古之測(cè)量術(shù)重差、旁要、夕桀古之測(cè)量術(shù)1重差、旁要、夕桀：三者都是以勾股為基礎(chǔ)的測(cè)量術(shù)

旁要：借方形來測(cè)量

夕桀：借圓形來測(cè)量

重差：源自《數(shù)書九章》，由原來兩次測(cè)量中兩對(duì)數(shù)據(jù)的差數(shù)，轉(zhuǎn)變?yōu)楣垂杀嚷手械膬蓚€(gè)差重差、旁要、夕桀：旁要：借方形來測(cè)量夕桀：借圓形來測(cè)量2重差，是西漢初年主張蓋天學(xué)說的天文學(xué)家將勾股測(cè)量應(yīng)用于天體而發(fā)展起來的新的數(shù)學(xué)方法。重：重覆之意差：日影相距劉徵在其《九章算術(shù)》序中對(duì)重差曾作表述，序曰：凡望極高，測(cè)絕深而兼之其遠(yuǎn)必用重差，勾股則必為重差為率，故曰重差也。重差，是西漢初年主張蓋天學(xué)說的天文學(xué)家將勾股測(cè)量應(yīng)用于天體而3中國勾股測(cè)量之術(shù)大禹治水：左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩，載四時(shí)以開九州，通九道。

《周髀算經(jīng)》：商高答周公的用矩之道平矩以正繩，偃矩以為圓，合矩以為方。對(duì)于被測(cè)目標(biāo)不可能達(dá)的日高問題，陳子亦向榮方作簡要介紹。中國勾股測(cè)量之術(shù)大禹治水：左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩，載四時(shí)以《周髀4三國時(shí)吳人趙爽：為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)，曾作“日高圖”和“日高圖說”，以明陳子測(cè)日之法；並用這個(gè)定理証明了重差術(shù)公式。三國時(shí)吳人趙爽：5《九章算術(shù)》在其第九章“勾股”章的二十四問中：前十三問為解勾股形，第十七至二十四問屬勾股測(cè)量問題，但大都是通過一次測(cè)望即可得解?！毒耪滤阈g(shù)》在其第九章“勾股”章的二十四問中：6劉徵在為《九章算術(shù)》注文時(shí)，整理、繼承、發(fā)展了需通過兩次以上測(cè)量求解的方法－－重差術(shù)，並為之繪圖、注解，以究古人之意，綴于勾股之下。出“重差”單行本，因第一題為『測(cè)望海島』，故名為《海島算經(jīng)》。惜劉注及九章重差圖在宋代失傳，僅剩九題，即現(xiàn)傳的《海島算經(jīng)》。劉徵在為《九章算術(shù)》注文時(shí)，整理、繼承、發(fā)展了需通過兩次以上7清戴震從《永樂大典》中輯出現(xiàn)傳《海島算經(jīng)》九題：“度高者重表，測(cè)深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭優(yōu)，靡所不入。”究其實(shí)質(zhì)，均從勾股不失本率原理出發(fā)，借用比例性質(zhì)，推衍變化，創(chuàng)造出測(cè)量可望而不可及等遠(yuǎn)處目標(biāo)物的高、深、遠(yuǎn)、廣等方法。清戴震從《永樂大典》中輯出現(xiàn)傳《海島算經(jīng)》九題：“度高者重表8《海島算經(jīng)》九題：兩次測(cè)望題（三題）、三次測(cè)望題（四題）、四次測(cè)望題（兩題）解答形式：

