#據題意，mA=mB，初瞬時“120。，桿AB所受的力為FAB7-7質量為m的小球以水平速度卩0射入靜水之中。如水對小球的阻力F與小球速度v的方向相反，且與速度的大小成正比，即F=-円，卩為阻尼系數。忽略水對小球的浮力，試分析小球在重力和阻力作用下的運動。解：取小球為研究對象，列出動力學方程mr=F+mg，投影式為mx=x，my=y+mg初始條件：x=y=0，X=v,y=0.t=0t=0t=00t=0解上述初值問題，得小球在重力和阻力作用下的運動方程為mvx=——01一emgm2g，y=t一卩卩27-8滑塊M的質量為m,在半徑為R的固定光滑圓環上滑動。圓環位于鉛垂平面內。滑塊M上系有一彈性繩，它穿過圓環的點O固定于A。已知當滑塊在點O時，繩的張力為零。彈性繩每伸長1(cm)需力c(N)。開始時滑塊在圓環的頂端點B,處在不穩定平衡狀態，當它受到微小擾動時，沿圓環滑下，申為繩的OM部分與水平線的夾角，如圖所示。試求滑塊M的下滑速度v與申角的關系以及圓環的約束力。解：取滑塊M為研究對象，受力圖如圖示的動力學方程，ma=—Fcoe—mgsii2e，tTv2m=一F+FsiiP—mgco2eRNT式中，a=2R?，F=2cRsinp.初始條件為tTp=，p=0.t=02t=0列出切線和法線方向a)(b)、、.dcp解此初值問題.關系利用e=e」，積分式(a)d申卜2mR(pdtp=卜(cR+mg)sii2ede，0冗2.丄i11(cR__e=±cosei———+g，\|RIm丿得滑塊m的下滑速度v與e角的關系v=2R(p=2cosp11(cR)|R—+gJ5丿，(與T方向相反).從（b）式解得圓環的約束力、o2sp-mgco2sp.F—2cRsinpo2sp-mgco2sp.N7-9作用有簡諧激振力F，并帶有阻尼元件的彈簧質量系統如圖所示。設質點的質量為m=350kg，彈簧的剛度為k=20kN/m，簡諧激振力振幅的大小H=100N，激振頻率f=2.5Hz,阻尼元件的阻尼系數c=1600N?s/m，試求系統受迫振動的振幅，受迫振動相位滯后激振力相位角和受迫振動的方程。11o解：選取平衡位置為坐標原點，x軸垂直向下，i11o彈性恢復力F=-kxi,k粘性阻尼力F=-cxi,c簡諧激振力F=Hsinwti質點運動微分方程的為mx+cx+2kx=Hsinwt化作標準形式x+2nx+w2化作標準形式x+2nx+w2x=hsinwtkHw2—，h—，w=2兀f，nmm其中n=￡2m振幅為b「V受迫振動相位滯后激振力相位角9的正切為2nwta9=—

w2-w2n12—w2丸+4n2W2n代入數據，得b—1.90mm,9——0.50rad.受迫振動的方程為x—1.90sin(15.71t-0.50)mm習題7-9題7-11題7-117-10質量為m的質點在水平面的上空受斥力的作用而處于懸浮狀態，斥力的大小與質點到這平面的距離成反比，比例系數為九求質點在平衡位置附°近作豎向微振動的運動微分方程。徳解：以質量為m的質點為研究對象，以斥力為零的水平面為坐標原點，斥力為F—-，受力圖如圖示，運動微分方程為x質點受力圖九mx—一一mg.x7-11在圖示振動系統中，已知：重物A的質量m=1kg，兩串聯彈簧的剛度系數分別為k1=12N/cm,k2=4N/cm，0=30。，斜面摩擦不計，在彈簧沒有變形時將重物A無初速地釋放，同時B端以g=1.5sin（10t）cm沿斜面運動。試求重物A的運動方程。解：取重物A為研究對象，串聯彈簧的等效剛度系數k滿足

111=+kkk12解得k=3N/cm,FFmge建立與B固結的動坐標系B-x'y'，坐標原點選在A的相對經平衡位置。牽連慣性力為F=-mi=0.15msin（10t）N，e列出相對運動動力學方程mX=mgsin30。+0.15msin(10t)-k6+x'),st"X'=0.15sin^0t)-300',通解為()()x'=Asin(0^'31)+Bcos(0p31)+7.5x10-4sinGot)根據初始條件：x'=0,x'|t=01A8x1滑塊受力圖m|=0，解得重物A的相對運t=0動方程x'=0.43sin(17.3A8x1滑塊受力圖m|=0，解得重物A的相對運t=0動方程7-12傾角為0的楔塊A的質量為mA，靜止地置于光滑的水平面上，物塊B的質量為mB，放在楔塊A的光滑斜面上，B如圖所示。當無初速地釋放物塊B后，求楔塊A與物塊B之間相互作用力的大小。解：1）取楔塊A為研究對象，列出水平方向的動力學方程ma=F'si?AeN2）取物塊B為研究對象，物塊B作合成運動，以楔塊A為動系。列出動力學方程)m(aco8—a)=Fsii9，BreNmasin8=mg-Fco8s，BrBN聯立上面三式，并注意到F；=Fn，解得msii292m+msin2m+聯立上面三式，并注意到F；=Fn，解得msii292m+msin2AB楔塊A與物塊B之間相互作用力的大小為mmgco8sF=AB.Nm+msin28AB7-13質量為m的小環M套在彎成y=fx）形狀的光滑金屬絲上，金屬絲通過坐標原點并繞豎直軸Oy以等角速度①轉動，如圖所示。如果要使小環在金屬絲的任何位置都能處于相對平衡狀態，試求金屬絲的形狀以及平衡時金屬絲對小環的作用力。解：以小環M為對象，光滑金屬絲為動系，設j為沿動系坐標軸的單位向量，則

相對速度：V=x+yj，牽連加速度：a二—xw2i,re因相對平衡時v=0，所以科氏加速度a=0.,rc牽連慣性力：F=—ma，科氏慣性力：F=0.eec列出相對平衡方程F—mgj+F=0,eN向切線，即速度方向投影，F—mgj+F)?v=0,eNr導出gy-w2xx二o,積分上式得金屬絲的形狀為1y=—w2x22從而F=—F+mgj=mw2xi+mgj,Ne平衡時金屬絲對小環的作用力大小為F=me2x仏+g2.N7-14質量為2x106kg的列車以54km/h的速度由南向北行駛。試求列車行駛到北緯40。時，列車對鐵軌的側壓力。解：列車對鐵軌的側壓力等于科氏慣性力.以列車為研究對象，地球為動參考系，建立圖示動坐標系m—x'y'z，沿動系坐標軸的單位基矢量為i,j,k，則列車相對速度和地球轉動的