第三章復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分（以下簡稱為復(fù)積分）是研究解析函數(shù)的重要工具之一．我們可以用這種工具證明解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)．例如，解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，解析函數(shù)的無窮可微性等，這些表面看起來只與微分學(xué)有關(guān)的命題，都可用復(fù)積分這一工具得到比較好地解決．另外，對解析函數(shù)，我們完全可以通過函數(shù)的連續(xù)性，再結(jié)合函數(shù)的適當(dāng)積分特征（積分與路徑無關(guān)）來加以刻畫，從而使對解析函數(shù)的研究擺脫了已往過分依賴實(shí)、虛部二元實(shí)函數(shù)，受數(shù)學(xué)分析知識的限制這種尷尬的境地，為解析函數(shù)的研究開辟了新的途徑和新的思路.本章，我們首先建立復(fù)變函數(shù)積分的概念，然后建立的柯西積分定理和柯西積分公式，它是復(fù)變函數(shù)論的基本定理和基本公式，是研究解析函數(shù)性質(zhì)所采用的具體工具.第一節(jié)復(fù)積分的概念、基本性質(zhì)與基本計(jì)算約定：1、本章及以后所提到的曲線都是簡單光滑或分段光滑曲線(從而它必可求長)；分段光滑的簡單閉曲線稱為圍線或周線；2、曲線方向的規(guī)定：對非封閉曲線只須規(guī)定它的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則它的正向是從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向，否則就是負(fù)向；對于圍線，則規(guī)定“逆時(shí)針”為它的正向，而“順時(shí)針”為負(fù)向；對于有界區(qū)域的邊界曲線，則按左手法則規(guī)定它的正向，即當(dāng)某人站在邊界曲線上沿某一方向行走時(shí)，區(qū)域始終在此人的左手邊，則規(guī)定此方向?yàn)榈恼颍駝t為的負(fù)向．習(xí)慣上，曲線的正向記為或，而負(fù)向記為．復(fù)積分的定義定義1設(shè)C是復(fù)平面上連接a和b兩點(diǎn)的有向曲線，其中a是起點(diǎn)，b是終點(diǎn)．函數(shù)定義在曲線C上,分割：在C上，我們沿C的方向順次插入有限個(gè)分點(diǎn)把曲線C分成有限個(gè)小的有向弧段（方向與C的方向一致）（這一過程也稱為對曲線的一個(gè)有向分割，記為T）．近似求和：在每個(gè)小弧段上任取，作和數(shù)

其中，并記稱為分割的模．取極限如果存在，且極限值與對C的分割以及點(diǎn)的取法均無關(guān)，即對任意，存在，使得對C的任意分割T，只要，總有則稱函數(shù)沿曲線C（從a到b）可積，稱為函數(shù)沿曲線C（從a到b）的積分，記為其中稱C為積分路徑，表示沿C的正向的積分，表示沿C負(fù)向的積分．注：關(guān)于復(fù)積分存在的條件，有一些與實(shí)積分類似的結(jié)果，例如，沿曲線C可積的必要條件是在C上有界；若在曲線上連續(xù)，則沿C可積等等.根據(jù)復(fù)積分的定義，不難得到復(fù)積分的如下基本性質(zhì)：設(shè)，都在簡單曲線C上連續(xù)，則有復(fù)積分的性質(zhì)即：方向性，線性性質(zhì)，積分路徑可加性證明:取極限得即：估值定理（5)如果進(jìn)一步還有，，L表示C的長度，則復(fù)積分的計(jì)算方法1化為第二類曲線積分（見教材p92定理3.1）此法主要思路是利用自變量與函數(shù)的實(shí)部虛部x,y,u,v的形式化為第二類曲線積分.

2化為對參數(shù)t的一元函數(shù)積分此法主要思路是利用曲線的參數(shù)表示法，將自變量z與函數(shù)f都表成t.只對t做積分.詳細(xì)證明如下：

證明：按照第二類曲線積分的算法

3.用積分的定義直接計(jì)算注：積分的三種運(yùn)算方法的比較.第一種方法先對被積分式運(yùn)算化為第二類曲線積分式，再代入曲線的表達(dá)式化成一元積分.第二種方法先代入曲線的表達(dá)式對被積分式進(jìn)行運(yùn)算化簡，則直接成為一元積分.第三種方法用定義求極限.例題解1:第二類曲線積分法

記例1設(shè)曲線C是平面上連接a和b兩點(diǎn)的有向曲線（方向是從a到b），證明：（1）；（2）．(1)和(2)的證明方法類似，只證明（2）.解2：定義法記，任取曲線的一個(gè)有向分割再在每個(gè)小弧段上取得，先在每個(gè)小弧段上取得，上面兩式相加得，因連續(xù)，則在曲線C上可積．由積分的定義注：由上面兩例的結(jié)果知，當(dāng)曲線C是閉曲線時(shí)，例1

解1：參數(shù)方程解法直線方程為積分與路徑無關(guān)解2:第二類曲線積分法請同學(xué)們參照微積分課程知識自己運(yùn)算第二類曲線積分！積分與路徑無關(guān)注：所以不論C是怎樣的連接0與3+4i的曲線，積分值與曲線路徑無關(guān)！解積分路徑的參數(shù)方程為例2求其中是以為心，為半徑的正向圓周，為正整數(shù).注：該結(jié)論可以作為結(jié)論直接使用，稱為常用積分.

解(1)：積分路徑的參數(shù)方程為解(2)：積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為注：本題積分值與路徑有關(guān)思考題：1.復(fù)積分什么時(shí)候與路徑無關(guān).2.復(fù)積分有什么幾何（物理）意義.作業(yè)：P1293,4人有了知識，就會(huì)具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋。