本資料分享自高中數學同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享專題20立體幾何綜合大題必刷100題任務一:善良模式(基礎)1-30題1．在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點.（1）求點到直線的距離；（2）求直線到平面的距離.2．如圖，正方形的邊長為2，的中點分別為C，，正方形沿著折起形成三棱柱，三棱柱中，.（1）證明:當時，求證：平面；（2）當時，求二面角的余弦值.3．如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱的長為5.（1）求三棱柱的體積；（2）設M是BC中點，求直線與平面ABC所成角的正切值.4．如圖，在三棱錐中，底面ABC，點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，，.（1）求證：平面BDE；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.5．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2.（1）設圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；（2）設，OA、OB是底面半徑，且，M為線段AB的中點，如圖.求異面直線PM與OB所成的角的余弦值.6．如圖所示，已知四棱錐中，四邊形為正方形，三角形為正三角形，側面底面，M是棱的中點．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．7．已知點，分別是正方形的邊，的中點.現將四邊形沿折起，使二面角為直二面角，如圖所示.（1）若點，分別是，的中點，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.8．已知如圖1所示，等腰中，，，為中點，現將沿折痕翻折至如圖2所示位置，使得，、分別為、的中點．（1）證明：平面；（2）求四面體的體積．9．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BC=BB1=4，，且∠BCC1=60°.（1）求證：平面ABC1⊥平面BCC1B1：（2）設二面角C-AC1-B的大小為θ，求sinθ的值.10．如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，∠BAD=90°，已知，.（1）證明：；（2）若二面角的余弦值為，求四棱錐的體積.11．如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和側面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（1）求證：平面CC1D1D⊥底面ABCD；（2）若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，求線段ED1的長度．12．如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，平面平面，是斜邊的長為的等腰直角三角形，，分別是棱，的中點，是棱上一點．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求銳二面角的余弦值．13．如圖所示，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側面底面，，F在側棱上，且平面．（1）求證：平面；（2）求點D到平面的距離．14．在三棱錐B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求點D到平面ABC的距離．15．如圖，在長方體中，，，為棱的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.16．如下圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求與所成角的余弦值；（2）求證：．17．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．18．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．如圖，（I）求證（II）設20．如圖，在四棱錐中，底面，，點在線段上，且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，，求四棱錐的體積.21．如圖，直三棱柱，，點M，N分別為和的中點．(Ⅰ)證明：∥平面;(Ⅱ)若二面角為直二面角，求的值．22．如圖，在三棱錐中,側面與側面均為等邊三角形,為中點.（Ⅰ）證明：平面（Ⅱ）求二面角的余弦值.23．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點．(1)證明：MN∥平面ABCD；(2)過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．24．如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．25．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當PA∥平面BDE時，求三棱錐E－BCD的體積．26．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（Ⅰ）在平面PAD內找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；（Ⅱ）證明：平面PAB⊥平面PBD．27．如圖，在三棱臺ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.28．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且，.求證：（1）直線DE平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.29．如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點，D為的中點.（1）證明：；（2）求直線和平面所成的角的正弦值.30．如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點．