明理由。

圖T2-9答案圖T2-9

解:

⑴保持水平位置:

⑵微幅轉動：

K/,+12

=72〃7g7_L______(_______Qina

(什西/4[(#4)&2(/函」

+l^-lk2

G；+，2)KL+AQ+DW

」以1\+“+1汰-1、16

—"PWg

弛+典

mg

故:

k2i,=k2+ky=1k

_k、k?3

123一

k[+a33

一"⑵&

1234—

“123+”42

⑴52。，/"半

⑵則-=2獷學

2-7圖2-7所示系統，質量為初的均質圓盤在水平面上作無滑動的滾動，鼓輪繞軸的轉動

慣量為/,忽略繩子的彈性、質量及各軸承間的摩擦力。試求此系統的固有頻率。

解：

系統動能為:

711/iYFl,2If11

22|_2-212-人"]

if/3Y

司叫+房+泮下2

2-

系統動能為:

rT=\7ir=v*

根據:1

ma>—'max'人max—卬〃人max

k、+k、—7

2(i)=------------------

〃/3

明+示+產

2-8如圖2-8所示的系統中，鋼桿質量不計，建立系統的運動微分方程，并求臨界阻尼

系數及阻尼固有頻率。

斗

圖2-8

解:

mOl-/+cfki'a+k3bZ?=0

ml~O+ccrO+klr9=0

0二①〃"8]=I=2—2/

/Vinv4m1bk2ml

由J=1=J=—y/rnk

'a

2-9圖2-9所示的系統中，w=lkg,Z=224N/m,c=48N.s/m,/i=/=0.49m,12=1/2,h=

1/4,不計鋼桿質量。試求系統的無阻尼固有頻率口“及阻尼7。

圖2-9

圖所示的系統中，加=

{2.26}T2-26Ikg,k=144N/m,c=48N?s/m,/|=/=0.49m,/2=0.5

/,/3=0.25/,不計剛桿質量，求無阻尼固有頻率”及阻尼

6

Z

Z

/

圖T2-26答案圖T2-25

解：

受力如答案圖T2-26。對。點取力矩平衡，有:

mOlx-/]+cGly?/3+k0l2?/2=0

疝衿+ci；@+kge=u

m0+-c0+-k^=0

164

n2=1---人-=3”6

4m

—>q=6rad/s

1

武=2次

"2

C|

=————=0.25W^

16/〃2co“T

l

片T

Y

Jsinco/

第三章單自由度系統的強迫振動S

上i

r

III

3-1如圖3-1所示彈簧質量系統中，兩個彈簧的連接處有一激振力P(f)=《sinoi。試求質

量塊的振幅。

圖3-1

解：設彈簧1,2的伸長分別為的和垃，那么有，

x=x[+x2(A)

由圖[1)和圖(2)的受力分析，得到

%內=kx+匕)sincot

22(B)

欣=-k2x2(C)

聯立解得，

..k\k?k、_.

nix=----L-x+------Rsincot

k.+k2k]+k2°

..k\k、k、門.

x+---———x=----=----smcot

(%+&)/?(kx+k2)m

p=Ik、k2

所以V〃g&),〃=(),得，

3-2圖3-2所示系統中，剛性桿AB的質量忽略不計，B端作用有激振力P(/)=4sin。/,

寫出系統運動微分方程，并求以下情況中質量機作上下振動的振幅值：(1)系統發生共振;

(2)。等于固有頻率q的一半。

解：圖(1)為系統的靜平衡位置，以媯系統的廣義坐標，畫受力如圖(2)

10=—21c(21點)一31?k(。?31)+31Rsin5

又I=mP

＞；4c-9k3.

GH---04----0=—7^sin69/

mmml

那么

29k

Pn=—

m

4c3Po

mml

%=/J

y(Pn/+(2〃⑼"

B=IB(1=,㈤

J(P；-))2+(2〃0)2

1）系統共振，即〃〃="

co=-P

2)2f)

3-3建立圖3-3所示系統的運動微分方程，并求出系統的固有頻率①”，阻尼比，以及穩態

響應振幅。

/1sincW

圖3-3

解：以剛桿轉角。為廣義坐標，由系統的動量矩定理

412m0=-k(l(p-xs)l-cl~(p

c.kka.

