第1頁（共1頁）2023年湖北省武漢市中考數學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑。1．（3分）實數3的相反數是（）A．3 B． C． D．﹣32．（3分）現實世界中，對稱現象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性．下列漢字是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）擲兩枚質地均勻的骰子，下列事件是隨機事件的是（）A．點數的和為1 B．點數的和為6 C．點數的和大于12 D．點數的和小于134．（3分）計算（2a2）3的結果是（）A．2a6 B．6a5 C．8a5 D．8a65．（3分）如圖是由4個相同的小正方體組成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．??6．（3分）關于反比例函數，下列結論正確的是（）A．圖象位于第二、四象限 B．圖象與坐標軸有公共點 C．圖象所在的每一個象限內，y隨x的增大而減小 D．圖象經過點（a，a+2），則a＝17．（3分）某校即將舉行田徑運動會，“體育達人”小明從“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目中，隨機選擇兩項，則他選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）已知x2﹣x﹣1＝0，計算的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣29．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點為E，若，則sinC的值是（）A． B． C． D．10．（3分）皮克定理是格點幾何學中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點的多邊形的面積S＝N+，其中N，L分別表示這個多邊形內部與邊界上的格點個數，在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數的點為格點．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），則△ABO內部的格點個數是（）A．266 B．270 C．271 D．285二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請將結果直接填寫在答題卡指定的位置。11．（3分）寫出一個小于4的正無理數是．12．（3分）新時代十年來，我國建成世界上規模最大的社會保障體系，其中基本醫療保險的參保人數由5.4億增加到13.6億，參保率穩定在95%．將數據13.6億用科學記數法表示為1.36×10n的形式，則n的值是（備注：1億＝100000000）．13．（3分）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數為2cm，若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數是cm（結果精確到0.1cm，參考數據sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）14．（3分）我國古代數學經典著作《九章算術》記載：“今有著行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關于善行者的行走時間t的函數圖象，則兩圖象交點P的縱坐標是．15．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，c＜0）經過（1，1），（m，0），（n，0）三點，且n≥3．下列四個結論：①b＜0；②4ac﹣b2＜4a；③當n＝3時，若點（2，t）在該拋物線上，則t＞1；④若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有兩個相等的實數根，則．其中正確的是（填寫序號）．16．（3分）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是．?三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形。17．（8分）解不等式組請按下列步驟完成解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得：（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；?（Ⅳ）原不等式組的解集是．18．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，點E在BA的延長線上，連接CE．（1）求證：∠E＝∠ECD；（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接寫出△BCE的形狀．19．（8分）某校為了解學生參加家務勞動的情況，隨機抽取了部分學生在某個休息日做家務的勞動時間t（單位：h）作為樣本，將收集的數據整理后分為A，B，C，D，E五個組別，其中A組的數據分別為：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，繪制成如下不完整的統計圖表．各組勞動時間的頻數分布表組別時間t/h頻數A0＜t≤0.55B0.5＜t≤1aC1＜t≤1.520D1.5＜t≤215Et＞28?請根據以上信息解答下列問題．（1）A組數據的眾數是；（2）本次調查的樣本容量是，B組所在扇形的圓心角的大小是；（3）若該校有1200名學生，估計該校學生勞動時間超過1h的人數．20．（8分）?如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠ACB＝2∠BAC．（1）求證：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，，求⊙O的半徑．21．（8分）如圖是由小正方形組成的8×6網格，每個小正方形的頂點叫做格點．正方形ABCD四個頂點都是格點，E是AD上的格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．