微積分IA總復習第1頁函數與極限一、主要內容第2頁函數定義反函數隱函數反函數與直接函數之間關系基本初等函數復合函數初等函數函數性質單值與多值奇偶性單調性有界性周期性雙曲函數與反雙曲函數第3頁函數分類函數初等函數非初等函數(分段函數,有沒有窮多項等函數)代數函數超越函數有理函數無理函數有理整函數(多項式函數)有理分函數(分式函數)第4頁左右極限兩個主要極限求極限慣用方法無窮小性質極限存在充要條件判定極限存在準則無窮小比較極限性質數列極限函數極限等價無窮小及其性質唯一性無窮小二者關系無窮大第5頁1、極限定義第6頁第7頁左極限右極限第8頁無窮小:極限為零變量稱為無窮小.絕對值無限增大變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大倒數為無窮小;恒不為零無窮小倒數為無窮大.無窮小與無窮大關系2、無窮小與無窮大第9頁定理1在同一過程中,有限個無窮小代數和仍是無窮小.定理2有界函數與無窮小乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限變量與無窮小乘積是無窮小.推論2常數與無窮小乘積是無窮小.推論3有限個無窮小乘積也是無窮小.無窮小運算性質第10頁定理推論1推論23、極限性質第11頁4、求極限慣用方法a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.第12頁5、判定極限存在準則(夾逼準則)第13頁(1)(2)6、兩個主要極限第14頁定義:7、無窮小比較第15頁定理(等價無窮小替換定理)8、等價無窮小性質9、極限唯一性第16頁左右連續在區間[a,b]上連續連續函數性質初等函數連續性間斷點定義連續定義連續充要條件連續函數運算性質非初等函數連續性振蕩間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間斷點第一類第二類第17頁1、連續定義第18頁定理3、連續充要條件2、單側連續第19頁4、間斷點定義第20頁(1)跳躍間斷點(2)可去間斷點5、間斷點分類第21頁跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點.特點:可去型第一類間斷點跳躍型0yx0yx第22頁0yx無窮型振蕩型第二類間斷點0yx第二類間斷點第23頁6、閉區間連續性7、連續性運算性質定理第24頁定理1

嚴格單調連續函數必有嚴格單調連續反函數.定理28、初等函數連續性定理3第25頁定理4基本初等函數在定義域內是連續.定理5一切初等函數在其定義區間內都是連續.定義區間是指包含在定義域內區間.9、閉區間上連續函數性質定理1(最大值和最小值定理)在閉區間上連續函數一定有最大值和最小值.第26頁定理2(有界性定理)在閉區間上連續函數一定在該區間上有界.第27頁推論在閉區間上連續函數必取得介于最大值M與最小值m之間任何值.第28頁導數與微分第29頁求導法則基本公式導數微分關系高階導數高階微分第30頁導數定義第31頁求導法則(1)函數和、差、積、商求導法則(2)反函數求導法則第32頁(3)復合函數求導法則(4)對數求導法先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數求導方法求出導數.適用范圍:第33頁(5)隱函數求導法則用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.(6)參變量函數求導法則第34頁高階導數記作二階導數導數稱為三階導數,(二階和二階以上導數統稱為高階導數)第35頁微分定義定義(微分實質)第36頁導數與微分關系定理微分求法求法:計算函數導數,乘以自變量微分.第37頁函數和、差、積、商微分法則微分基本法則微分形式不變性第38頁中值定理與導數應用第39頁洛必達法則Rolle定理Lagrange中值定理慣用泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調性,極值與最值,凹凸性,拐點,函數圖形描繪;曲率;求根方法.導數應用第40頁羅爾中值定理第41頁拉格朗日中值定理有限增量公式.第42頁柯西中值定理推論第43頁泰勒中值定理第44頁洛必達法則定義這種在一定條件下經過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值方法稱為洛必達法則.關鍵:將其它類型未定式化為洛必達法則可處理類型.注意：洛必達法則使用條件.第45頁導數應用定理(1)函數單調性判定法第46頁定義(2)函數極值及其求法第47頁定理(必要條件)定義函數極大值與極小值統稱為極值,使函數取得極值點稱為極值點.極值是函數局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導點統稱為臨界點.第48頁定理(第一充分條件)定理(第二充分條件)第49頁求極值步驟:第50頁步驟:1.求駐點和不可導點;2.求區間端點及駐點和不可導點函數值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:假如區間內只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值問題第51頁實際問題求最值應注意:1)建立目標函數;2)求最值;(4)曲線凹凸與拐點定義第52頁第53頁定理1第54頁方法1:方法2:第55頁利用函數特征描繪函數圖形.第一步第二步(5)函數圖形描繪第56頁第三步第四步確定函數圖形水平、鉛直漸近線以及其它改變趨勢;第五步第57頁(6)弧微分曲率曲率圓曲率計算公式第58頁定義第59頁不定積分第60頁積分法原函數選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分幾個特殊類型函數積分第61頁原函數定義原函數存在定理即：連續函數一定有原函數．第62頁不定積分(1)定義第63頁(2)微分運算與求不定積分運算是互逆.(3)不定積分性質第64頁第一類換元法直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分性質求不定積分方法.第65頁常見類型:第66頁第二類換元法第二類換元公式第67頁慣用代換:第68頁分部積分法分部積分公式選擇u有效方法:LIATE選擇法L----對數函數；I----反三角函數；A----代數函數；T----三角函數；E----指數函數；