(p+——(pH-----(p=—sincot

即4/T?4/n/

p=[±2〃一工G=-心旦^=~

令，"V4/n,4/77,Pn8〃iPn,4，〃/,P”得到

h

B?=f

J(〃:--2)2+(2〃3-

—X2I

B=BQ=―4----------=〃=

p；(「*(23)2—2+(2對

VPnPnPn

3-4一機器質量為450kg,支撐在彈簧隔振器上，彈簧靜變形為0.5cm,機器有一偏心重,

產生偏心激振力4=2.254〃/g,其中①是激振頻率，g是重力加速度。試求：

(1)在機器轉速為1200r/min時傳入地基的力；(2)機器的振幅。

解：設系統在平衡位置有位移x,

那么〃吠+丘二￡)

x+-x=^-

即mm

又有，叫=他「那么①⑴

；一0

p0=40萬

所以機器的振幅為k1-2-(2)且n⑶

又有團久⑷

將(1)(2)(4)代入⑵得機器的振幅3=0.584mm

那么傳入地基的力為〃/=3=514.7N

x(t)=Bsin^fy/+-^

2-9一個粘性阻尼系統在激振力尸")二用sin/'作用下的強迫振動力為

A)=196N,B=5cm,/=20兀「ad/s,求最初1秒及1/4秒內，激振力作的功％及卬2。

由已知可得：

P(t)=P(}sinwt=19.6sin20-

7t71

x(r)=Bwcos(vvr+—)=；FCOS(20R+—)

66

W1二J；P⑴x(t)力

rl71

=JJ9.6sin20加%cos(20^r+—)dt

.../rcos40^-r,i.?ri.<,八、」

=-4.9x/3—————10一4.9乃］()(I-cos804/)力

=-15.39J

同理可得：

W2=j^P(r)x(r)</r

=19.6sin20m?兀cos(20加+令力

=0.0395J

3-5證明：粘滯阻尼利在一個振動周期內消耗的能量可表示為

k(1-22)2+(2^)2

證明

廣7722

△E=-cco~B~cos(切-(p)dt=-7rca)B~

Jo

B='F/

,(1_邛+好儲

AL萬斤2"

AE=一九cco-----\-------=——--------好-------

(1一儲y+4jzk(i-r)_+(2^>i)2

3-6單自由度無阻尼系統受圖3-6所示的外力作用，MO)=x(0)=()。試求系統的響應。

圖3-6

解：由圖得激振力方程為

F(f)=-P]t}<t<t2

ot〉t2

當0〈/〈八時，F(r)=《，那么有

-rPP

“。)-I—―sin/?,,(/-T)dT--4-[1-cospnt\

升明"甲〃

2_k_

由于7,所以有

X/)=y[1-cosp,j]

當力時，尸⑺=一匕那么有

x(0=「一^-sinp“Q-7)dr+f—^-sinpn(t-r)dT

J。呷〃人，〃P“

='[cosp“a-1)-cospt]--^[1-cosp”(。-/)]

tnK

當/工時，27)=°,那么有

x(f)=f—sinpn(t-i)dr+[——sinpn(t-i)dv

J。mpnM叩“+o

pp

=_[cosp”&-1)-cosp?r]-[cospn(z2-z)-cosp?(/1-/)]

3-7試求在零初始條件下的單自由度無阻尼系統對圖3-7所示激振力的響應。

解：由圖得激振力方程為

0、〕%(一)

0/)/,

F(r)=^(l一一)

當力時，4,那么有

x")=——/^(I--)sinpn(/-r)Jr=11--"cospnt+——sinpnt]