（1）在圖（1）中，先將線段BE繞點B順時針旋轉90°，畫對應線段BF，再在CD上畫點G，并連接BG，使∠GBE＝45°；（2）在圖（2）中，M是BE與網格線的交點，先畫點M關于BD的對稱點N，再在BD上畫點H，并連接MH，使∠BHM＝∠MBD．?22．（10分）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機，通過實驗，收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離x（單位：m）、飛行高度y（單位：m）隨飛行時間t（單位：s）變化的數據如表．飛行時間t/s02468…飛行水平距離x/m010203040…飛行高度y/m022405464…探究發現x與t，y與t之間的數量關系可以用我們已學過的函數來描述．直接寫出x關于t的函數解析式和y關于t的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）．問題解決如圖，活動小組在水平安全線上A處設置一個高度可以變化的發射平臺試飛該航模飛機．根據上面的探究發現解決下列問題．（1）若發射平臺相對于安全線的高度為0m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；（2）在安全線上設置回收區域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飛機落到MN內（不包括端點M，N），求發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．23．（10分）問題提出如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于點G，探究∠GCF與α的數量關系．問題探究（1）先將問題特殊化，如圖（2），當α＝90°時，直接寫出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數量關系．問題拓展將圖（1）特殊化，如圖（3），當α＝120°時，若，求的值．24．（12分）拋物線交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C．（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；（2）如圖（1），作直線x＝t（0＜t＜4），分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，F三點，連接CF，若△BDE與△CEF相似，求t的值；（3）如圖（2），將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點．直線y＝2x與拋物線交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線GN交于點P．問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．?

2023年湖北省武漢市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑。1．（3分）實數3的相反數是（）A．3 B． C． D．﹣3【分析】根據相反數的定義解答即可．【解答】解：實數3的相反數是﹣3．故選：D．【點評】本題考查的是相反數，熟知只有符號不同的兩個數叫做互為相反數是解題的關鍵．2．（3分）現實世界中，對稱現象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性．下列漢字是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，據此進行分析即可．【解答】解：A、B、D選項中的漢字都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．C選項中的漢字能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（3分）擲兩枚質地均勻的骰子，下列事件是隨機事件的是（）A．點數的和為1 B．點數的和為6 C．點數的和大于12 D．點數的和小于13【分析】根據事件發生的可能性大小判斷即可．【解答】解：A、兩枚骰子的點數的和為1，是不可能事件，故不符合題意；B、兩枚骰子的點數之和為6，是隨機事件，故符合題意；C、點數的和大于12，是不可能事件，故不符合題意；D、點數的和小于13，是必然事件，故不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．4．（3分）計算（2a2）3的結果是（）A．2a6 B．6a5 C．8a5 D．8a6【分析】根據積的乘方，即可解答．【解答】解：（2a2）3＝23?（a2）3＝8a6．故選：D．【點評】本題考查了冪的乘方，解決本題的關鍵是熟記冪的乘方法則．5．（3分）如圖是由4個相同的小正方體組成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．??【分析】由題意根據從左邊看得到的圖形是左視圖，進行觀察判斷可得答案．【解答】解：從左面看，底層是兩個小正方形，上層左邊是一個小正方形．故選：A．【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，注意掌握從左邊看得到的圖形是左視圖．6．（3分）關于反比例函數，下列結論正確的是（）A．圖象位于第二、四象限 B．圖象與坐標軸有公共點 C．圖象所在的每一個象限內，y隨x的增大而減小 D．圖象經過點（a，a+2），則a＝1【分析】利用反比例函數的圖象和性質進而分析得出答案．【解答】解：反比例函數，圖象在第一、三象限，與坐標軸沒有交點，故A選項錯誤，B選項錯誤；反比例函數，在每一個象限內，y隨著x的增大而減小，故C選項正確；反比例函數圖象經過點（a，a+2），∴a（a+2）＝3，解得a＝1或a＝﹣3，故D選項錯誤，故選：C．【點評】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．7．