重表法（立兩個(gè)等高的標(biāo)桿）

連索法（用繩和表）

累矩法（用兩個(gè)矩代替表）《海島算經(jīng)》九題：重表法（立兩個(gè)等高的標(biāo)桿）9岸望清淵(累矩四望)累矩望谷(累矩兩望)登山望樓(累矩三望)登山望津(累矩三望)南望方邑(連索兩望)測(cè)望海島(重表兩望)松生山上(重表三望)測(cè)望波口(連索三望)登山臨邑(累矩四望)岸望清淵累矩望谷登山望樓登山望津南望方邑測(cè)望海島松生山上測(cè)望10測(cè)望海島（重表兩望）今有望海島，立兩表齊高三丈，前後相距千步，令後表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。從後表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高及去表各幾何？本題雖屬“重表兩望”問題，但實(shí)為《周髀算經(jīng)》裡陳子測(cè)日問題。南表北表測(cè)望海島（重表兩望）今有望海島，立兩表齊高三丈，前後相距千步11南表北表ACKDFBHGME南表北表ACKDFBHGME12在海島算經(jīng)課件13公式証明：公式証明：14測(cè)望波口今有東南望波口，立兩表，南、北相去九丈，以宗薄地連之。當(dāng)北表之西卻行去表六丈，薄地遙望波口南岸，入索北端四丈了寸。以望北岸，入前所望表裡一丈二尺，又卻後行去表十三丈五尺，薄地遙望波口南岸，與南表參合。問波口廣幾何？重表法：用以測(cè)高連索法：用以測(cè)廣本題屬“南望方邑”題的發(fā)展，為“連索三望”的測(cè)量問題。測(cè)望波口今有東南望波口，立兩表，南、北相去九丈，以宗薄地連之15D’FH南岸EG北岸KBACD波口岸D’FH南岸EG北岸KBACD波口岸16依術(shù)有：依術(shù)有：17岸望清淵今有望清淵，淵下有白石。偃矩岸上，今句高三尺，斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又設(shè)重矩于上，其間相去四尺。更從句端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。問水深幾何？在《海島算經(jīng)》裡，有五個(gè)問題是用『矩』來測(cè)量的。測(cè)量時(shí)，通常都是使它的一個(gè)分支直立，另一支橫臥。前者叫勾，後者叫股。同時(shí)用兩個(gè)矩，它們的高總是相等的。岸望清淵今有望清淵，淵下有白石。偃矩岸上，今句高三尺，斜望水18本題要求：在岸上以累矩法測(cè)望水深由于“水深孤立無著”，需旁求它處而使測(cè)望次數(shù)高達(dá)四次。B’(白石)RSL水面BAD水面FENMG本題要求：由于“水深孤立無著”，需旁求它處而使測(cè)望次數(shù)高達(dá)四19在海島算經(jīng)課件20《海島算經(jīng)》其它六題：從不同測(cè)點(diǎn)獲得不同的數(shù)據(jù)依據(jù)相似勾股形的性質(zhì)求出“表間”、“表高”、“表前之影”、“後表之影”、“兩表日影之差”套用重差公式，便得答數(shù)《海島算經(jīng)》其它六題：依據(jù)相似勾股形的性質(zhì)求出“表間”、21劉徽『重差術(shù)』：建立于“南北各盡平地”，備受眾多批評(píng)南北朝何承天、唐代一行等人的實(shí)際測(cè)量所否定唐李淳風(fēng)注《周髀算經(jīng)》時(shí)，推廣“日高術(shù)”到“地有高下不平”就“望表不同”作“後高前下梯狀地形之高遠(yuǎn)”等六術(shù)劉徽『重差術(shù)』：建立于“南北各盡平地”，備受眾多批評(píng)南北22甲．“後高前下術(shù)”與“前高後下術(shù)”按二表下地，依水平法定其高下。若北表地高則以為勾，以間為弦。置其高數(shù)，其影乘之，其表除之，所得益股為定間。若北表下者亦置所下，以法乘、除，所得以減股為定間。又令高、下之?dāng)?shù)與間相約，為地高、遠(yuǎn)之率。求遠(yuǎn)者，影乘定間，差法而一，所得加表，日之高也。求邪去地者，弦乘定間，差法如一，所得加弦，日邪去地……。甲．“後高前下術(shù)”與“前高後下術(shù)”按二表下地，依水平法定其高23“後高前下術(shù)”（左）與“前高後下術(shù)”（右），就是在斜面狀大地上進(jìn)行高、遠(yuǎn)測(cè)量之術(shù)。定間：假設(shè)將後表移至前表同一水平位置時(shí)的兩表距離。