2024-2025學年吉林省吉林市高新區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（每題2分，共12分）1．（2分）下列甲骨文中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．解：A．是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；C．是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D．是軸對稱圖形，故本選項不合題意；故選：B．2．（2分）已知一粒米的重量約0.000021千克，將數(shù)據(jù)0.000021用科學記數(shù)法表示為（）A．0.21×10﹣4 B．2.1×10﹣4 C．2.1×10﹣5 D．21×10﹣6解：0.000021＝2.1×10﹣5，故選：C．3．（2分）下列運算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．（a+b）2＝a2+b2 D．解：A、由同底數(shù)冪的乘法運算法則可得a2?a3＝a5≠a6，計算錯誤，不符合題意；B、由冪的乘方運算法則可得（a2）3＝a6≠a5，計算錯誤，不符合題意；C、由完全平方和公式可得（a+b）2＝a2+2ab+b2≠a2+b2，計算錯誤，不符合題意；D、由負整數(shù)指數(shù)冪運算可知，計算正確，符合題意；故選：D．4．（2分）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明∠A'O'B'＝∠AOB的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA解：由作圖可知，OC＝O'C'＝OD＝O'D'，CD＝C'D'，∴△COD≌△C'O'D'（SSS）．故答案為：A．5．（2分）一個多邊形的內角和比它的外角和的2倍少180°，這個多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8解：設這個多邊形為n邊形，由題意得，（n﹣2）×180°＝360°×2﹣180°，解得n＝5，即這個多邊形為五邊形，故選：A．6．（2分）如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的長方形，根據(jù)圖形的變化過程寫出正確的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣ab＝a（a﹣b） C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2解：第一個圖形陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個圖形的面積是（a+b）（a﹣b）．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：A．二、填空題（每題3分，共24分）7．（3分）要使分式有意義，則x的取值范圍是x≠1．解：由題意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故答案為：x≠1．8．（3分）分解因式：3a2﹣27＝3（a+3）（a﹣3）．解：3a2﹣27＝3（a2﹣9）＝3（a+3）（a﹣3）．故答案為：3（a+3）（a﹣3）．9．（3分）大橋鋼架、索道支架、人字梁等為了堅固，都采用三角形結構，這是根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性．解：大橋鋼架、索道支架、人字梁等為了堅固，都采用三角形結構，這是根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．10．（3分）已知點A（a，b）關于x軸對稱點的坐標是（a，﹣12），關于y軸對稱點的坐標是（5，b），則A點的坐標是（﹣5，12）．解：∵已知點A（a，b）關于x軸對稱點的坐標是（a，﹣12），∴b＝12，∵關于y軸對稱點的坐標是（5，b），∴a＝﹣5，∴則A點的坐標是（﹣5，12）．故答案為：（﹣5，12）．11．（3分）如圖，以△ABC的頂點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC邊于點D，連接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠DAC的大小為34度．解：∵∠B＝40°，∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°∵AB＝BD∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°故答案為：34．12．（3分）如圖，△ABC的周長為19cm，AC的垂直平分線DE交BC于D，E為垂足，AE＝3cm，則△ABD的周長為13cm．解：∵AC的垂直平分線DE交BC于D，E為垂足∴AD＝DC，AC＝2AE＝6cm，∵△ABC的周長為19cm，∴AB+BC＝13cm∴△ABD的周長＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13cm．故填13．13．（3分）如圖，△ABC≌△DEC，∠ACB＝60°，∠BCD＝100°，點A恰好落在線段ED上，則∠B的度數(shù)為50度．解：∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE＝∠ACB＝60°，AC＝CD，∠D＝∠BAC，∴∠D＝∠DAC，∵∠BCD＝100°，∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝100°﹣60°＝40°，∴∠BAC＝∠D（180°﹣40°）＝70°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°，故答案為：50．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，BC＝5，CD平分∠ACB，如果點P，點Q分別為CD，AC上的動點，那么AP+PQ的最小值是．解：過點A作AE⊥BC交于E點，交DC于P點，過點P作PQ⊥AC交于Q點，∵CD平分∠ACB，∴PE＝PQ，∴AP+PQ＝AP+PE＝AE，此時AP+PQ的值最小，∵△ABC的面積3×45×AE，∴AE，∴AP+PQ的值最小為，故答案為：．三、解答題（每題5分，共20分）15．（5分）計算：x（x+2y）﹣（y﹣3x）（x+y）．解：原式＝x2+2xy﹣（xy+y2﹣3x2﹣3xy）＝x2+2xy+2xy﹣y2+3x2＝4x2+4xy﹣y2．16．（5分）解方程：．解：，去分母得：x﹣7+（x﹣2）＝﹣7，去括號得：x﹣7+x﹣2＝﹣7，移項，合并同類項得：2x＝2，解得：x＝1，經檢驗，x＝1是分式方程的解，故原分式方程的解為：x＝1．17．（5分）如圖，把R1、R2、R3三個電阻串聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1+IR2+IR3．當R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5時，則U的值為220．解：由題意可得：U＝IR1+IR2+IR3＝I（R1+R2+R3），當R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5時，原式＝2.5×（19.7+32.4+35.9）＝220．故答案為：220．18．（5分）如圖AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求證：∠A＝∠D．證明：∵AE＝BD，∴AE+BE＝DB+BE，即AB＝DE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A＝∠D．