絕密★本科目考試啟用前

2022年普通高等學校招生全國統一考試(北京卷)

數學

本試卷共5頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，

在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中,

選出符合題目要求的一項.

I.已知全集。={x|—3<x<3},集合A={x|-2<x?l},則條A=()

A.(-2,1]B.(一3,-2)_工3)C.[-2,1)D.(-3,-2]j(1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】利用補集的定義可得正確的選項.

【詳解】由補集定義可知：Q,A={X|-3<X4—2或l<x<3},即

Q,,A=(-3,-2]U(l,3),

故選：D.

■7視頻「

2.若復數z滿足i.z=3—4i,則同=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【解析】

【分析】利用復數四則運算，先求出z,再計算復數的模.

【詳解】由題意有z=一1=」:T-3i,故|z|=J(-4j+(—3)2=5.

故選：B.

■T視頻門

3.若直線2x+y—l=0是圓(x—a)2+y2=i的一條對稱軸，則。=()

A.；B.--C.1D.—1

22

【答案】A

【解析】

【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解.

【詳解】由題可知圓心為(。,())，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即

%+0—1=(),解得a=L

2

故選:A.

視頻口

4.己知函數=則對任意實數x,有()

1+2

A./(-%)+/(x)=0B./(-%)-/(x)=0

C./(-%)+/(x)=lD.=

【答案】C

【解析】

【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤.

【詳解】2*1

/(-x)+/(x)=—^-+—故A錯誤，C正確;

、)')1+2-*1+2'1+2*1+2、

2r-12

f(-x)-f(x)=-----------=-----------幺」=1--—，不是常數，故

')')1+2-*1+2、1+2*1+2*2X+12*+1

BD錯誤；

故選：C.

fn視頻n

5.已知函數/(x)=cos2x-sin?x,則()

A.〃x)在1上單調遞減B」(x)在［-上單調遞增

C./(x)在(0,q)上單調遞減D.7(x)在(?,卷)上單調遞增

【答案】C

【解析】

【分析】化簡得出/(x)=cos2x,利用余弦型函數的單調性逐項判斷可得出合適

的選項.

【詳解】因為/(x)=8s2%-sin2x=8s2x.

對于A選項，當一￡<工<一］時，—7i<2x<-^-,則/(%)在(一■，一?。萆蠁握{遞

263V267

增，A錯；

對于B選項，當-7<工*時，-%<2K<%,則/(x)在卜全總上不單調，

B錯；

對于C選項，當0<x<(時，0<2x<^,則/(力在(0,?上單調遞減，C對；

對于D選項，當(<x<卷時，|<2x<^,則/(x)在件答)上不單調，D

錯.

故選：C.

WT視頻一

6.設｛q｝是公差不為0的無窮等差數列，則“｛可｝為遞增數歹『'是"存在正整數

No,當〃〉時，。“>0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】設等差數列｛%｝的公差為d,則4。()，利用等差數列的通項公式結合充

分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.

【詳解】設等差數列｛4｝的公差為d,則d，()，記區為不超過x的最大整數.

若｛4｝為單調遞增數列，則d>(),

若qNO,則當〃22時，??>?!>0；若q<0,則=q+(〃一1)4,

由q=4+(〃一1”>0可得〃>1-》，取N°=+1,則當〃>N°時，

4>0,

所以，”｛《,｝是遞增數列”=>“存在正整數N。，當〃>乂時，4>0"；

若存在正整數N。，當“〉N0時，a?>0,取AeN?且女>N0,%>0,

假設d<0,令6,=%+(〃一女)d<0可得〃>女一號，且k-*>k,

當〃>k*+1時，a“<0,與題設矛盾，假設不成立，則d>0,即數列｛4｝

是遞增數列.

所以，“｛4｝是遞增數列”u“存在正整數M，當〃〉N。時，a“>0”.

所以，”｛q｝是遞增數列‘'是''存在正整數N。，當〃>N°時，q>0”的充分必要條

件.

故選：C.

M視頻n

7.在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶''使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制

冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態

與T和IgP的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar.下列

結論中正確的是()

A.當T=220,P=1026時，二氧化碳處于液態

B.當T=270,P=128時，二氧化碳處于氣態

C.當7=300,P=9987時，二氧化碳處于超臨界狀態

D.當7=360,。=729時，二氧化碳處于超臨界狀態

【答案】D

【解析】

【分析】根據T與坨D的關系圖可得正確的選項.

