第十二章分離變量法本章中心內容用分離變量法求解各種有界問題；本章基本要求掌握有界弦的自由振動解及其物理意義著重掌握分離變量法的解題思路、解題步驟及其核心問題---本征值問題掌握求解非齊次方程的本征函數展開法掌握將非齊次邊界條件齊次化的方法

本章介紹的分離變量法（又稱為本征函數展開法）是解偏微分方程定解問題最常用的重要方法．

其基本思想是把偏微分方程分解為幾個常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件從而構成本征值問題．12.1分離變量理論

對于任何二階線性（齊次）偏微分方程12.1.1偏微分方程變量分離及條件

對于一個給定的偏微分方程實施變量分離應該具備什么條件？（12.1.1）通過適當的自變量變換轉化為下列標準形式：

(12.1.2)根據方程(12.1.2)類型直接可知：方程是雙曲型的

它是拋物型的

它是橢圓型的

假設（12.1.2）的解有下列分離的形式

其中

(12.1.3)分別是單個變量的二次可微函數。

代入(12.1.2)即有(12.1.4)1.常系數偏微分方程討論:若（12.1.4）的系數均為常數，并分別用小寫的

代表，將方程兩邊同除以XY,則要等式恒成立，只能它們等于一個既不依賴于x,也不依賴于y的常數，記為，從而得到兩個常微分方程2.變系數偏微分方程對于變系數函數

，假設存在某一個函數

，使得方程除以后變為可分離的形式上式要恒成立，只有它們均等于同一個常數，記為

，從而得到兩個常微分方程由以上討論知道：對于常系數二階偏微分齊次方程，總是能實施變量分離

需要滿足一定的條件，即必須找到討論2中適當的函數才能實施變量分離．但對于變系數的二階偏微分齊次方程第一類邊界條件第二類邊界條件

12.1.2邊界條件可實施變量分離的條件一維的情形（設在邊界點處），常見的

三類邊界條件為假設具體定解問題（以弦的橫振動為例）的邊界條件為齊次的：

第三類邊界條件可見，只有當邊界條件是齊次的，方可分離出單變量未知函數的邊界條件．此外，進行分離變量時，還須根據具體情況確定直角坐標系，球坐標系以及柱坐標系．求定解問題的不恒等于零的解須因此得12.2直角坐標系中的分離變量法

12.2.1分離變量法介紹例12.2.1：具體考慮長為，兩端固定的均勻弦的自

由振動泛定方程

（12.2.１）（12.2.２）初始條件

（12.2.３）

邊界條件

【解】

第一步：分離變量用分離變量法求解定解問題，具體分如下四個步驟：變量分離形式的試探解代入（12.2.１）和（12.2.２）定解問題的泛定方程變為偏微分方程分離成兩個常微分方程:(12.2.4)(12.2.5)也不依賴于x的常數，不妨設常數為

要使等式恒成立，只能是它們等于一個既不依賴于t,(12.2.6)

否則得零解，對于齊次微分方程是無意義．我們所謂的求解是指的求出非零解

由齊次邊界條件有（12.2.7）故得邊界條件是齊次的，才得出（12.2.７）這樣簡單的結論，而非齊次邊界條件需要轉化為齊次邊界條件．第二步：求解本征值（或稱為固有值）問題上面推導的方程（12.2.5）（12.2.7）注意：本征值不能任意取，只能根據邊界條件（12.2.7）取某些特定值。本征函數不同（12.2.5）所對應的解本征值問題求齊次方程帶有齊次邊界條件的本征值和本征函數問題

定義：二階常系數微分方程：特征方程：根的三種情況：得常系數微分方程的通解：附錄:（12.2.5）的解為

（１）和由（12.2.７）確定，即有三種可能逐一加以分析求解（12.2.5），將由此解出被排除

（２）、方程（12.2.5）的解是解出和由（12.2.7）確定，即

也被排除．

（12.2.5）的解如

，則仍然解出

（３）和由（12.2.7）確定，即只剩下一種可能性：

（12.2.8）與對應的函數為

（12.2.9）（12.2.9）正是傅里葉正弦級數的基本函數族．常數的這種特定數值叫作本征值，相應的解叫作本征函數．方程（12.2.5）和條件（12.2.7）則構成本征值問題或固有值問題．

第三步：先求特解，再疊加求出通解

（12.2.10）方程的解：（12.2.11）其中和是待定常數．，由方程（12.2.4）求出相應的

對于每一個本征值（12.2.12）（12.2.9）和（12.2.11）代入到解得到變量分離形式的特解這就是滿足(12.2.1)和條件（12.2.2）的通解（12.2.13）線性疊加后的解初始條件(12.2.3)確定疊加系數（12.2.14）第四步:利用本征函數的正交歸一性確定待定系數至此，定解問題（12.2.1）-(12.2.3)的解已經求出(12.2.15)可確定待定系數:(2)第二個限制：二階線性偏微分方程的解，不一定是分離變量的乘積形式分離變量法是有條件的，會受到一定的限制注意：(1)第一個限制：變系數的二階線性偏微分方程并非總能實施變量分離12.2.2.解的物理意義特解(12.2.12)改寫為

(12.2.16)駐波疊加振幅:頻率:初位相:波節:波腹:點數為2，3，4的駐波形狀

圖12.1（成倍增長）、位相不同、振幅不同的駐波疊加而成的．所以分離變量法又稱駐波法．各駐波振幅的大小和位相于是我們也可以說解是由一系列頻率不同的差異，由初始條件決定，而圓頻率與初始條件無關，所以也稱為弦的本征頻率．中最小的一個

稱為基頻，相應的稱為基波．稱為諧頻，相應的稱為諧波．

基波的作用往往最顯著．

具體以直角坐標系中的三維齊次熱傳導方程為例來說明三維形式中方程的分離．在直角坐標系中熱傳導方程為坐標變量和時間變量分離2.三維形式的直角坐標分離變量從前面討論的例子容易看出，分離變量的本征值通常是正數，

所以在上式中我們采用實數的平方形式來表示．得上式即為亥姆霍茲方程．

又可以表成如下分離形式：

由于上式中函數的每一項都是單一自變量的函數．而且彼此獨立，因此只有當每一項分別等于某一任意的分離常數時，上述等式才成立，于是，得到其中

上面三個方程，就是的分離方程，這些分離方程的通解是正弦函數與余弦函數的組合．若是有限區域的情形，這些分離方程還應配有相應的齊次邊界條件，即構成本征值問題．在這種情況下，這些分離的常數應是一系列離散值（例如它們分別與一系列整數關），這些離散值即本征值；與此相應的解即本征函數，而時間部分的解為因此，三維形式中熱傳導問題的完整解為12.2.3直角坐標系分離變量例題分析

上面我們已經研究的例題12.2.1討論的是兩個邊界點均為第一類齊次邊界條件的定解問題．下面討論的例題12.2.2是既有第一類，也有第二類齊次邊界條件的定解問題；而例題12.2.3討論的是均為第二類齊次邊界條件的定解問題，注意到本征值和本征函數的區別．例12.2.2研究定解問題：

【解】用分離變量法求解.令代入（12.2.17），(12.2.18)，得本征值問題及對本征值問題（12.2.22）-~（12.2.23