概率的進一步認識--知識講解【學習目標】1.進一步認識頻率與概率的關系，加深對概率的理解；2.會用列表和畫樹狀圖等方法計算簡單事件發生的概率；3.能利用重復試驗的頻率估計隨機事件的概率；4.學會運用概率知識解決簡單的實際問題.【要點梳理】要點一、用樹狀圖或表格求概率1.樹狀圖當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.要點詮釋：(1)樹形圖法適用于各種情況出現的總次數不是很大時，求概率的問題；(2)在用樹形圖法求可能事件的概率時，應注意各種情況出現的可能性務必相同.2.列表法當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.要點詮釋：（1）列表法適用于各種情況出現的總次數不是很大時，求概率的問題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發生的概率.3.用列舉法求概率的一般步驟（1）列舉（列表、畫樹狀圖）事件所有可能出現的結果，并判斷每個結果發生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再確定所有可能出現的結果的個數n和其中出現所求事件A的結果個數m；（3）用公式計算所求事件A的概率.即P（A）=.【典型例題】類型一、用樹狀圖或表格求概率1.同時拋擲兩枚均勻硬幣，正面都同時向上的概率是（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4種，正面都同時向上的占1種，所以概率為.【總結升華】利用樹狀圖法列出所有的可能，看符合題意的占多少.舉一反三：

【變式1】袋中裝有一個紅球和一個黃球，它們除了顏色外其余均相同，隨機從中摸出一球，記錄下顏色放回袋中，充分搖勻后，再隨機從中摸出一球，兩次都摸到黃球的概率是（）A． B． C． D．【答案】C.

【變式2】隨機地擲兩次骰子，兩次擲得的點數相同的概率是（）.A． B． C． D．【答案】D.2.一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的5個紅球和3個黃球，從中隨機摸出一個，則摸到黃球的概率是()A.B.C.D.【答案】C.【解析】從袋中隨機摸出一個球的所有可能情況有8種，每種情況可能性相同，其中是黃球的情況有3種，故摸到黃球的概率是.【總結升華】每個球被摸到的可能性相同很關鍵.舉一反三：【變式1】從分別標有1到9數字的9張卡片中任意抽取一張，抽到所標數字是3的倍數的概率為（）A．B．C．D．【答案】D.【變式2】如圖是地板格的一部分，一只蟋蟀在該地板格上跳來跳去，如果它隨意停留在某一個地方，則它停留在陰影部分的概率是_____.【答案】P（停在陰影部分）=.要點二、用頻率估計概率1.頻率與概率的定義頻率：在相同條件下重復n次試驗，事件A發生的次數m與試驗總次數n的比值.概率：事件A的頻率接近與某個常數，這時就把這個常數叫做事件A的概率，記作P（A）.2.頻率與概率的關系事件的概率是一個確定的常數，而頻率是不確定的，當試驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定，當試驗次數增大時，頻率的大小波動變小，并逐漸穩定在概率附近.可見，概率是頻率的穩定值，而頻率是概率的近似值.要點詮釋：（1）頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定，無法從根本上來刻畫事件發生的可能性的大小，在大量重復試驗的條件下可以近似地作為這個事件的概率；（2）頻率和概率在試驗中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重復試驗中頻率逐漸穩定到的值，即可以用大量重復試驗中事件發生的頻率去估計得到事件發生的概率，但二者不能簡單地等同，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經常的.類型二、頻率與概率3.關于頻率和概率的關系，下列說法正確的是（）A.頻率等于概率B.當試驗次數很大時，頻率穩定在概率附近C.當試驗次數很大時，概率穩定在頻率附近D.試驗得到的頻率與概率不可能相等【思路點撥】對于某個確定的事件來說，其發生的概率是固定不變的，而頻率是隨著試驗次數的變化而變化的.【答案】B.【解析】事件的概率是一個確定的常數，而頻率是不確定的，當試驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定，當試驗次數增大時，頻率的大小波動變小，并逐漸穩定在概率附近.【總結升華】概率是頻率的穩定值，而頻率是概率的近似值.3.利用頻率估計概率當試驗的可能結果不是有限個，或各種結果發生的可能性不相等時，一般用統計頻率的方法來估計概率.要點詮釋：用試驗去估計隨機事件發生的概率應盡可能多地增加試驗次數，當試驗次數很大時，結果將較為精確.類型三、利用頻率估計概率4.某商場設立了一個可以自由轉動的轉盤(如圖)，并規定：顧客購物10元以上能獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一區域就可以獲得相應的獎品，下表是活動進行中的一組統計數據：(1)計算并完成表格：轉動轉盤的次數n1001502005008001000落在“鉛筆”的次數m68111136345546701落在“鉛筆”的頻率(2)請估計，當很大時，頻率將會接近多少？