（3分）某校即將舉行田徑運動會，“體育達人”小明從“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目中，隨機選擇兩項，則他選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖列出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．【解答】解：跳高（記為項目1）、跳遠（記為項目2）、100米短跑（記為項目3）、400米中長跑（記為項目4），畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，恰好抽到“100米”和“400米”兩項的有2種情況，∴恰好抽到“100米”和“400米”的概率是：．故選：C．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．8．（3分）已知x2﹣x﹣1＝0，計算的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再由已知等式得出x2＝x+1，繼而可得答案．【解答】解：原式＝[﹣]?＝?＝，∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴原式＝＝1．故選：A．【點評】本題考查分式的化簡求值，化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．9．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點為E，若，則sinC的值是（）A． B． C． D．【分析】連接DB、DE，設AB＝m，由＝得CD＝3AB＝3m，再證明AB是⊙D的切線，而⊙D與BC相切于點E，則BC⊥OE，由切線長定理得EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，由AB∥CD，得∠ABD＝∠CDB，則∠CBD＝∠CDB，所以CB＝CD＝3m，CE＝2m，由勾股定理得DE＝＝m，即可求得sinC＝＝，于是得到問題的答案．【解答】解：連接DB、DE，設AB＝m，∵＝，∴CD＝3AB＝3m，∵AD是⊙D的半徑，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切線，∵⊙D與BC相切于點E，∴BC⊥OE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD＝3m，∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，∵∠CED＝90°，∴DE＝＝＝m，∴sinC＝＝＝，故選：B．【點評】此題重點考查切線的性質、平行線的性質、等腰三角形的判定、勾股定理、銳角三角函數與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．10．（3分）皮克定理是格點幾何學中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點的多邊形的面積S＝N+，其中N，L分別表示這個多邊形內部與邊界上的格點個數，在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數的點為格點．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），則△ABO內部的格點個數是（）A．266 B．270 C．271 D．285【分析】根據公式，先計算出S和L的值，即可求出N的值．【解答】解：∵A（0，30），B（20，10），O（0，0），∴△ABO的面積為S＝×30×20＝300，△ABO邊界上的格點個數L＝31+19+10＝60，∵S＝N+L﹣1，∴300＝N+×60﹣1，∴N＝271．故選：C．【點評】本題考查新定義的理解，也考查了學生分析、解決問題的能力，注意區分多邊形內部格點數和邊界格點數是解本題的關鍵．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請將結果直接填寫在答題卡指定的位置。11．（3分）寫出一個小于4的正無理數是（答案不唯一）．【分析】由于無理數是無限不循環小數，根據此定義即可找出一個比4小的無理數．【解答】解：一個小于4的正無理數是（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．【點評】此題主要考查了實數大小比較的方法，以及無理數的特征和應用，解答此題的關鍵是要明確：無限不循環小數叫做無理數．12．（3分）新時代十年來，我國建成世界上規模最大的社會保障體系，其中基本醫療保險的參保人數由5.4億增加到13.6億，參保率穩定在95%．將數據13.6億用科學記數法表示為1.36×10n的形式，則n的值是9（備注：1億＝100000000）．【分析】科學記數法的表現形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正整數，當原數絕對值小于1時，n是負整數．【解答】解：13.6億＝1360000000＝1.36×109．故答案為：9．【點評】本題考查了科學記數法—表示較大的數，科學記數法的表現形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵是要正確確定a的值以及n的值．13．（3分）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數為2cm，若按相同的方式將37°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數是2.7cm（結果精確到0.1cm，參考數據sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】過點B作BD⊥OA于D，過點C作CE⊥OA于E，根據等腰直角三角形的性質可得CE＝2，再通過解直角三角形可求得OE的長，進而可求解．【解答】解：過點B作BD⊥OA于D，過點C作CE⊥OA于E，在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴CE＝BD＝2cm，在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°，∴tan37°＝，∴OE＝2.7cm，即OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數是2.7cm．