第三節隨機事件的概率1.了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區別．2.了解兩個互斥事件的概率加法公式．突破點一隨機事件的頻率與概率eq\a\vs4\al([基本知識])1．事件的分類2．頻率和概率(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)“下周六會下雨”是隨機事件．()(2)事件發生的頻率與概率是相同的．()(3)隨機事件和隨機試驗是一回事．()(4)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩定值．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、填空題1．在投擲一枚硬幣的試驗中，共投擲了100次，“正面朝上”的頻數為51，則“正面朝上”的頻率為________．答案：0.512．某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環，有3次中9環，有4次中8環，有1次未中靶．假設此人射擊1次，則其中靶的概率約為________；中10環的概率約為________．答案：0.90.23．給出下列三個說法，其中正確的有________個．①有一大批產品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現正面，因此正面出現的概率是eq\f(3,7)；③隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率．解析：①錯，不一定是10件次品；②錯，eq\f(3,7)是頻率而非概率；③錯，頻率不等于概率，這是兩個不同的概念．答案：0[典例](2018·北京高考)電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；(3)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發生變化．假設表格中只有兩類電影的好評率數據發生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大？(只需寫出結論)[解](1)由題意知，樣本中電影的總部數是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，獲得好評的第四類電影的部數是200×0.25＝50，故所求概率為eq\f(50,2000)＝0.025.(2)由題意知，樣本中獲得好評的電影部數是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372，故所求概率估計為1－eq\f(372,2000)＝0.814.(3)增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率．eq\a\vs4\al([方法技巧])1．計算簡單隨機事件頻率或概率的解題思路(1)計算所求隨機事件出現的頻數及總事件的頻數．(2)由頻率公式得所求，由頻率估計概率．2．求解以統計圖表為背景的隨機事件的頻率或概率問題的關鍵點求解該類問題的關鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表，計算出所求隨機事件出現的頻數．[針對訓練]1．從某校高二年級的所有學生中，隨機抽取20人，測得他們的身高(單位：cm)分別為：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根據樣本頻率分布估計總體分布的原理，在該校高二年級的所有學生中任抽一人，估計該生的身高在155.5～170.5cm之間的概率約為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)解析：選A從已知數據可以看出，在隨機抽取的這20位學生中，身高在155.5～170.5cm之間的學生有8人，頻率為eq\f(2,5)，故可估計在該校高二年級的所有學生中任抽一人，其身高在155.5～170.5cm之間的概率約為eq\f(2,5).2．(2017·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．解：(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數據知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以Y的所有可能值為900,300，－100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數據知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.突破點二互斥事件與對立事件eq\a\vs4\al([基本知識])1．概率的基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.不可能事件的概率：P(A)＝0.2．互斥事件和對立事件事件定義概率公式互斥事件在一個隨機試驗中，我們把一次試驗下不能同時發生的兩個事件A與B稱作互斥事件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)對立事件在一個隨機試驗中，兩個試驗不會同時發生，并且一定有一個發生的事件A和eq\x\to(A)稱為對立事件P(eq\x\to(A))＝1－P(A)eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)若隨機事件A發生的概率為P(A)，則0≤P(A)≤1.()(2)兩個事件的和事件是指兩個事件同時發生．()(3)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．()(4)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個實根”是不可能事件．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、填空題1．一個人打靶時連續射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是____________．答案：兩次都不中靶2．設事件A，B，已知P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，則A，B之間的關系一定為________事件．答案：互斥eq\a\vs4\al([全析考法])考法一事件關系的判斷[例1](1)從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個數，則下列各對事件是互斥而不是對立事件的是()A．恰有1個是奇數和全是奇數B．恰有1個是偶數和至少有1個是偶數C．至少有1個是奇數和全是奇數D．至少有1個是偶數和全是偶數(2)已知100件產品中有5件次品，從這100件產品中任意取出3件，設E表示事件“3件產品全不是次品”，F表示事件“3件產品全是次品”，G表示事件“3件產品中至少有1件是次品”，則下列結論正確的是()A．F與G互斥B．E與G互斥但不對立C．E，F，G任意兩個事件均互斥D．E與G對立[解析](1)從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個數，共有三種情況：A＝{兩個奇數}，B＝{一個奇數一個偶數}，C＝{兩個偶數}，且兩兩互斥，A：是互斥事件；B：不互斥；C：不互斥；D：不互斥．故選A.(2)由題意得事件E與事件F不可能同時發生，是互斥事件；事件E與事件G不可能同時發生，是互斥事件；當事件F發生時，事件G一定發生，所以事件F與事件G不是互斥事件，故A、C錯．事件E與事件G中必有一個發生，所以事件E與事件G對立，所以B錯誤，D正確．[答案](1)A(2)D[方法技巧]判斷互斥、對立事件的2種方法定義法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件集合法①由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對立事件eq\o(A,\s\up6(－))所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集考法二互斥事件、對立事件的概率[例2]某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示．已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數/人x3025y10結算時間/(分鐘/人)11.522.53(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)[解](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9分鐘．(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(A2)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4).因為A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).