（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明平面；（Ⅲ）求二面角的大?。蝿斩?中立模式(中檔)30-70題31．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分別是AD，CD的中點.（1）證明：BD⊥PF；（2）若AD=DB=2，求點C到平面PBD的距離；32．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分別是AD，CD的中點．（1）證明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值；33．如圖，在四棱錐E-ABCD中，ABCE，AECD，，AB=3，CD=4，AD=2BC=10.（1）證明：∠AED是銳角；（2）若AE=10，求二面角A-BE-C的余弦值.34．如圖，在直四棱柱中，（1）若為的中點，試在上找一點，使平面；（2）若四邊形是正方形，且與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.35．如圖1，已知為等邊三角形，四邊形為平行四邊形，，把沿向上折起，使點E到達點P位置，如圖2所示；且平面平面．（1）證明：；（2）在（1）的條件下求二面角的余弦值．36．如圖所示，在四棱錐中，平面，，四邊形為梯形，，，，，，，點在上，滿足.（1）求證：平面平面；（2）若點為的中點，求平面與平面所成角的余弦值.37．在四棱錐中，平面，，，，為的中點，在平面內作于點.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.38．在正方體中，點、分別在、上，且，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．39．如圖，在多面體中，均垂直于平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的余弦值.40．某商品的包裝紙如圖1，其中菱形的邊長為3，且，，，將包裝紙各三角形沿菱形的邊進行翻折后，點E，F，M，N匯聚為一點P，恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹．（1）證明底面；（2）設點T為BC上的點，且二面角的正弦值為，試求PC與平面PAT所成角的正弦值．41．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，側面底面，且PA=AB，.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.42．1.如圖，正方形所在平面與等邊所在平面成的銳二面角為，設平面與平面相交于直線．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．43．如圖，在四棱錐中，，，平面平面ABCD，點E在AD上，且，.（1）求證：.（2）設平面平面，求二面角的余弦值.44．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，M，N分別為，的中點，．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．45．如圖，已知點在圓柱的底面圓上，，圓的直徑，圓柱的高.（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的余弦值大小.46．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，點P為棱B1C1的中點，點Q為線段A1B上的一動點.（1）求證:當點Q為線段A1B的中點時，PQ⊥平面A1BC；（2）設=λ，試問:是否存在實數λ，使得平面A1PQ與平面B1PQ的夾角的余弦值為？若存在，求出這個實數λ；若不存在，請說明理由.47．如圖，在三棱錐中，底面，，，．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，過點作于，求直線與平面所成角的大?。?8．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.（1）求證：直線平面；（2）設點在線段上，且二面角的余弦值為，求點到底面的距離.49．如圖，在三棱錐中，底面是邊長2的等邊三角形，，點F在線段BC上，且，為的中點，為的中點.(Ⅰ)求證：//平面；(Ⅱ)若二面角的平面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.50．如圖，直四棱柱的底面是菱形，側面是正方形，，經過對角線的平面和側棱相交于點，且．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．51．直角梯形繞直角邊旋轉一周的旋轉的上底面面積為，下底面面積為，側面積為，且二面角為，，分別在線段，上．（Ⅰ）若，分別為，中點，求與所成角的余弦值；（Ⅱ）若為上的動點、為的中點，求與平面所成最大角的正切值，并求此時二面角的余弦值．52．正多面體也稱柏拉圖立體，被喻為最有規律的立體結構，其所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）．數學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個正四面體和一個正八面體的棱長都是a（如圖），把它們拼接起來，使它們一個表面重合，得到一個新多面體．（1）求新多面體的體積；（2）求二面角的余弦值；（3）求新多面體為幾面體？并證明．53．中國是風箏的故鄉，南方稱“鷂”，北方稱“鳶”，如圖，某種風箏的骨架模型是四棱錐，其中于，，，平面．（1）求證：；（2）試驗表明，當時，風箏表現最好，求此時直線與平面所成角的正弦值．54．在陜西漢中勉縣的漢江河與定軍山武侯坪一帶，經常出土有銅、鐵扎馬釘等兵器文物.扎馬釘（如題21圖（1））是三國時蜀漢的著名政治家、軍事家諸葛亮所發明的一種對付騎兵的武器，狀若荊刺，故學名蒺藜，有銅、鐵兩種.扎馬釘有四個鋒利的尖爪，隨手一擲，三尖撐地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始終如此，使觸者不能避其鋒而被刺傷.即總有一個尖垂直向上，三尖對稱支承于地.簡化扎馬釘的結構，如圖（2），記組成該“釘”的四條等長的線段公共點為，釘尖為（）．（Ⅰ）判斷四面體的形狀特征；（Ⅱ）若某個出土的扎馬釘因年代久遠，有一尖爪受損，其長度僅剩其他尖爪長度的（即），如圖（3），將，，置于地面，求與面所成角的正弦值.55．