故答案為：2.7cm．【點評】本題主要考查解直角三角形的的應用，構造直角三角形是解題的關鍵．14．（3分）我國古代數學經典著作《九章算術》記載：“今有著行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關于善行者的行走時間t的函數圖象，則兩圖象交點P的縱坐標是250．【分析】根據題意I去除善行者和不善行者的函數關系式，再聯立求兩個一次函數交點坐標即可．【解答】解：由題意可知，不善行者函數解析式為s＝60t+100，善行者函數解析式為s＝100t，聯立，解得，∴兩圖象交點P的縱坐標為250，故答案為：250．【點評】本題考查了一次函數的應用，根據題意求出一次函數關系式是解題的關鍵．15．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，c＜0）經過（1，1），（m，0），（n，0）三點，且n≥3．下列四個結論：①b＜0；②4ac﹣b2＜4a；③當n＝3時，若點（2，t）在該拋物線上，則t＞1；④若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有兩個相等的實數根，則．其中正確的是②③④（填寫序號）．【分析】①根據圖象經過（1，1），c＜0，且拋物線與x軸的一個交點一定在（3，0）或（3，0）的右側，判斷出拋物線的開口向下，即a＜0，再把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即可判斷①錯誤；②先得出拋物線的對稱軸在直線x＝1.5的右側，得出拋物線的頂點在點（1，1）的右側，得出，根據4a＜0，利用不等式的性質即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判斷②正確；③先得出拋物線對稱軸在直線x＝1.5的右側，得出（1，1）到對稱軸的距離大于（2，t）到對稱軸的距離，根據a＜0，拋物線開口向下，距離拋物線越近的函數值越大，即可得出③正確；④根據方程有兩個相等的實數解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根據根與系數的關系得出，即，根據n≥3，得出求出m的取值范圍，即可判斷④正確．【解答】解：①圖象經過（1，1），c＜0，即拋物線與y軸的負半軸有交點，如果拋物線的開口向上，則拋物線與x軸的交點都在（1，0）的左側，∵（n，0）中n≥3，∴拋物線與x軸的一個交點一定在（3，0）或（3，0）的右側，∴拋物線的開口一定向下，即a＜0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c＝1，即b＝1﹣a﹣c，∵a＜0，c＜0，∴b＞0，故①錯誤；②∵a＜0，b＞0，c＜0，，∴方程ax2+bx+c＝0的兩個根的積大于0，即mn＞0，∵n≥3，∴m＞0，∴，即拋物線的對稱軸在直線x＝1.5的右側，∴拋物線的頂點在點（1，1）的右側，∴，∵4a＜0，∴4ac﹣b2＜4a，故②正確；③∵m＞0，∴當n＝3時，，∴拋物線對稱軸在直線x＝1.5的右側，∴（1，1）到對稱軸的距離大于（2，t）到對稱軸的距離，∵a＜0，拋物線開口向下，∴距離拋物線越近的函數值越大，∴t＞1，故③正確；④方程ax2+bx+c＝x可變為ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵方程有兩個相等的實數解，Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．∵把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，∴（a+c）2﹣4ac＝0，即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，∴（a﹣c）2＝0，∴a﹣c＝0，即a＝c，∵（m，0），（n，0）在拋物線上，∴m，n為方程ax2+bx+c＝0的兩個根，∴，∴，∵n≥3，∴，∴．故④正確．綜上，正確的結論有：②③④．故答案為：②③④．【點評】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，拋物線上點的坐標的特征，待定系數法，數形結合法，拋物線與x軸的交點，二次函數與一元二次方程的聯系，一元二次方程的根的判別式，熟練掌握二次函數的性質和二次函數與一元二次方程的聯系是解題的關鍵．16．（3分）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是．?【分析】根據等邊三角形的性質得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根據折疊的性質得到△BDE≌△FDE，根據已知條件得到圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，求得S△FHG＝S△ADG+S△CHE，根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵折疊△BDE得到△FDE，∴△BDE≌△FDE，∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，∵DE平分等邊△ABC的面積，∴圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，∴2＝，∴，∴GH2＝m2+n2，解得GH＝或GH＝﹣（不合題意舍去），故答案為：．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，折疊的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形。17．（8分）解不等式組請按下列步驟完成解答．（Ⅰ）解不等式①，得x＜3；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1：（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；?（Ⅳ）原不等式組的解集是﹣1≤x＜3．