湖南省郴州市匯文中學高二數學文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.用數學歸納法證明“”時，由n=k不等式成立，證明n=k+1時，左邊應增加的項數是（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1參考答案：C【考點】RG：數學歸納法．【分析】比較由n=k變到n=k+1時，左邊變化的項，即可得出結論．【解答】解：用數學歸納法證明等式”時，當n=k時，左邊=1+++…+，那么當n=k+1時，左邊=1+++…+，∴由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊增加了共2k+1﹣2k=2k項，故選：C．【點評】本題考查數學歸納法，考查觀察、推理與運算能力，屬于中檔題．2.已知，且，則的值為（A）

（B）或

（C）

（D）或參考答案：【知識點】同角三角函數基本關系式、三角函數的性質【答案解析】C解析：解：因為0＜＜1，而，得，所以，則選C【思路點撥】熟悉的值與其角θ所在象限的位置的對應關系是本題解題的關鍵.3.從一塊短軸成為2m的橢圓形板材中截取一塊面積最大的矩形，若橢圓的離心率為e，且e∈[，]，則該矩形面積的取值范圍是（）A．[m2，2m2] B．[2m2，3m2] C．[3m2，4m2] D．[4m2，5m2]參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質．【分析】在第一象限內取點（x，y），設x=acosθ，y=bsinθ，表示出圓的內接矩形長和寬，可得矩形的面積，由e∈[，]，∴?2b≤a≤，得：4b2≤2ab≤5b2即可【解答】解：在第一象限內取點（x，y），設x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）則橢圓的內接矩形長為2acosθ，寬為2bsinθ，內接矩形面積為2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab，橢圓的離心率為e，且e∈[，]，∴?2b≤a≤，得：4b2≤2ab≤5b2，矩形面積的取值范圍是[4m2，5m2]．故選：D．4.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓于A．B兩點．若AB的中點坐標為（1，﹣），則E的方程為（）A．+y2=1 B．+=1C．+=1 D．+=1參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質．【分析】設A點坐標的（x1，y1），B點坐標為（x2，y2），可得=1，=1，兩式相減得，+=0，再利用中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．【解答】解：設A點坐標的（x1，y1），B點坐標為（x2，y2），∴=1，=1，兩式相減得，+=0，∵x1+x2=2，y1+y2=，k===．∴=，又∵c2=a2﹣b2=10b2﹣b2=9b2，c2=9，∴b2=1，a2=10，即標準方程為=1．故選：A5.已知函數是R上的奇函數，且，那么等于(

)

A．－1

B．0

C．1

D．2參考答案：A略6.已知橢圓，以及橢圓內一點P(4,2),則以P為中點的弦所在的直線斜率為A．

B．

C．2

D．-2

參考答案：B略7.已知A，B，C，D四點在同一個球的球面上，，，若四面體ABCD體積的最大值為3，則這個球的表面積為（

）A.4π B.8π C.16π D.32π參考答案：C【分析】由底面積不變,可得高最大時體積最大,

即與面垂直時體積最大,設球心為,半徑為,在直角中,利用勾股定理列方程求出半徑，即可求出球的表面積.【詳解】根據,可得直角三角形的面積為3,其所在球的小圓的圓心在斜邊的中點上,設小圓的圓心為,

由于底面積不變,高最大時體積最大,

所以與面垂直時體積最大,最大值為為,

即,如圖,設球心為,半徑為,則在直角中,即,

則這個球的表面積為,故選C.【點睛】本題主要考球的性質、棱錐的體積公式及球的表面積公式，屬于難題.球內接多面體問題是將多面體和旋轉體相結合的題型，既能考查旋轉體的對稱形又能考查多面體的各種位置關系，做題過程中主要注意以下兩點：①多面體每個面都分別在一個圓面上，圓心是多邊形外接圓圓心；②注意運用性質.8.等差數列中，前10項和，則其公差d=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.若，則的值為（） A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點】二項式定理的應用． 【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理． 【分析】在所給的等式中，分別令x=1，x=﹣1，可得兩個式子，再把這兩個式子相乘，即得所求． 【解答】解：在中， 令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4=， 再令x=﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4=， 兩量式相乘可得則==1， 故選：A． 【點評】本題主要考查二項式定理的應用，在二項展開式中，通過給變量賦值，求得某些項的系數和，是一種簡單有效的方法，屬于基礎題． 10.某圓的圓心在直線上，并且在兩坐標軸上截得的弦長分別為4和8，則該圓的方程為（