當f＜力時，/⑺二°,那么有

Ml)=P------^(l--)sinp〃(/一r)dr+0

,()mp〃4

P.t十」一[sinpnt-sinp“(f-。)]}

=-{-cospnt

P3

3-8圖3-8為一車輛的力學模型，車輛的質量m、懸掛彈簧的剛度攵以及車輛的7、

平行駛速度外道路前方有一隆起的曲形地面：

a1-cos

(1)試求車輛通過曲形地面時的振動;

(2)試求車輛通過曲形地面以后的振動。

解：由牛頓定律，可得系統的微分方程為，通『一依)'一匕)

2K\

ys=acos-j-X

由曲形地面：I,得到^y+ky=kys

F(T)=ka(\-cos-x)

得到系統的激振力為，I

x=vt

/.F(r)=^z(l-cos-^vr)

(1)車通過曲形地面時°q"乙的振動為

阿X景sinp.d)小黑)d-j；ciinp“C2

sin(p“+a))t+sin(p“一①)1COS(P〃+CO)t+cos(〃”-co)tP，]

即“{sinpnt[]+cosp/[

2(P“+M2(pn-co)2(p〃+①)2(pn-co)Pn3

,pcoscyr〃“cosp/]a,、->、

na+

〃----7；--^----^=-----r(^~cosp,/-p；cos6yr)

=a(l-cosp/)(〃“一口)(pn-co)P；一①

(2)車通過曲形地面后的振動

車通過曲形地面后,之。以初位移泡)和初速度的)作自由振動，即

ML)=a+J，畫cosp/-p：cos<yr1)y(t])=,",(一/p“sinpnt}+cop；,sino')

p；一".凡一”

y(f)

y(t)=)cosP”(1-q)+sinpn(r-r,)

由公式P”，得到車通過曲形地面后的振前響應為

)0=----r[cos〃J-cosPn(r-r1)

Pn

k2不

Pn2=—0)=——V

其中，加,Io

或積分為

/、1I廣(7)-/、7s>n〃”('一丁)'〃一工cos3匯sin

y(r)=------sin/7n(r-r)6/r=pn(t-r)dr]

J。mpn

2

coar,、

=------T[COSpltt-cospn(r-/,)

Pn-"

3-9圖3-9是一輕型飛機起落架著陸沖撞的簡單力學模型。試求彈簧從接觸地面至反跳脫離

接觸的時間。

m

3-10圖3?10所示的箱子從高〃處自山下落，箱體內有足夠的間隙允許質量〃7運動，并且

箱體質量遠大于〃?。假設箱子觸地后不再跳起，試求：（1）箱子下落過程中質量塊相對于

箱體的運動；（2）箱子落地后傳到質量塊上的最大作用力。

圖3-9圖3-10

第四章多單自由度系統的振動

4-1圖4-1所示系統中，各個質量只能沿鉛垂方向運動，假設叫二嗎=〃4=〃?,

k1=k、=k%=k、=k,==k0試求系統的固有頻率及振型矩陣

圖4-1

解：如圖選擇廣義坐標。求質量矩陣及利用剛度影響系數法求剛度矩陣為

m00~3k-k-k

0zw0K=-k3k-k

00m-k-k3k

9

由頻率方程區一〃諷=°,得

3k-mp2-k-k

-k3k-mp2-k=0

-k_k3k-mp2

解出頻率為

由特征矩陣B=K-p2M的伴隨矩陣的第一列，

(3k-mp2y-k2

aW=H+k(3k-mp2)

k2+k(3k-mp2)