【詳解】當T=220,P=1026時，lgP>3,此時二氧化碳處于固態，故A錯誤.

當T=270,P=128時，2<lgP<3,此時二氧化碳處于液態，故B錯誤.

當T=300,P=9987時，IgP與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態,

另一方面，7=300時對應的是非超臨界狀態，故C錯誤.

當T=360,P=729時，因2<lgP<3,故此時二氧化碳處于超臨界狀態，故D

正確.

故選：D

■n視頻門

8.若(2%-1)4+,則/+%+。4=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】

［分析］利用賦值法可求4+4+4的值.

【詳解】令X=1,則%+。3+。2+“I+。0=1,

令x=_1,則g+出-q+%=(_3)4=81,

,,1+81

故%+4+%=一~=41,

故選：B.

M視頻n

9.已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是及其內部的點構成的集

合.設集合T="QeS|PQ?5},則7表示的區域的面積為()

3兀

A.—B.冗C.27rD.3萬

4

【答案】B

【解析】

【分析】求出以尸為球心，5為半徑的球與底面ABC的截面圓的半徑后可求區域的

面積.

設頂點P在底面上的投影為。，連接80,則。為三角形A8C的中心,

且8O=2x6x正=2百，故PC=j36-12=2而

32

因為PQ=5,故。。=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓,

半徑為2、%36”

而三角形ABC內切圓的圓心為。,

3x6

故S的軌跡圓在三角形ABC內部，故其面積為〃

故選：B

時視頻n

10.在4ABe中，AC=3,BC=4,NC=90。.P為:ABC所在平面內的動點，且

PC=1,則RVP3的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】

【分析】依題意建立平面直角坐標系，設P（cosO,sin。），表示出PA，PB，根據

數量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數的性質計算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則C（0,0）,4（3,0）,8（0,4）,

因為PC=1,所以尸在以。為圓心，1為半徑的圓上運動,

設尸(cos。,sin。)，6G[(),2^],

所以PA=(3-cos。,—sin。)，PB=(-cos4-sin,

所以=(-cos^)x(3-cose)+(4-sin6)x(-sin6)

=cos26)-3cos0-4sin6)+sin20

=1-3cos6-4sin(9

=1-5sin(6+0),其中sine=1,cos^?=^

因為一l<sin(e+°)〈l,所以TW1—5sin(6+0)W6,即PA-PBe[-4,6]；

故選：D

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數/（x）=1+Jl-X的定義域是.

X

【答案】（F,0）D（0,l]

【解析】

【分析】根據偶次方根的被開方數非負、分母不為零得到方程組，解得即可;

【詳解】解：因為=—+所以《八，解得XW1且"0,

7X[XHO

故函數的定義域為（F,0）D（0,l];

故答案為：（F,0）D（0,l]

F視頻一

12.已知雙曲線產+土=1的漸近線方程為y=±Ylx,則m=.

m3

【答案】-3

【解析】

【分析】首先可得“<0,即可得到雙曲線的標準方程，從而得到。、b,再跟漸

近線方程得到方程，解得即可;

丫2

【詳解】解：對于雙曲線V+二=1,所以加<0,即雙曲線的標準方程為

m

則。=1,/，又雙曲線>2+《=1的漸近線方程為y=±走-

m3

所以2="即」=烏解得加=一3；

b3yj-m3

故答案為：-3

T視頻E)

13.若函數/(無)=Asinx-Geos尤的一個零點為?，則4=；，〔自=

【答案】①.1②.-0

【解析】

【分析】先代入零點，求得A的值，再將函數化簡為/(x)=2sin(x-W),代入自變

TT

量x=S，計算即可.

12

【詳解】???/《)=*4-曰=0，A=1

/.f(x)=sinx-6cosx=2sin(x-y)

7T717TJTI—

/(—)=2sin(---)=-2sin-=-41

故答案為：1,-V2

T視頻力

-ax+1.x<a,

14.設函數/(x)=</c、2若/(X)存在最小值，則。的一個取值為

(x-2),x>a.

；a的最大值為.