“後高前下術(shù)”（左）與“前高後下術(shù)”（右），就是在斜面狀大地24乙．“邪下術(shù)”與“邪上術(shù)”邪下術(shù)：依其北高之率，高其句影，合與地勢(shì)隆殺相似，餘同平法，假令髀斜下而南，其邪亦同，不須別望。但弦短與勾股不得相應(yīng)。其南里數(shù)亦隨地勢(shì)，不得校平。平則促，若用此術(shù)，但得南望。若北望者，即用勾照南下之術(shù)。邪上術(shù)：依其後下之率作其勾影，此謂迴望北極，以為高遠(yuǎn)者，望去取差亦同南望。此述弦長，亦與勾股不得相應(yīng)，唯得北望，不得南望。若南望者，即用勾影北高之術(shù)。餘同平法：即在這種地勢(shì)上測(cè)其高遠(yuǎn)，只需以實(shí)際斜面影長代替假設(shè)平面影長乙．“邪下術(shù)”與“邪上術(shù)”邪下術(shù)：依其北高之率，高其句影，合25乙．“邪下術(shù)”與“邪上術(shù)”邪下術(shù)：依其北高之率，高其句影，合與地勢(shì)隆殺相似，餘同平法，假令髀斜下而南，其邪亦同，不須別望。但弦短與勾股不得相應(yīng)。其南里數(shù)亦隨地勢(shì)，不得校平。平則促，若用此術(shù)，但得南望。若北望者，即用勾照南下之術(shù)。餘同平法：即在這種地勢(shì)上測(cè)其高遠(yuǎn)，只需以實(shí)際斜面影長代替假設(shè)平面影長乙．“邪下術(shù)”與“邪上術(shù)”邪下術(shù)：依其北高之率，高其句影，合26“邪下術(shù)”與“邪上術(shù)”，主要用于測(cè)量坡度始終如一的斜面地形。自上而下測(cè)望用“邪下術(shù)”自下而上測(cè)望用“邪上術(shù)”“邪下術(shù)”與“邪上術(shù)”，主要用于測(cè)量坡度始終如一的斜面地形。27乙．“邪下術(shù)”與“邪上術(shù)”邪上術(shù)：依其後下之率作其勾影，此謂迴望北極，以為高遠(yuǎn)者，望去取差亦同南望。此述弦長，亦與勾股不得相應(yīng)，唯得北望，不得南望。若南望者，即用勾影北高之術(shù)。註：李淳風(fēng)的斜面重差術(shù)除上述四術(shù)外，還有－－“後下術(shù)”及“平術(shù)”乙．“邪下術(shù)”與“邪上術(shù)”邪上術(shù)：依其後下之率作其勾影，此謂28南表北表ACKDFBHGMEADHGME勾中容橫劉徽、李淳風(fēng)，“重差術(shù)”的本質(zhì)一．從測(cè)量方式上看，是勾股測(cè)量的重覆進(jìn)行，即“重用勾股”。左圖的結(jié)構(gòu)，實(shí)為“勾中容橫”圖的復(fù)合圖南表北表ACKDFBHGMEADHGME勾中容橫劉徽、李淳風(fēng)29二．從計(jì)算方法上看，它是取兩次測(cè)量中的兩對(duì)數(shù)據(jù)的“兩個(gè)差數(shù)”，來代替勾股弦公式中的勾率和股率，進(jìn)而以《九章算術(shù)》中的“今有術(shù)”立算。三．從測(cè)望技術(shù)上看，它與近代三角測(cè)量差不多，二者有異曲同工之妙。不同的是：近代三角測(cè)量是測(cè)出兩個(gè)仰角，用其餘切值求解。而重差術(shù)是直接測(cè)出其勾與股，在具體計(jì)算中用到了勾與股的比值。二．從計(jì)算方法上看，它是取兩次測(cè)量中的兩對(duì)數(shù)三．從測(cè)望技術(shù)上30《數(shù)書九章》中的測(cè)量問題宋元數(shù)學(xué)家秦九韶著《數(shù)書九章》其中卷七、卷八為測(cè)望類，卷十六有“望知敵眾”一題，共十個(gè)測(cè)量問題十個(gè)測(cè)量問題中，有六個(gè)問題涉及“重差”?！稊?shù)書九章》中的測(cè)量問題宋元數(shù)學(xué)家秦九韶著其中卷七、卷八31直接用《海島算經(jīng)》中相關(guān)的公式與勾股比率相結(jié)合問有名山去城不知高遠(yuǎn)。城外平地有木一株，高二丈三尺(h)，假為前表，乃立後表與木齊高，相去一百六十四步(d)，先退前表三丈九寸(b)，次退後表三丈一尺三寸(a)，斜望山峰，各與其表之端參合。人目高五尺(k)，里法三百六十步，步法五尺，欲知山高(x)及遠(yuǎn)(y)各幾何。卷七第1題：“望山高遠(yuǎn)”（參考“望海島”題）直接用《海島算經(jīng)》中相關(guān)的公式與勾股比率相結(jié)合問有名山去城不32adbyxh術(shù)曰：“以勾股求之，