正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規律的立體結構，其所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個正四面體和一個正八面體的棱長都是（如圖），把它們拼接起來，使它們一個表面重合，得到一個新多面體.（1）求新多面體的體積；（2）求正八面體中二面角的余弦值；（3）判斷新多面體為幾面體？（只需給出答案，無需證明）56．如圖，已知在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，為棱上一點，與交于點，且，，，．（1）證明：；（2）是否存在點，使二面角的余弦值為？若存在，求出點位置，若不存在，請說明理由．57．如圖，在三棱柱中點，在棱上，點F在棱CC1上，且點均不是棱的端點，平面且四邊形與四邊形的面積相等.（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.58．如圖，在三棱臺中，側棱平面點在棱上，且（1）證明：平面；（2）當二面角的余弦值為，求的值.59．在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，點M在棱上，點N是BC的中點，且滿足.（1）證明：AM⊥平面；（2）若M是的中點，求二面角的正弦值.60．在四棱錐中，四邊形是邊長為4的菱形，，.（1）證明：平面；（2）如圖，取的中點為，在線段上取一點使得，求二面角的大小.61．如圖，在底面是菱形的四棱柱中，，，點在上．（1）求證：平面；（2）當為線段的中點時，求點到平面的距離．62．已知四棱錐的底面是菱形，對角線、交于點，，，底面，設點滿足．（1）若三棱錐體積是，求的值；（2）若直線與平面所成角的正弦值是，求的值．63．光學器件在制作的過程中往往需要進行切割，現生產一種光學器件，有一道工序為將原材料切割為兩個部分，然后在截面上涂抹一種光觸媒化學試劑，加入納米纖維導管后粘合.在如圖所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，現經過AB作與底面ABC所成角為θ的截面，且截面與B'C'，A'C'分別交于不同的兩點E，F．（1）試求截面面積S隨θ變化的函數關系式S（θ）；（2）當E和F分別為和的中點時，需要在線段AF上尋找一個點Q，用納米纖維導管連接EQ，使得EQ與AB'所在直線的夾角最小，試求出纖維導管EQ的長．64．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，且E，M分別為BC，PD的中點，點F為棱PC上一動點．（1）證明：平面AEF⊥平面PAD．（2）若AB＝PA，在線段PC上是否存在一點F，使得二面角F﹣AE﹣M的正弦值為？若存在，試確定F的位置；若不存在，說明理由．65．如圖，三棱柱中，，，．（1）求證：為等腰三角形；（2）若，，點在線段上，設，若二面角的余弦值為，求的值．66．如圖，四棱錐中，底面為菱形，，，平面，．（1）點E在線段PC上，，點F在線段PD上，，求證：平面；（2）設M是直線AC上一點，求CM的長，使得MP與平面PCD所成角為．67．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側棱底面，，，為的中點，點在棱上，且．（1）求直線與直線所成角的余弦值；（2）當直線與平面所成的角最大時，求此時的值．68．如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，且，，，M為的中點，平面平面，直線與平面所成角的正切值為.（1）求四棱錐的體積；（2）在棱上(不含端點)是否存在一點Q，使得二面角的余弦值為？若存在，請確定點Q的位置；若不存在，請說明理由.69．已知四棱錐中，底面是平行四邊形，，分別是的中點，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.70．如圖，矩形中，，將其沿翻折，使點到達點的位置，且二面角為直二面角.（1）求證：平面平面；（2）設是的中點，二面角的平面角的大小為，當時，求的取值范圍.任務三:邪惡模式(困難)70-100題71．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面底面，，分別為中點，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．72．請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.①；②；③點在平面的射影在直線上.如圖，平面五邊形中，是邊長為的等邊三角形，，，，將沿翻折成四棱錐，是棱上的動點（端點除外），分別是的中點，且___________.（1）求證：；（2）當與平面所成角最大時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.73．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結構是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；（2）若正六棱柱的側面積一定，當蜂房表面積最小時，求其頂點的曲率的余弦值．74．2022年北京冬奧會標志性場館——國家速滑館的設計理念來源于一個冰和速度結合的創意，沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運動員高速滑動時留下的一圈圈風馳電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會.其中“冰絲帶”呈現出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，這種造型富有動感，體現了冰上運動的速度和激情這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間幾何體，其設計參數包括曲率、撓率、面積體積等對幾何圖形的面積、體積計算方法的研究在中國數學史上有過輝煌的成就，如《九章算術》中記錄了數學家劉徽提出利用牟合方蓋的體積來推導球的體積公式，但由于不能計算牟合方蓋的體積并沒有得出球的體積計算公式直到200年以后數學家祖沖之、祖眶父子在《綴術》提出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，才利用牟合方蓋的體積推導出球的體積公式原理的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推導半徑為的球的體積公式時，可以構造如圖②所示的幾何體，幾何體的底面半徑和高都為，其底面和半球體的底面同在平面內.設與平面平行且距離為的平面截兩個幾何體得到兩個截面，請在圖②中用陰影畫出與圖①中陰影截面面積相等的圖形并給出證明；