四、解答題（每題7分，共28分）19．（7分）某學生化簡分式出現(xiàn)了錯誤，其解答過程如下：原式（第一步）（第二步）．（第三步）（1）該學生解答過程是從第二步開始出錯的，其錯誤原因是括號前是負號，去括號時未變號；（2）請寫出此題正確的解答過程．解：（1）學生的解答過程從第二步出現(xiàn)錯誤，原因是括號前是負號，去括號時未變號，故答案為：二，括號前是負號，去括號時未變號；（2）原式．20．（7分）新能源汽車環(huán)保節(jié)能，越來越受到消費者的喜愛．各種品牌相繼投放市場，一汽貿公司經銷某品牌新能源汽車，去年A型車的銷售總額為5000萬元，今年每輛車的售價比去年減少2萬元，若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將比去年減少1000萬元．求今年每輛A型車的售價．解：設今年每輛車的銷售價格為x萬元，根據(jù)題意，得，解得：x＝8．檢驗：當x＝8時，x（x+2）≠0所以x＝8是原方程的解．答：今年每輛A型車的售價為8萬元．21．（7分）在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示．（1）點A關于x軸對稱的點在第四象限；（填“x”或“y”）（2）畫出與△ABC關于y軸對稱的△A'B'C'；（3）在x軸上作一點P，使其到點B，C的距離之和最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）解：（1）∵點A在第一象限，∴點A關于x軸對稱的點在第四象限．故答案為：x；（2）如圖所示，△A'B'C'即為所求；（3）如圖所示，點P即為所求．22．（7分）已知，如圖，△ABC為等邊三角形，點E在AC邊上，點D在BC邊上，并且AE＝CD，AD和BE相交于點M，BN⊥AD于點N．（1）求證：BE＝AD；（2）若MN＝3cm，ME＝1cm，則AD＝7cm．（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD，∵∠BAD+∠CAD＝60°，∴∠BAD+∠ABE＝60°，∴∠BMN＝60°，又∵BN⊥AD，∴∠BNM＝90°，∴∠MBN＝30°，∴BM＝2MN＝6cm，∴AD＝BE＝BM+ME＝7cm，故答案為：7．五、解答題（每題8分，共16分）23．（8分）如圖，在長為（4a﹣1）米、寬為（3b+2）米的長方形鐵片上，挖去一個長為（3a﹣2）米、寬為2b米的小長方形鐵片．（1）計算剩余部分（即陰影部分）的面積；（2）當a＝4，b＝3時，求圖中陰影部分的面積．解：（1）剩余部分（即陰影部分）的面積為：（4a﹣1）（3b+2）﹣2b（3a﹣2）＝12ab+8a﹣3b﹣2﹣6ab+4b＝（6ab+8a+b﹣2）（平方米）；（2）當a＝4，b＝3時，陰影部分的面積為6ab+8a+b﹣2＝6×4×3+8×4+3﹣2＝105（平方米）．24．（8分）【教材呈現(xiàn)】對于上述問題，在解答過程的空白處填上適當?shù)膬热荩ɡ碛苫驍?shù)學式）；如圖，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度數(shù)．解：∵BP平分∠ABC（已知），∴，同理可得∠PCB＝25°．∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形內角和定理），∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性質）＝115°．【問題推廣】（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點P，將△ABC沿DE折疊使得點A與點P重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC的角平分線與外角∠ACM的角平分線交于點P，過點C作CN⊥BP于點N，若∠A＝82°，則∠PCN＝49°．解：教材呈現(xiàn)：∵BP平分∠ABC（已知），∴，同理可得∠PCB＝25°，∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形內角和定理），∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性質），＝180°﹣40°﹣25°＝115°．故答案為：25，三角形內角和定理，115；問題推廣：（1）由折疊的性質可得∠ADE＝∠PDE，∠AED＝∠PED，∵∠1+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝100°，∠2+∠AEP＝180°，∴2∠AED+2∠ADE＝260°，∴∠AED+∠ADE＝130°，∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACB＝2∠PCB，∠ABC＝2∠PBC，∴2∠PBC+2∠PCB＝130°，即∠PBC+∠PCB＝65°，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°；（2）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠PCM，∠ABC＝2∠PBC，∵∠ACM＝∠A+∠ABC，即2∠PCM＝2∠PBC+∠A，∴，又∵∠PBC+∠P＝∠PCM，∴，∵CN⊥BP，∴∠CNP＝90°，∴∠PCN＝90°﹣41°＝49°．六、解答題（每題10分，共20分）25．（10分）[知識生成]通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．例如：如圖①是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．請解答下列問題：（1）觀察圖②，請你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系是（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）根據(jù)（1）中的等量關系解決如下問題：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值；[知識遷移]類似地，用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積，也可以得到一個恒等式．（3）根據(jù)圖③，寫出一個代數(shù)恒等式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的規(guī)律求的值．解：（1）用兩種方法表示出4個長方形的面積：即大正方形面積減中間小正方形面積等于4個長方形面積，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（2）由題（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣414．（3）利用兩種方式求解長方體得體積，即可得出關系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．（4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b），把a+b＝3，ab＝1代入得：a3+b3＝33﹣3×1×3＝18．∴9．26．（10分）如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發(fā)，點P沿射線AB運動，點Q沿折線BC﹣CA運動，且它們的速度都為1cm/s．當點Q到達點A時，點P隨之停止運動．連接PQ，PC，設點P的運動時間為t（s）．（1）當點Q在線段BC上運動時，BQ的長為t（cm），BP的長為6﹣t（cm）（用含t的式子表示）；（2）當PQ與△ABC的一條邊垂直時，求t的值；（3）在點Q從點C運動到點A的過程中，連接PQ，直接寫出PQ中點O經過的路徑長．解：（1）由題意BQ＝tcm，PB＝（6﹣t）cm．故答案為：t，