將P’F，〃代入得系統的第一階主振型為

A⑴=(111)7

A⑵滿足如下關系：

(A⑴)，MA⑵=0,(長一武乂明⑵二。

展開以上二式得，A'+A『+A'=O。取對)=°,守=一1,可得到4"=1。即有

A⑵=(-101)，

A⑶滿足如下關系：

(A⑴AMA⑶一0,(A⑵pMA⑶-O(K-P；M)A⑶=0

展開以上二式得，A："+4『+A『=°,_A：3)+4，=0,聯立得A")=A『。取A「)=I,

A；"=1,可得到4；"=一2。即得

A⑶=(1-21)7

主振型矩陣為

1-11

A=10-2

111

圖4-2

4-2試計算圖4一2所示系統對初始條件/=［。000(和尤=400vf的響應。

解：在習題4-6中己求得系統的主振型矩陣和質量矩陣分別為

1-11-1

11-V2-11+&

4=(川)4⑵4⑶呼

1_(1_&)-1-(1+揚

11

主質量振型為

11-V2-11+V2m000

1V2-1-I-1-V20in00

111100m0

000in

■4.000000

T_0-0.41400

M?r=ArMA=m

004.0000

00013.657

AR=^J=AU)

正那么振型的第，列為'

由此得到正那么振型振型為

0.5000-0.65730.5000-0.2706-

10.5000-0.2706-0.50000.6533

AN=

4m0.50000.2706-0.5000-0.6533

0.50000.65330.50000.2706

正那么坐標初始條件為

-0.50000.5(1000.50000.5000-1

-0.6533-0.27060.27060.65330

30)=A；M/=瓜

0.5000-0.5000-0.50000.50000

-0.27060.6533-0.65330.27060

■0.50000.50000.50000.5000-100ril

-0.6533-0.27060.27060.6533(1

.rs(0)=4(.A/AU=yfm

0.5000-0.5(XH)-O.50C00.5000(0

-0.27060.6533-0.65330.2706(0o???.M

^Mx_°,

x,v(0)=A0x^(0)=ANMX0_7W(V0V0廠

v\[m.

八%A，3=-----------sin%，

正那么坐標的響應為無M=而1，,打4二。

9*N2=°,〃3其中頻率為

〃3=

Y-A0)+A⑵X+A⑶X4-A<4)￥

最終得到響應，由X—ANY十ANX“2十A,VX/V3十八耳X?V4，展開得到

1

V-1

]COSR

2P3

VI.

-(/+—sinp^)

2P3

v.1..

-(/一一sinpt)

2Pyy

X=AK+4)加+4%3+&kvs=

vI..

TQ——sinpj)

2Px

v1.、

-(/+—sinp^r)

,2P3

能：從6—6中可得主頻率和主振型矩陣為

'"7000、

0m00

M=

00m0

由質量矩陣、000in,,

U0

02-V2

M/,二Ap『MAp=4/77

00

J)002+仞

那么正那么振刑矩陣為

(2+揚夜-2、

-V2

~2~~T

叵-夜

22

2+叵2-V2

~2~2)

1111

-(2+&)-V2V22+&

A一62~2~~2-2-

N21-1-11

a-2V2-V22-0

、2TF2

7

于是XN(O)=AN-'XO=(O000)

XN(O)=AN-'XO=(VV^0訪0

于是得

XNI=li(0)/=v/x/w

X*(v0)7.c

=—~sinp2/=0

Pi

X(O).vyfm

——N二3^sinp]=----sin〃/

Py〃3

XN4=^i^sin/V=0

PA

所以響應為

X=AJ)XNI+Aj女幅+A")XN3+A/)XNN,

X1rI

x?I-1v

sinp3t

X3-12P3

PL

即IxjJ,其中,

-4.000000

0-0.41400

M=A7'MA=m

p004.0000

00013.657

4-3試確定題4-2的系統對作用于質量m\和質量儂上的階躍力Pi=P4=P的響應。

4-4如圖4-4所示，機器質量為網=90kg,吸振器質量為生=2.25kg,假設機器上有一偏心

質量m'=0.5kg,偏心距e=1cm,機器轉速n=1800r/m。試問：

U)吸振器的彈簧剛度匕多大，才能使機器振幅為零？

(2)此時吸振器的振幅B2為多大？

(3)假設使吸振器的振幅及不超過2mm,應如何改變吸振器的參數？

第六章彈性體系統的振動

6.1一等直桿沿縱向以速度^向右運動，求以卜情況中桿的自由振動:

(1)桿的左端突然固定;