【答案】①.0(答案不唯一)②.1

【解析】

【分析】根據分段函數中的函數丫=+1的單調性進行分類討論，可知，。=0符

合條件，。<0不符合條件，。>()時函數y=-ar+l沒有最小值，故〃x)的最小值只

能取y=(X-2)2的最小值，根據定義域討論可知一4+120或一/+12(?！?)2,

解得0<?<1.

1,%<0

【詳解】解：若。=0時，fM=｛.?./(X)min=O；

(x-2),x>0

若a<0時，當x<a時，/(x)=-ax+l單調遞增，當x—v時，/(x)--oo,故

/(x)沒有最小值，不符合題目要求;

若a>()時,

當x<a時，/(x)=-改+1單調遞減，/(%)>f(a)--a2+\,

0(0<?<2)

二當x>aH時J'，jf(\x)/.={1/,/、

min(a-2)(a>2)

Y+izo或一片+12(4—2)2,

解得0<aWl,

綜上可得OWaWl；

故答案為：()(答案不唯一)，1

(WTwri

15.已知數列｛a.｝各項均為正數，其前〃項和S,,滿足a,jS,,=9(〃=l,2「.).給出

下列四個結論：

①｛凡｝的第2項小于3；②｛4｝為等比數列；

③｛%｝為遞減數列；④物,,｝中存在小于擊的項.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①③④

【解析】

99_

【分析】推導出q=----------，求出4、%的值，可判斷①；利用反證法可判斷

4%

②④；利用數列單調性的定義可判斷③.

【詳解】由題意可知，VnGN,,??＞0,

當/?=1時，=9,可得q=3；

9999

當2時，由5〃=一可得S,i=——，兩式作差可得％=--------,

4%anan_x

999

所以，——=一—則—一4=3,整理可得慰+32-9=0,

an-\ana2'

因為4＞0,解得/=也口＜3,①對；

-2

AQVQ1

假設數列｛q｝為等比數列，設其公比為4,則雨=〃臼，即—二上二，

所以，S；=S§,可得硝1+4=a；(l+q+/)，解得4=0,不合乎題意，

故數列｛%｝不是等比數列，②錯；

當〃22時，勺=2-2=幽土山＞0,可得為＜%,所以，數列｛%｝為遞

ana”一

減數列，③對；

假設對任意的“eN*,%之擊，則品XXXJONIOOOOOX+MIOOO,

991

所以，?iooooo=-z-----477而＜77前，與假設矛盾，假設不成立，④對.

^IOOOOO1UUU1UU

故答案為：①③④.

【點睛】關鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采

用反證法來進行推導.

T視頻n

三、解答題共6小愿，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在?ABC中，sin2C=V3sinC.

（1）求NC；

（2）若力=6,且ABC的面積為6百，求_ABC的周長.

【答案】（1）7

O

（2）6+66

【解析】

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得cosC的值，結合角C的取值范圍可

求得角C的值；

（2）利用三角形的面積公式可求得”的值，由余弦定理可求得。的值，即可求得

ABC的周長.

【小問1詳解】

解:因為。為0,萬）,則sinC>0,由已知可得GsinC=2sinCcosC,

可得cosC=3,因此，C=￡.

26

【小問2詳解】

解：由三角形的面積公式可得S"c=gMsinC=9a=6G,解得。=4出.

由余弦定理可得c?=/+/—2昉cosC=48+36-2x4百x6x走=12,

2

c=2也,

所以，_A6C的周長為a+>+c=66+6.

?7視頻一

17.如圖，在三棱柱ABC-4AG中，側面6CC4為正方形，平面平面

A陰A，AB=BC=2,M,N分別為A4,AC的中點.

（1）求證：MN〃平面BCG百；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面

BMN所成角的正弦值.

條件①：AB上MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）取AB的中點為K,連接可證平面"KN〃平面C84G，從

而可證MN〃平面C84G.

（2）選①②均可證明BA_L平面ABC,從而可建立如圖所示的空間直角坐標系，

利用空間向量可求線面角的正弦值.