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：，（Ⅰ）解不等式①，得x＜3；故答案為：x＜3；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；故答案為：x≥﹣1；（Ⅲ）把不等式①和不等式②的解集在數軸上表示出來如下：（Ⅳ）原不等式組的解集是﹣1≤x＜3．故答案為：﹣1≤x＜3．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．18．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，點E在BA的延長線上，連接CE．（1）求證：∠E＝∠ECD；（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接寫出△BCE的形狀．【分析】（1）由平行線的性質得到∠EAD＝∠B．而∠B＝∠D，因此∠EAD＝∠D．推出BE∥CD，得到∠E＝∠ECD．（2）由平行線的性質，角平分線定義得到∠BCE＝60°，由三角形內角和定理得到∠B＝60°，即可推出△BCE是等邊三角形．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，∴BE∥CD，∴∠E＝∠ECD．（2）解：△BCE是等邊三角形，理由如下：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD，∵EB∥CD，∴∠ECD＝∠E＝60°，∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BCE＝60°，∴∠B＝∠BCE＝∠E，∴△BCE是等邊三角形．【點評】本題考查平行線的性質和判定，等邊三角形的判定，關鍵是由平行線的性質推出BE∥CD．19．（8分）某校為了解學生參加家務勞動的情況，隨機抽取了部分學生在某個休息日做家務的勞動時間t（單位：h）作為樣本，將收集的數據整理后分為A，B，C，D，E五個組別，其中A組的數據分別為：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，繪制成如下不完整的統計圖表．各組勞動時間的頻數分布表組別時間t/h頻數A0＜t≤0.55B0.5＜t≤1aC1＜t≤1.520D1.5＜t≤215Et＞28?請根據以上信息解答下列問題．（1）A組數據的眾數是0.4；（2）本次調查的樣本容量是60，B組所在扇形的圓心角的大小是72°；（3）若該校有1200名學生，估計該校學生勞動時間超過1h的人數．【分析】（1）利用眾數的定義即可得出答案；（2）由D組的人數及其所占百分比可得樣本容量，用360°乘以B組所占百分比即可；（3）用總人數乘以樣本中學生勞動時間超過1h的人數所占百分比即可．【解答】解：（1）∵A組的數據分別為：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，∴A組數據的眾數是0.4；故答案為：0.4；（2）本次調查的樣本容量是15÷25%＝60，∵a＝60﹣5﹣20﹣15﹣8＝12，∴B組所在扇形的圓心角的大小是360°×＝72°，故答案為：60，72°；（3）1200×＝860（人），答：估計該校學生勞動時間超過lh的大約有860人．【點評】本題考查頻數（率）分布表，扇形圖和利用統計圖獲取信息的能力．利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．20．（8分）?如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠ACB＝2∠BAC．（1）求證：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，，求⊙O的半徑．【分析】（1）利用圓周角定理可得，，結合∠ACB＝2∠BAC可證明結論；（2）過點O作半徑OD⊥AB于點E，可得AE＝BE，根據圓周角、弦、弧的關系可證得BD＝BC，結可求得BE＝2，，利用勾股定理可求解DE＝1，再利用勾股定理可求解圓的半徑．【解答】（1）證明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC；（2）解：過點O作半徑OD⊥AB于點E，∴AE＝BE，∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．∵AB＝4，，∴BE＝2，，在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴，在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝（OB﹣1）2+22，解得，即⊙O的半徑是．【點評】本題主要考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，圓心角、弦、弧的關系，掌握圓周角定理是解題的關鍵．21．（8分）如圖是由小正方形組成的8×6網格，每個小正方形的頂點叫做格點．正方形ABCD四個頂點都是格點，E是AD上的格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．（1）在圖（1）中，先將線段BE繞點B順時針旋轉90°，畫對應線段BF，再在CD上畫點G，并連接BG，使∠GBE＝45°；（2）在圖（2）中，M是BE與網格線的交點，先畫點M關于BD的對稱點N，再在BD上畫點H，并連接MH，使∠BHM＝∠MBD．?【分析】（1）取格點F，連接BF，連接EF，再取格點P，連接CP交EF于Q，連接BQ，延長交CD于G即可；（2）取格點F，連接BF、EF，交格線于N，再取格點P，Q，連接PQ交EF于O，連接MO并延長交BD于H即可．【解答】解：（1）如圖（1），線段BF和點G即為所求；理由：∵BC＝BA，CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝90°，∴△BCF≌△BAE（SAS），∴∠CBF＝∠ABE，∴∠FBE＝∠CBF+∠CBE＝∠ABE+∠CBE＝∠CBA＝90°，∴線段BE繞點B順時針旋轉90°得BF，∵PE∥FC，∴∠PEQ＝∠CFQ，∠EPQ＝∠FCQ，∵PE＝FC，∴△PEQ≌△CFO（ASA），∴EQ＝FQ，∴∠GBE＝EBF＝45°；（2）如圖（2）所示，點N與點H即為所求，理由：∵BC＝BA，∠BCF＝∠BAE＝90°，CF＝AE，∴△BCF≌△BAE（SAS），∴BF＝BE，∵DF＝DE，∴BF與BE關于BD對稱∵BN＝BM，∴M，N關于BD對稱，∵PE/FC，∴△POE∽△QOF，∴，∵MG∥AE∴，∴，∵∠MEO＝∠BEF，∴△MEO∽△BEF，∴∠EMO＝∠EBF，∴OM∥BF，∴∠MHB＝∠FBH，由軸對稱可得∠FBH＝∠EBH，∴∠BHM＝∠MBD．