（Ⅱ）現將橢圓所圍成的橢圓面分別繞其長軸、短軸旋轉一周后得兩個不同的橢球，（如圖），類比（Ⅰ）中的方法，探究橢球的體積公式，并寫出橢球，的體積之比.75．如圖，已知邊長為2的正方形材料，截去如圖所示的陰影部分后，可焊接成一個正四棱錐的封閉容器.設.（1）用表示此容器的體積；（2）當此容器的體積最大時，求的值.76．如圖，在四面體中，，平面與平面垂直且.（1）若，證明：；（2）若，當與面積之和最大時，求二面角的余弦值.77．某人設計了一個工作臺，如圖所示，工作臺的下半部分是個正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面邊長為4，高為1，工作臺的上半部分是一個底面半徑為的圓柱體的四分之一．（1）當圓弧E2F2（包括端點）上的點P與B1的最短距離為5時，證明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．當點P在圓弧E2E2（包括端點）上移動時，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范圍．78．平面凸六邊形的邊長相等,其中為矩形,．將,分別沿,折至,,且均在同側與平面垂直,連接,如圖所示,E,G分別是,的中點．（1）求證：多面體為直三棱柱；（2）求二面角平面角的余弦值．79．如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面，分別是的中點.（1）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關系，并加以證明；（2）設（1）中的直線與圓的另一個交點為，且點滿足.記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證：.80．已知，圖中直棱柱的底面是菱形，其中.又點分別在棱上運動，且滿足：，.（1）求證：四點共面，并證明∥平面.（2）是否存在點使得二面角的余弦值為？如果存在，求出的長；如果不存在，請說明理由.81．如圖1，與是處在同-個平面內的兩個全等的直角三角形，，，連接是邊上一點，過作，交于點，沿將向上翻折，得到如圖2所示的六面體（1）求證：（2）設若平面底面，若平面與平面所成角的余弦值為，求的值；（3）若平面底面，求六面體的體積的最大值.82．設三棱錐的每個頂點都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，，，且平面平面.（1）確定的位置（需要說明理由），并證明：平面平面.（2）與側面平行的平面與棱，，分別交于，，，求四面體的體積的最大值.83．如圖，在三棱柱中，平面，是的中點，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值.84．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內接正三角形，且邊長為在母線上，且．（1）求證：平面平面；（2）設線段上動點為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．85．如圖，三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，側面底面，且側面為菱形，.（1）求二面角所成角的正弦值.（2）分別是棱，的中點，又.求經過三點的平面截三棱柱的截面的周長.86．如圖，在三棱臺中，底面是邊長為2的正三角形，側面為等腰梯形，且，為的中點．（1）證明：；（2）記二面角的大小為，時，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．87．如圖，在四棱錐中，，分別是，的中點，，，，，，，，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．88．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點的面．（1）如圖1，已知長方體A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，，點P為底面A1B1C1D1內的一個動點，則求四棱錐P﹣ABCD在點P處的離散曲率的最小值；（2）圖2為對某個女孩面部識別過程中的三角剖分結果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點，然后用短小的直線段連接相鄰三個采樣點形成三角形網格．區域α和區域β中點的離散曲率的平均值更大的是哪個區域？（確定“區域α”還是“區域β”）89．如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，．（1）證明：；（2）當直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時二面角的大小．90．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容．用曲率刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為．（1）求四棱錐的總曲率；（2）若多面體滿足：頂點數-棱數+面數，證明：這類多面體的總曲率是常數．91．已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面與直線，，分別交于點，，且，點在直線上，為的中點，且直線平面.（1）設，，，試用基底表示向量；（2）證明，四面體中至少存在一個頂點從其出發的三條棱能夠組成一個三角形；（3）證明，對所有滿足條件的平面，點都落在某一條長為的線段上.92．如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.93．如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結構圖，由正六棱錐和構成，兩個棱錐的側棱長均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態，下頂點與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設金屬條的總長為y．（1）設∠O1AO=(rad