數學活動

R·九年級上冊狀元成才路新課導入

日常生活中同學們經常見到的汽車、摩托車、自行車等一些交通運輸工具的車輪是什么形狀的？請同學們思考一個問題，為什么車輪要做成圓形呢？能否做成長方形或正方形？狀元成才路(1)通過活動理解車輪做成圓形的數學道理.(2)探究能過四邊形的四個頂點作圓的條件.(3)以圓和正多邊形為基本圖形設計圖案.狀元成才路推進新課活動1車輪做成圓形的數學道理現代狀元成才路滾杠滾輪車子馬車橡膠輪胎充氣輪胎歷史狀元成才路通過這場比賽，你發現什么問題？狀元成才路滾動快平穩滾動慢顛簸摩擦力小（物理知識）摩擦力大（物理知識）狀元成才路(1)車輪在滾動的過程中圓上各點有什么特點？為什么車輪做成圓形會更平穩？(2)車輪在滾動的過程中什么沒有變？ABC狀元成才路在車輪轉動的過程中，車輪中心與地面的距離始終保持不變，這個距離等于圓的半徑.數學知識：圓心到圓上各點的距離相等.（圓的概念）原因：ABC狀元成才路滾動快平穩滾動慢摩擦力小（物理知識）摩擦力大（物理知識）顛簸圓心到圓上各點距離相等狀元成才路

如果車輪是正方形形狀，請嘗試畫出它中心點的運動軌跡.

如果車輪是正三角形，它中心點的運動軌跡又會怎么樣呢？

為什么三角形或正方形車輪會出現顛簸？狀元成才路為什么三角形或正方形車輪會出現顛簸？狀元成才路滾動快平穩滾動慢摩擦力小（物理知識）摩擦力大（物理知識）顛簸圓心到圓上各點距離相等中心的軌跡不是一條直線狀元成才路車輪做成圓形的數學道理圓心到圓上各點的距離相等你還想知道車輪做成圓形其他的道理嗎？課后相互討論查閱資料完成狀元成才路我們知道：過任意一個三角形的三個頂點一定能作一個圓，過四邊形的四個頂點一定能作一個圓嗎？活動2探究四點共圓的條件不一定狀元成才路ABCD1.四點在同一條直線上不能作圓.四點中任意三點不在一條直線上，不一定作圓.ABCDABCDABCD2.三點在同一條直線上,另一點不在這條直線上不能作圓.舉例狀元成才路

圖中給出了一些四邊形，能否過它們的四個頂點作一個圓？試一試！ABCDABCDABCD試一試×狀元成才路

分別測量上面各四邊形的內角，如果過某個四邊形的四個頂點能作一個圓，那么其相對的兩個內角之間有什么關系？證明你的發現.∠A＋∠C=180°∠B＋∠D=180°發現：過某個四邊形的四個頂點能作一個圓，那么其相對的兩個內角之和為180°.ABCDABCD測量狀元成才路∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形.∴弧BAD和弧BCD的圓心角的和是周角.同理所以圓內接四邊形的相對兩角之和為180°.BCDA·O證明：狀元成才路

如果過某個四邊形的四個頂點不能作一個圓，那么其兩個相對的內角之間有上面的關系嗎？·ABCDO其相對的兩個內角之和不等于180°.·ABCDEFO試結合圖說明其中的道理.探究狀元成才路有·ABCDO連接AC并延長交⊙O于點C′，連接BC′和DC′.C′又∵點C'在⊙O上，∴∠A+∠BCD＞∠BC′D+∠A說明情況一狀元成才路由上面的探究，試歸納出判斷過某個四邊形的四個頂點能作一個圓的條件.連接AC交⊙O與點C'，連接BC'和DC'.·ABCDEFOC′有所以又因為點C′在⊙O上,所以∠A+∠BC′D＞∠BCD+∠A.情況二狀元成才路四邊形相對的兩個內角互補,四點共圓.四點共圓的條件狀元成才路

許多圖案設計都和圓有關，圖1就是利用等分圓周設計出的一些圖案，圖2展示了一朵雛菊圖案的設計過程.圖2活動3設計圖案狀元成才路

利用正多邊形可以鑲嵌整個平面的性質，還可以設計出一些美麗的圖案，如圖.

你能畫出其中的一些圖案嗎？請你再利用圓或正多邊形設計一些圖案，并與同學交流.狀元成才路隨堂演練基礎鞏固1.四邊形ABCD內接于⊙O，∠A∶∠B∶∠C=7∶6∶3，則∠D等于()A.36°B.72°C.144°D.54°B狀元成才路2.下列美妙的圖案中，是由正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形中的三種鑲嵌而成的為()D狀元成才路3.現有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長都相等.同時選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有()A.2種B.3種C.4種D.5種B狀元成才路4.如圖(1)是某公司的圖標，它是由一個扇環形和圓組成,其設計方法如圖(2)所示，四邊形ABCD是正方形，⊙O是該正方形的內切圓，E為切點，以B為圓心，分別以BA、BE為半徑畫扇形，得到如圖所示的扇環形，圖(1)中的圓與扇環的面積比為

.4∶9狀元成才路5.如圖，正六邊形硬紙片ABCDEF在桌面上由圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖2位置,若正六邊形的邊長為2cm，則正六邊形的中心O運動的路程為

cm.4π狀元成才路6.如圖，AB，CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點O1，O2，O3，O4分別是OA，OB，OC，OD的中點，若⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積為

.8狀元成才路7.如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則以格點為圓心，半徑為1和2的兩種弧圍成的“葉狀”陰影圖案的面積為

.2π-4狀元成才路8.如圖，在△ABC中，

AD⊥BC，

DE⊥AB，

DF⊥AC.求證：

B、E、F、C四點共圓.綜合應用狀元成才路證明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,∴∠AED+AFD=180°.∴A、E、D、F四點共圓.∴∠DEF=∠DAF.又AD⊥DC,∴∠DAF+∠C=90°.∴∠DEF+∠C=90°.∴∠BEF+∠C=∠BED+∠DEF+∠C=180°.∴B、E、F、C四點共圓.狀元成才路9.如圖，E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點.求證：E、F、G、H四點共圓.證明：連接OE、OF、OG、OH.

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