(3)轉動該轉盤一次，獲得鉛筆的概率約是多少？

(4)在該轉盤中，標有“鉛筆”區域的扇形的圓心角大約是多少？(精確到1°)

【答案與解析】(1)0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；(2)0.69；(3)由（1）的頻率值可以得出P（獲得鉛筆）=0.69；(4)0.69×360°≈248°.【總結升華】(1)試驗的次數越多，所得的頻率越能反映概率的大??；(2)頻數分布表、扇形圖、條形圖、直方圖都能較好地反映頻數、頻率的分布情況，我們可以利用它們所提供的信息估計概率．5.（2015春?泰興市期末）在一個暗箱里放有a個除顏色外都完全相同的紅、白、藍三種球，其中紅球有4個，白球有10個，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色再放回暗箱．通過大量重復摸球實驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在20%．（1）試求出a的值；（2）從中任意摸出一個球，下列事件：①該球是紅球；②該球是白球；③該球是藍球．試估計這三個事件發生的可能性的大小，并將三個事件按發生的可能性從小到大的順序排列（用序號表示事件）．【思路點撥】（1）根據頻率估計概率，可得到摸到紅球的概率為20%，然后利用概率公式計算a的值；（2）根據概率公式分別計算出摸出一個球是紅球或白球或藍球的概率，然后根據概率的大小判斷這三個事件發生的可能性的大?。敬鸢概c解析】解：（1）a=4÷20%=20；（2）在一個暗箱里放有20個除顏色外都完全相同的紅、白、藍三種球，其中紅球有4個，白球有10個，藍求有6個，所以從中任意摸出一個球，該球是紅球的概率=20%；該球是白球的概率==50%；該球是藍球的概率==30%，所以可能性從小到大排序為：①③②．【總結升華】用頻率估計概率，強調“同樣條件，大量試驗”.舉一反三：

【變式1】為了估計池塘里有多少條魚，從池塘里捕撈了1000條魚做上標記，然后放回池塘里，經過一段時間，等有標記的魚完全混合于魚群中以后，再捕撈200條，若其中有標記的魚有10條，則估計池塘里有魚______________條．

【答案】條.【變式2】一只箱子里原有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除顏色外均相同．（1）從箱子中任意摸出兩個球，用樹狀圖或列表法列舉出所有可能并求兩次摸出球的都是白球的概率．（2）若從箱子中任意摸出一個球是紅球的概率為，則需要再加入幾個紅球？【答案】類型四、概率的簡單應用6.把一副撲克牌中的3張黑桃牌（它們的正面牌面數字分別是3、4、5）洗勻后正面朝下放在桌面上．（1）如果從中隨機抽取一張牌，那么牌面數字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戲，游戲規則如下：先由小王隨機抽出一張牌，記下牌面數字后放回，洗勻后正面朝下，再由小李隨機抽出一張牌，記下牌面數字．當張牌面數字相同時，小王勝；當張牌面數字不相同時，小李勝．現請你利用樹狀圖或列表法分析游戲規則對雙方是否公平？并說明理由.【思路點撥】（1）問屬于古典概型；（2）問可以采用列表法或樹狀圖法列出所有的可能，計算小王和小李各自取勝的概率，再去做判斷.【答案與解析】（1）P（抽到牌面數字４）=；（2）游戲規則對雙方不公平，理由如下：3453（3，3）（3，4）（3，5）4（4，3）（4，4）（4，5）5（5，3）（5，4）（5，5）一共有9種可能的結果，每種結果發生的可能性相等，∴P（牌面數字相同）=；P（牌面數字不相同）=，∴小李勝的概率要大，游戲不公平.【總結升華】列表法可以不重不漏地列出所有可能的結果.舉一反三：【變式】（2015?漳州）在一只不透明的袋中，裝著標有數字3，4，5，7的質地、大小均相同的小球，小明和小東同時從袋中隨機各摸出1個球，并計算這兩個球上的數字之和，當和小于9時小明獲勝，反之小東獲勝．（1）請用樹狀圖或列表的方法，求小明獲勝的概率；（2）這個游戲公平嗎？請說明理由．【答案】解：（1）根據題意畫圖如下：∵從表中可以看出所有可能結果共有12種，其中數字之和小于9的有4種，∴P（小明獲勝）==；（2）∵P（小明獲勝）=，∴P（小東獲勝）=1﹣=，∴這個游戲不公平．【鞏固練習】一、選擇題1.下列說法正確的是（）①試驗條件不會影響某事件出現的頻率；②在相同的條件下實驗次數越多，就越有可能得到較精確的估計值，但各人所得的值不一定相同；③如果一枚骰子的質量分布均勻，那么拋擲后每個點數出現的機會均等；④拋擲兩枚質量分布均勻的相同的硬幣，出現“兩個正面”、“兩個反面”、“一正一反”的機會相同．Ａ.①② Ｂ.②③ Ｃ.③④ Ｄ.①③2.小明和小亮做游戲，先是各自背著對方在紙上寫一個正整數，然后都拿給對方看．他們約定：若兩人所寫的數都是奇數或都是偶數，則小明獲勝；若兩個人所寫的數一個是奇數，另一個是偶數，則小亮獲勝．這個游戲（）A．對小明有利B．對小亮有利C．游戲公平D．無法確定對誰有利3.（2014?山西）在大量重復試驗中，關于隨機事件發生的頻率與概率，下列說法正確的是（）A． 頻率就是概率B． 頻率與試驗次數無關C． 概率是隨機的，與頻率無關D． 隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率4.在一個不透明的袋子中裝有4個除顏色外其余完全相同的小球，其中白球1個，黃球1個，紅球2個，摸出一個球不放回，再摸出一個球，兩次都摸到紅球的概率是()A．B．C．D．5.從標有號碼1到100的100張卡片中，隨意地抽出一張，其號碼是3的倍數的概率是（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.不確定6.隨機從三男一女四名學生的學號中抽取兩人的學號，被抽中的兩人性別不同的概率為（）A.B.C.D.二.填空題7.用下面的兩個圓盤進行“配紫色”游戲，則配得紫色的概率為______________.8.（2014春?海陽市期中）甲、乙兩人玩游戲，把一個均勻的小正方體的每個面上分別標上數字1，2，3，4，5，6，任意擲出小正方體后，若朝上的數字比3大，則甲勝；若朝上的數字比3小，則乙勝，你認為這個游戲對甲、乙雙方公平嗎？．9.從某玉米種子中抽取6批，在同一條件下進行發芽試驗，有關數據如下：種子粒數100400800100020005000發芽種子粒數8539865279316044005發芽頻率0.8500.7450.8510.7930.8020.801根據以上數據可以估計，該玉米種子發芽的概率約為（精確到0.1）．10.有大小、形狀、顏色完全相同的5個乒乓球，每個球上分別標有數字1、2、3、4、5中的一個，將這5個球放入不透明的袋中攪勻，如果不放回的從中隨機連續抽取兩個，則這兩個球上的數字之和為偶數的概率是___________．11.在一個不透明的盒子中裝有2個白球，個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為，則___________．12.為了估計新疆巴音布魯克草原天鵝湖中天鵝的數量，先捕捉10只，分別作上記號后放飛；待它們完全混合于天鵝群后，重新捕捉40只天鵝，發現其中有2只有標記，據此可估算出該地區大約有天鵝只。三.綜合題13.一個不透明的布袋里裝有3個球，其中2個紅球，1個白球，它們除顏色外其余都相同．