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換，軸對稱變換，勾股定理、勾股定理的逆定理，全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握旋轉和軸對稱的性質．22．（10分）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機，通過實驗，收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離x（單位：m）、飛行高度y（單位：m）隨飛行時間t（單位：s）變化的數據如表．飛行時間t/s02468…飛行水平距離x/m010203040…飛行高度y/m022405464…探究發現x與t，y與t之間的數量關系可以用我們已學過的函數來描述．直接寫出x關于t的函數解析式和y關于t的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）．問題解決如圖，活動小組在水平安全線上A處設置一個高度可以變化的發射平臺試飛該航模飛機．根據上面的探究發現解決下列問題．（1）若發射平臺相對于安全線的高度為0m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；（2）在安全線上設置回收區域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飛機落到MN內（不包括端點M，N），求發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．【分析】探究發現：根據待定系數法求解即可；問題解決：（1）令二次函數y＝0代入函數解析式即可求解；（2）設發射平臺相對于安全線的高度為nm，則飛機相對于安全線的飛行高度．結合25＜t＜26，即可求解．【解答】解：探究發現：x與t是一次函數關系，y與t是二次函數關系，設x＝kt，y＝ax2+bx，由題意得：10＝2k，，解得：k＝5，，∴問題解決：（1）依題意，得．解得，1＝0（舍），t2＝24，當t＝24時，x＝120．答：飛機落到安全線時飛行的水平距離為120m．（2）設發射平臺相對于安全線的高度為nm，飛機相對于安全線的飛行高度∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26．在中，當t＝25，y′＝0時，n＝12.5；當t＝26，y′＝0時，n＝26．∴12.5＜n＜26．答：發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍是大于12.5m且小于26m．【點評】本題考查一次函數的應用，二次函數的應用等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．23．（10分）問題提出如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于點G，探究∠GCF與α的數量關系．問題探究（1）先將問題特殊化，如圖（2），當α＝90°時，直接寫出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數量關系．問題拓展將圖（1）特殊化，如圖（3），當α＝120°時，若，求的值．【分析】問題探究（1）如圖（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．證明△EAJ≌△FEC（SAS），推出∠AJE＝∠ECF，可得結論；（2）結論：∠GCF＝α﹣90°；在AB上截取AN，使AN＝EC，連接NE．證明方法類似；問題拓展解：過點A作CD的垂線交CD的延長線于點P，設菱形的邊長為3m．用m表示出BE，CE，可得結論．【解答】解：問題探究（1）如圖（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，∵BJ＝BE，∴AJ＝EC，∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠CEF＝∠EAJ，∵EA＝EF，∴△EAJ≌△FEC（SAS），∴∠AJE＝∠ECF，∵∠BJE＝45°，∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，∴∠ECF＝135°，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；（2）結論：∠GCF＝α﹣90°；理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，連接NE．∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，∴∠EAN＝∠FEC．∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF（SAS）．∴∠ANE＝∠ECF．∵AB＝BC，∴BN＝BE．∵∠EBN＝α，∴，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；問題拓展：過點A作CD的垂線交CD的延長線于點P，設菱形的邊長為3m．，∴DG＝m，CG＝2m．在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADP＝60°，∴m，，∴α＝120°，由（2）知，，∵∠AGP＝∠FGC，∴△APG∽△FCG．∴，∴，∴，由（2）知，，∴．∴．【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了菱形的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題．24．（12分）拋物線交