[方法技巧]求復雜互斥事件概率的2種方法直接法將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和間接法先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．當題目涉及“至多”“至少”型問題時，多考慮間接法eq\a\vs4\al([集訓沖關])1.eq\a\vs4\al([考法一])如果事件A與B是互斥事件，則()A．A∪B是必然事件B.eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))一定是互斥事件C.eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))一定不是互斥事件D.eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))是必然事件解析：選D事件A與B互斥即A∩B為不可能事件，所以eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))＝eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))是必然事件，故選項D正確；在拋擲骰子試驗中，A表示向上的數字為1，B表示向上的數字為2，A∪B不是必然事件，選項A錯誤；eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))不一定是互斥事件，選項B錯誤；A表示向上的數字為奇數，B表示向上的數字為偶數，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))是互斥事件，選項C錯誤．故選D.2.eq\a\vs4\al([考法二])(2018·全國卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，則不用現金支付的概率為()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：選B由題意可知不用現金支付的概率為1－0.45－0.15＝0.4.故選B.3.eq\a\vs4\al([考法二])某河流上的一座水力發電站，每年六月份的發電量Y(單位：萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關．據統計，當X＝70時，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的頻率分布表：近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年6月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發電站的發電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率．解：(1)在所給數據中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個，故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)由已知可得Y＝eq\f(X,2)＋425，故P(“發電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時”)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).[課時跟蹤檢測]1．(2019·湖北十市聯考)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”解析：選DA中的兩個事件是包含關系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關系．2．(2018·河南新鄉二模)已知隨機事件A，B發生的概率滿足條件P(A∪B)＝eq\f(3,4)，某人猜測事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))發生，則此人猜測正確的概率為()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．0解析：選C∵事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))與事件A∪B是對立事件，∴事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))發生的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(A∪B)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，則此人猜測正確的概率為eq\f(1,4).故選C.3．(2019·漳州龍海校級期中)把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是()A．對立事件 B．對立但不互斥事件C．互斥但不對立事件 D．以上均不對解析：選C事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不可能同時發生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發生、一個不發生，可能兩個都不發生，所以這兩個事件互斥但不對立，應選C.4．(2019·銀川四校聯考)下列結論正確的是()A．事件A的概率P(A)必滿足0＜P(A)＜1B．事件A的概率P(A)＝0.999，則事件A是必然事件C．用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人進行治療，結果有380人有明顯的療效，現有一名胃潰瘍病人服用此藥，則估計有明顯的療效的可能性為76%D．某獎券中獎率為50%，則某人購買此獎券10張，一定有5張中獎解析：選C由概率的基本性質可知，事件A的概率P(A)滿足0≤P(A)≤1，故A錯誤；必然事件的概率為1，故B錯誤；某獎券中獎率為50%，則某人購買此獎券10張，不一定有5張中獎，故D錯誤．故選C.5．(2019·郴州模擬)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左邊的概率是()A．1 B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：選D甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6種，其中甲排在左邊的站法為2種，∴甲排在左邊的概率是eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選D.6．(2019·泉州模擬)從含有質地均勻且大小相同的2個紅球、n個白球的口袋中隨機取出一球，若取到紅球的概率是eq\f(2,5)，則取得白球的概率等于()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：選C∵取得紅球與取得白球為對立事件，∴取得白球的概率P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).7．已知隨機事件A發生的概率是0.02，若事件A出現了10次，那么進行的試驗次數約為()A．300 B．400C．500 D．600解析：選C設共進行了n次試驗，則eq\f(10,n)＝0.02，解得n＝500.故選C.8．(2019·衡陽八中一模)從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產品不是一等品”的概率為()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3解析：選C∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的產品不是一等品”的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.故選C.9．某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產情況下，出現乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一個產品是正品(甲級)的概率為()A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08解析：選C記抽檢的產品是甲級品為事件A，是乙級品為事件B，是丙級品為事件C，這三個事件彼此互斥，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.10．若隨機事件A，B互斥，A，B發生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))解析：選D由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜PA＜1，,0＜PB＜1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜2－a＜1，,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)＜a≤eq\f(4,3).11．某城市2018年的空氣質量狀況如下表所示：污染指數T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數T≤