(1)求摸出1個球是白球的概率；(2)摸出1個球，記下顏色后放回，并攪勻，再摸出1個球，求兩次摸出的球恰好顏色不同的概率（要求畫樹狀圖或列表）；(3)現再將n個白球放入布袋，攪勻后，使摸出1個球是白球的概率為，求n的值．14.（2015春?泗洪縣校級期中）某商場“五一”期間為進行有獎銷售活動，設立了一個可以自由轉動的轉盤．商場規定：顧客購物100元以上就能獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一區域就可以獲得相應的獎品．下表是此次活動中的一組統計數據：轉動轉盤的次數n1002004005008001000落在“可樂”區域的次數m60122240298604落在“可樂”區域的頻率0.60.610.60.590.604（1）完成上述表格；（結果全部精確到0.1）（2）請估計當n很大時，頻率將會接近，假如你去轉動該轉盤一次，你獲得“可樂”的概率約是；（結果全部精確到0.1）（3）轉盤中，表示“洗衣粉”區域的扇形的圓心角約是多少度？15.某學生在籃球場對自己進行籃球定點投球測試，下表是他的測試成績及相關數據：第一回投球第二回投球第三回投球第四回投球第五回投球第六回投球每回投球次數51015202530每回進球次數386161718相應頻率（1）請將數據表補充完整.（2）畫出該同學進球次數的頻率分布折線圖.（3）如果這個測試繼續進行下去，每回的投球次數不斷增加，根據上表數據，測試的頻率將穩定在他投球1次時進球的概率附近，請你估計這個概率是多少？（結果用小數表示）【答案與解析】一、選擇題1．【答案】B；【解析】頻率是不確定的，當試驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定，當試驗次數增大時，頻率的大小波動變小，并逐漸穩定在概率附近，所以①不正確；拋擲兩枚質量分布均勻的相同的硬幣，出現“兩個正面”1次、“兩個反面”1次、“一正一反”2次，所以他們出現的的機會不相同，④不正確.2．【答案】C.【解析】兩人寫的數字共有奇偶、偶奇、偶偶、奇奇四種情況，因此同為奇數或同為偶數概率為；一奇一偶概率也為，所以公平．3．【答案】D.【解析】∵大量重復試驗事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數附近，可以用這個常