【小問1詳解】

取的中點為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC-ABC可得四邊形ABgA為平行四邊形，

而gM=MA,BK=KA,則MK//BB,,

而MKz平面CBgG，BB]U平面CBBCi，故MK〃平面CBgG，

而CN=NA,BK=KA,則NK〃BC,同理可得NK〃平面CBgG,

而NKMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKNH平面C88IG,而MVu平面MKN,故MNII平面CB8C,

【小問2詳解】

因為側面CBgG為正方形，故

而C8u平面CBB?,平面CBB￡1平面ABB}A1,

平面CBB￡c平面ABB,\=故CB，平面ABB,A,,

因為NKHBC,故NK_L平面A8耳A,

因為A8i平面A88|4，故NK_LAB,

若選①，則A8LM/V,而NKLAB,NKMN=N,

故AB_L平面MNK,而"Ku平面MNK,故AB_LMK,

所以ABJ.8B—而C8J.Bq,CBcAB=B,故J.平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標系，則3(0,0,0),A(0,2,0),N(l,1,0),“(0,1,2),

故BA=(O,2,O),BN=(l,l,O),3M=(O,l,2),

設平面BMW的法向量為”=(x,y,z),

n-BN=0尤+y=0

則從而＜取z=—1,則〃=(—2,2,—1),

n-BM=0y+2z-0

設直線AB與平面BNM所成的角為。，則

sin0=cos(n,AB\=—^―=—.

\/2x33

若選②，因為NKHBC,故NK_L平面而KMu平面MMV,

故NK1KM,而BiM=BK=l,NK=l,故B、M=NK,

而48=MK=2,MB=MN,故.BB、M二.MKN,

所以ZBBtM=NMKN=90°,故，BB,,

而CB上BB],CBcAB=B,故8與，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標系，則8(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),M(0,L2),

故8A=(O,2,O),8N=(l,l,O),BM=(O,l,2),

設平面8NM的法向量為〃=(x,y,z),

n-BN=Qx+y=0

，從而，取z=—1,則〃=(—2,2,—1),

n-BM=0y+2z=0

設直線AB與平面BMW所成的角為仇則

sin6=cos/n,AB]=—^—=2.

\/2x33

視頻口

18.在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m

以上（含9.50m）的同學將獲得優秀獎.為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收

集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.

（1）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；

（2）設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數

學期望E（X）；

（3）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論

不要求證明）

7

【答案】（1）0.4（2）y

(3)丙

【解析】

【分析】(1)由頻率估計概率即可

(2)求解得X的分布列，即可計算出X的數學期望.

(3)計算出各自獲得最高成績的概率，再根據其各自的最高成績可判斷丙奪冠的

概率估計值最大.

【小問1詳解】

由頻率估計概率可得

甲獲得優秀的概率為0.4,乙獲得優秀的概率為0.5,丙獲得優秀的概率為0.5,

故答案為0.4

【小問2詳解】

設甲獲得優秀為事件4,乙獲得優秀為事件A2,丙獲得優秀為事件A3

------3

尸(X=0)=P(AA2A3)=0.6x0.5x0.5=—,

P(X=D=p(A*)+P(44A)+

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

P（X=2）=P（A4A）+p（a44）+p（444）

=0.4X0.5X0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—

20

p（X=3）=尸（A4A）=04x0.5x0.5=總

；.X的分布列為

X0123

3872

P

20202020

32727

/.E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=-

202020205

【小問3詳解】

丙奪冠概率估計值最大.

因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率若，甲

獲得9.80的概率為［,乙獲得9.78的概率為4.并且丙的最高成績是所有成績中最

1（）O

高的，比賽次數越多，對丙越有利.

（視頻D

22

19.已知橢圓：E：=+；=l（a>0〉0）的一個頂點為A（0,l）,焦距為2道.

ab-

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點打-2,1）作斜率為左的直線與橢圓￡交于不同的兩點8,C,直線A6,AC

分別與x軸交于點N,當|MN|=2時，求左的值.