(2)桿的右端突然固定;

(3)桿的中點突然固定。

EAP

X

圖6-1

能：(1)桿的左端突然固定；

桿的初始條件為：G°)=%("=°〃(x°)=v

_]35〃（x）=。sin竺=1,3,5

有題可知‘2/八''2/

力⑼寸一人⑺用嚼松/⑼二。

=pAVD-

17T

4（°）.,

7,=—^-sin/V

所以有：P，進而有:

/、/、（八?g212/.8V7sl.Ex.i/ra

〃（x，/）=LLDisin-^-PAVDi——s,nPf=-L-sin—sin—

a1

z-i.3,5加1.3.5211m0"i=i.3.5212/%

均全部改成：a

圖6-2

6-2圖6-2所示一端固定一端自由的等直桿，(1)假設受到均勻分布力p(x)=彳的作用,

試求分布力突然移去時桿的自由振動響應；(2)假設桿上作用的軸向均勻分布干擾

力為與sin。/,試求桿的穩態強迫振動。

解：t-=0時的應變為EA

桿的初始條件為

⑴』；等必”祟

JoEA2EA

?o(x)=0

一端自由一端固定，可知桿的因有頻率和主振型為

Pi=1,3,5...)

=D.sin=1,3,5……)

將主振型代入上式歸一化為

2

￡pA(D{sin^x)dx=i

以正那么坐標表示初始條件為

小'1人,6-譏.PPO八8尸sini乃2

，(0)=|0。A*)?S}n—xdx=—^Dt—(—―——)

J0212Ein2i7i

功(0)=0"=1,3,5……)

8/.譏2

(而萬一夕

i~7i

以正那么坐標表示對初始條件的響應為

7=%⑼cosR

于是桿的自由振動為

3

/、白】/、inpp.}八8/,sin/

〃*")=Z5q(l)=X0sm歹?聚。二(^—-)

i=l,3,5...<=1,3.5...ZlZ匕l冗/i兀

161.inxiita

f2121

16￡)/1.ijixina

u(xj)=,〉--sin---cos----

兀3￡44..『2!2/

桿左端固定端，右端為自由端

〃(x")=U(x)(Acosp/+8sinpt)

U(x)=Ccos-^十Dsin—

aa

邊界條件

絲=0

U(0)=0dxxsl

得固有頻率，主振型

⑵一1)萬、八.⑵―1)乃

P,=-力—&U,(x)=0sin---x

i=l,2,

/.白.i7ix..i7ia八.ijui、

u(x,t)=〉sin——(A；cos---，+8sin——t)

右,..2//21121

桿在x處的應變

與

%=('——dx

°J。EA

2EAI

初始條件

px3

〃(X,0)=Ho(x)=

??

W(X,0)=Mo(x)=0

由〃(x,O)=〃o(x)=O得

Bj=0

.、ijrci

u{x,t)=>sin——A-cos---1

2/2/

再利用三角函數正交性

A二門才(篝心二工小心皿篝公

J。2EAI21

A._W

得'i3;r3EA

/、S.i7Di.ijra

w(x,r)=〉sin——Acos---1

4…21121

16R//1.i7ixijra

=aJ〉-rsin——cos——

『不3叫=￡『2/21

(2)解：

因為桿是一端固定，可得固有頻率和主振型為

2焉93,5…)

Ui(x)=sin—x(i=1,3,5…)

將主振型代入歸一化條件，得

f?\2

[pA.D.sin—xdx=1

Jo('2/)

又第i個正那么方程為

%+p$z=￡4(3為小

“冗..板，

=—sin(y/sin—xdx

J。/2/

2。F

=f°sincot(1,3,5…)

171

所以可得正那么坐標的穩態響應為

%S=L~"一smw

(Pi-CD)17T

桿的穩態響應振動為

〃(x，f)=xa%a)=x

r=l,2,-f=l,3.5.-

4/*Qsincot(1.沅

pNn/=1,3.5...i(P；-6/)2/

沅al~E