） A. B.C.D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數的最小值為3，則a=__________．參考答案：2【分析】根據導數可判斷出函數的單調性，從而可知當時函數取最小值，代入得，從而求得結果.【詳解】函數，，由得：或（舍去）當時，，單調遞減；當時，，單調遞增當時，取極小值，即最小值：的最小值為

，解得：本題正確結果：2【點睛】本題考查根據函數的最值求解參數的問題，關鍵是能夠利用導數得到函數的單調性，從而根據單調性得到最值點.12.若變量滿足條件，則的最小值為

參考答案：略13.已知,，、均為銳角，則等于▲.參考答案：14.曲線上的點到直線的最短距離是___________參考答案：略15.函數f（x）=1+lgx+（0＜x＜1）的最大值是．參考答案：﹣5【考點】函數的最值及其幾何意義．【分析】由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，則f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]，由基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，則f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]≤1﹣2=1﹣6=﹣5，當且僅當lgx=﹣3即x=10﹣3，取得等號，即有f（x）的最大值為﹣5．故答案為：﹣5．【點評】本題考查函數的最值的求法，注意運用基本不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，考查運算能力，屬于基礎題．16.在直角三角形ABC中，∠C為直角，兩直角邊長分別為a，b，求其外接圓半徑時，可采取如下方法：將三角形ABC補成以其兩直角邊為鄰邊的矩形，則矩形的對角線為三角形外接圓的直徑，可得三角形外接圓半徑為；按此方法，在三棱錐S﹣ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，且長度分別為a，b，c，通過類比可得三棱錐S﹣ABC外接球的半徑為．參考答案：略17.設θ∈R，則“sinθ=0”是“sin2θ=0”的

條件．（選填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）參考答案：充分不必要根據充分條件和必要條件的定義，結合三角函數的倍角公式進行判斷即可．解：當sinθ=0時，sin2θ=2sinθcosθ=0成立，即充分性成立，當cosθ=0，sinθ≠0時，滿足sin2θ=2sinθcosθ=0，但sinθ=0不成立，即必要性不成立，即“sinθ=0”是“sin2θ=0”的充分不必要條件，故答案為：充分不必要三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知橢圓的離心率為，橢圓短軸長為.

（1）求橢圓的方程；（2）已知動直線與橢圓相交于、兩點.①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；②若點，求證：為定值。參考答案：.解：（1）因為滿足，。解得，則橢圓方程為

（2）（1）將代入中得

因為中點的橫坐標為，所以，解得

（2）由（1）知，所以

；=

略19.（本小題滿分12分）已知橢圓的一個焦點為，且長軸長與短軸長的比是.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設點在橢圓的長軸上，點是橢圓上任意一點,記||的最小值為.若關于實數的方程有解，請求實數的取值范圍．參考答案：

根據及－4≤x≤4.對4m進行討論，可得||2的最小值，從而可得||的最小值為易得的值域為又由得∴故實數t的取值范圍為

20.已知曲線M上的動點到定點距離是它到定直線距離的一半．（1）求曲線M的方程；（2）設過點且傾斜角為的直線與曲線M相交與A、B兩點，在定直線l上是否存在點C，使得，若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由．參考答案：（1）；（2）不存在.【分析】（1）由題意列出關于x，y的關系式，整理即可得到曲線M的方程；（2）首先可根據題意得出直線的方程為，然后與橢圓方程聯立，求得、點坐標，再然后假設在定直線上存在點，使得，即可通過題意中的列出方程，最后通過觀察方程無實數解即可得出結果。【詳解】（1）由題意可得，，化簡得，曲線M的方程為；（2）由題意可知直線的方程為，設點，由，得，解得，，，分別代入，得．即點，假設在定直線上存在點，使得，則，因為，所以，整理得，因為，所以上述方程無實數解，即在定直線l上不存在點C，使得。【點睛】本題圓錐曲線的相關性質，主要考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，考察方程思想，是中檔題。21.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．

（1）求b的值；

（2）求sinC的值．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】計算題．【分析】（1）由a，c以及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用余弦定理表示出cosC，把a，b，c的值代入求出cosC的值，由C的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sinC的值即可．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，且a=2，c=3，cosB=，代入得：b2=22+32﹣2×2×3×=10，∴b=．（2）由余弦定理得：cosC===，∵C是△ABC的內角，∴sinC==．【點評】此題的解題思想是利用余弦定理建立已知量