重差入之”秦九韶－－adbyxh術(shù)曰：“以勾股求之，秦九韶－－33李銳認(rèn)為此術(shù)有誤，他指出：“此所得，系人目上之山高，若加人目高，則多一步。”李銳認(rèn)為此術(shù)有誤，他指出：“此所得，系人目上之山高，若加人目34直接用《海島算經(jīng)》中相關(guān)的公式與勾股比率相結(jié)合問有浮圖欹側(cè)，欲換塔心木，不知其高，去塔六丈(a)有剎竿，亦不知其高。竿木去地九尺二寸始釘，釘一十四枚，每釘下股相去二尺五寸，就竿為表，人退竿三丈(c)，遙望浮圖尖，適與竿端斜合，又望相輪之本，錳景入釘?shù)谄呙?h)上股，人目去地四尺八寸(d)，心木放三尺為楯卯剪裁。欲求塔高(AB=x)，輪高(AJ=y)，合用塔心木長各幾何？卷八最後1題：“表望浮圖”與《九章算術(shù)》勾股章第二十三題（因木望山）同類直接用《海島算經(jīng)》中相關(guān)的公式與勾股比率相結(jié)合問有浮圖欹側(cè)，35cxdaby以勾股術(shù)來求塔高：由相似勾股形對(duì)應(yīng)邊成比例可推導(dǎo)下列兩式cxdaby以勾股術(shù)來求塔高：36細(xì)意比較，“表望浮圖”題求相輪之高與《海島算經(jīng)》“望松生山上”求松高，所要解決的問題十分相似?！巴缮缴稀鳖}：今有望松生山上，不知高下，立兩表，齊高三丈，前後相去五十步，令後表與前表參相直。從前表卻行七步四尺，薄地遙望松末，與表端參合，又望松本，人表二尺八寸，復(fù)從後表卻行八步五尺，薄地遙望松末，亦與表端參合。問松高及山去表各幾何？細(xì)意比較，“表望浮圖”題求相輪之高與《海島算經(jīng)》“望松生山上37“望松生山上”通過立兩表，先求松高，再求山去前表之遠(yuǎn)假若今已知山去前表之遠(yuǎn)，則只需立一表，且此時(shí)的問題與“表望浮圖”題中的求相輪之高完全一樣“望松生山上”通過立兩表，先求松高，再求38用“重差”法秦九韶繼承了劉徽“以重差為率”的思想，但這個(gè)『重差』不是劉徽所述的兩測(cè)量中兩對(duì)數(shù)據(jù)的差數(shù)，而是在勾股比率中用到兩個(gè)差數(shù)的比算題有卷七“陡岸測(cè)水”、卷八“表望方城”、“望敵遠(yuǎn)近”，卷十六“望知敵眾”。用“重差”法秦九韶繼承了劉徽“以重差為率”的思想，算39陡岸測(cè)水（《數(shù)書九章》卷七）問行師遇水，須計(jì)篾纜，搭造浮橋。今垂繩量陡岸，高三丈，人立其上(b)，欲測(cè)水面之闊