2

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）k=-4

【解析】

b=1

【分析】（1）依題意可得2c=26,即可求出。，從而求出橢圓方程；

c2^a2-b2

（2）首先表示出直線方程，設8（%,%）、。（々，外），聯立直線與橢圓方程，消元

列出韋達定理，由直線A3、AC的方程，表示出與、根據|MN|=|漏一

得到方程，解得即可；

【小問1詳解】

解：依題意可得匕=1,2c=26,又。2=/一從，

2

所以4=2,所以橢圓方程為三+y2=i；

4'

【小問2詳解】

解：依題意過點尸（一2,1）的直線為y—l=Mx+2）,設8（0必）、C（x2,y2）,不妨

令一2＜玉＜々＜2,

y-1=攵（x+2）

由〃，，消去y整理得（1+4公卜2+（16左2+84口+16公+16&=0,

14-

所以A=（16公+8人『―4（1+4公）（16公+原）＞0,解得％＜0,

16^+8左\6k2+\6k

所以％+九2=西.馬

1+4左21+4公

直線45的方程為＞一1="=1■無，令y=0,解得與=戶

直線AC的方程為丁-1='二1,令y=0,解得/=產

々一

所以|MN|=%-%=

ifif

/______________.

1-+2）+1]1-[k（X]+2）+1]

￡?X

-k（^x2+2）后（玉+2）

（無2+2）玉一/（X+2）

%（工2+2）（%+2）

2|不一天|=2

陽（馬+2）（%+2）

所以打一百=陶（馬+2）（玉+2）,

即J（石+々）一一4玉工2=網[%2玉+2（*2+石）+4]

0|,716攵2+8女丫“16A2+16攵,,116^+16^J1622+8%]

即』-------廠-4x---------L=Z---------L+2-----------—

K1+4左2）1+4公111+必2（1+4左2J

1+：5]（2/+。2_（1+4公）（/+'=]：\[16后2+16k-2（16k2+8后）+4（1+4k2）]

整理得8口=4網，解得A=T

TOMD

20.已知函數/0)=6*111(1+%).

(1)求曲線y=f。)在點(0J(。))處的切線方程；

(2)設g(x)=/'(x),討論函數g(x)在［0,+8)上的單調性；

(3)證明：對任意的s/w(0,+8),有/(s+f)>/(s)+/Q).

【答案】(1)y=x

(2)g(x)在［0,+8)上單調遞增.

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先求出切點坐標，在由導數求得切線斜率，即得切線方程；

(2)在求一次導數無法判斷的情況下，構造新的函數，再求一次導數，問題即得

解；

(3)=(x,t>0),即證加(x)>加(0),由第二問結論可知

加(x)在［0,+8)上單調遞增,即得證.

【小問1詳解】

解：因為/0)=6”!1(1+%),所以/(0)=0,

即切點坐標為(0,0),

又/'(xQe'ana+xH11-),

切線斜率左=/'(())=1

.??切線方程為：y=x

【小問2詳解】

解:因為g(x)=/'(x)=e*(ln(l+x)+J—),

1+x

21

所以g'(x)=el(ln(l+x)+----------,

1+x(1+x)

2］

令/i(x)=ln(l+x)+

l+x(1+X)2

122x2+l

則l(X)=-----------T------7=T>0,

l+x(1+x)2(1+x)3(1+x)3

力(X)在［(),+?)上單調遞增,

/.h(x)>h(O)=1>0

...g'(x)>0在［0,+oo)上恒成立，

g(x)在［0,+刈上單調遞增.

【小問3詳解】

解：原不等式等價于/($+D-/⑸>/Q)-/(0),

令加0)=/(》+，)一/。)，(x/>0),

即證機(x)>m(0),

*.*m(x)=/(x+f)-/(x)=ev+,ln(l+x+r)-e'ln(l+x),

e*"ex

m\x)=ev+,ln(l+x+t)+--------e'ln(l+x)------=g(x+f)-g(x),

1+x+Z1+x

由(2)知8(>)=八%)=6'(111(1+為+占)在［0,+紇)上單調遞增，

g(x+t)>g(x),

ni(x)>0

m(x)在(0,+8)上單調遞增，又因為>0,

Am(x)>m(0),所以命題得證.

麗視頻「

21.已知。：4嗎，，4為有窮整數數列.給定正整數相，若對任意的

〃e{l,2,…，聞，在。中存在4,4+i‘〃i+2，，aH/O20),使得

4+4+i+q*2++4+/=〃，則稱。為加一連續可表數列.

（1）判斷Q：2,1,4是否為5-連續可表數列？是否為6-連續可表數列？說明理

由；

（2）若Q：4，4，，以為8-連續可表數列，求證：％的最小值為4；

（3）若