哪個在前哪個選作u.第69頁幾個特殊類型函數積分（1）有理函數積分定義兩個多項式商表示函數稱之.真分式化為部分分式之和待定系數法第70頁四種類型分式不定積分此兩積分都可積,后者有遞推公式第71頁令（2）三角函數有理式積分定義由三角函數和常數經過有限次四則運算組成函數稱之．普通記為第72頁（3）簡單無理函數積分討論類型：處理方法：作代換去掉根號．第73頁定積分與廣義積分第74頁問題1:曲邊梯形面積問題2:變速直線運動旅程存在定理廣義積分定積分定積分性質定積分計算法牛頓-萊布尼茨公式第75頁1、問題提出實例1（求曲邊梯形面積A）第76頁實例2（求變速直線運動旅程）方法:分割、求和、取極限.第77頁2、定積分定義定義第78頁記為第79頁可積兩個充分條件：定理1定理23、存在定理第80頁4、定積分性質性質1性質2性質3第81頁性質5推論：（1）（2）性質4第82頁性質7(定積分中值定理)性質6積分中值公式第83頁5、牛頓—萊布尼茨公式定理1定理2（原函數存在定理）第84頁定理3（微積分基本公式）也可寫成牛頓—萊布尼茨公式第85頁6、定積分計算法換元公式（1）換元法（2）分部積分法分部積分公式第86頁定積分應用第87頁微元法理論依據名稱釋譯所求量特點解題步驟定積分應用中慣用公式第88頁所求量特點微元素法第89頁解題步驟第90頁定積分應用慣用公式(1)平面圖形面積直角坐標情形第91頁假如曲邊梯形曲邊為參數方程曲邊梯形面積參數方程所表示函數第92頁極坐標情形第93頁(2)體積xyo第94頁平行截面面積為已知立體體積第95頁(3)平面曲線弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為第96頁C．曲線弧為弧長(4)旋轉體側面積xyo第97頁無窮級數第98頁常數項級數函數項級數一般項級數正項級數冪級數三角級數收斂半徑R泰勒展開式數或函數函數數任意項級數傅氏展開式傅氏級數泰勒級數滿足狄氏條件在收斂級數與數條件下相互轉化第99頁常數項級數級數部分和定義級數收斂與發散第100頁性質1:級數每一項同乘一個不為零常數,斂散性不變.性質2:收斂級數能夠逐項相加與逐項相減.性質3:在級數前面加上有限項不影響級數斂散性.性質4:收斂級數加括弧后所成級數依然收斂于原來和.級數收斂必要條件:收斂級數基本性質第101頁常數項級數審斂法正項級數任意項級數1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交織級數(萊布尼茨定理)3.按基本性質;普通項級數4.絕對收斂第102頁定義正項級數及其審斂法審斂法(1)比較審斂法第103頁(2)比較審斂法極限形式第104頁第105頁第106頁定義

正、負項相間級數稱為交織級數.交織級數及其審斂法第107頁定義正項和負項任意出現級數稱為任意項級數.任意項級數及其審斂法第108頁函數項級數(1)定義(2)收斂點與收斂域第109頁(3)和函數第110頁(1)定義冪級數第111頁(2)收斂性第112頁推論第113頁定義:正數R稱為冪級數收斂半徑.冪級數收斂域稱為冪級數收斂區間.第114頁a.代數運算性質:加減法(其中(3)冪級數運算第115頁乘法(其中除法第116頁b.和函數分析運算性質:第117頁冪級數展開式(1)定義第118頁(2)充要條件(3)唯一性第119頁(3)展開方法a.直接法(泰勒級數法)步驟:b.間接法依據唯一性,利用常見展開式,經過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法,求展開式.第120頁(4)常見函數展開式第121頁第122頁(1)三角函數系三角函數系傅里葉級數第123頁(2)傅里葉級數定義三角級數第124頁其中稱為傅里葉級數.第125頁(3)狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)第126頁(4)正弦級數與余弦級數第127頁第128頁奇延拓:(5)周期延拓第129頁偶延拓:第130頁第131頁二、經典例題第132頁例1解將分子、分母同乘以因子(1-x),則第133頁例2解第134頁例3解第135頁第136頁例4證實討論:第137頁由零點定理知,綜上,第138頁例5解第139頁例6解分析:不能用公式求導.第140頁例7解兩邊取對數第141頁例8解先去掉絕對值第142頁第143頁例9解第144頁例10解第145頁例11解第146頁例12證由介值定理,第147頁

注意到由,有

+,得第148頁例13證第149頁例14證

第150頁–,則有第151頁例15解第152頁若兩曲線滿足題設條件,必在該點處含有相同一階導數和二階導數,于是有第153頁解此方程組得故所求作拋物線方程為曲率圓方程為兩曲線在點處曲率圓圓心為第154頁例16解(倒代換)第155頁例17解第156頁解得第157頁例18解第158頁例19解第159頁例20解第160頁第161頁第162頁例21解第163頁例22解第164頁例23解第165頁例24解是偶函數,第166頁例25解第167頁例26證第168頁第169頁例27證作輔助函數第170頁第171頁例28解第172頁依據級數收斂必