線面角思路引導思路引導一．直線與平面所成角如圖所示，設l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，θ為l與α所成的角，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).【注意】直線與平面所成角的范圍為，而向量之間的夾角的范圍為[0，π]，所以公式中要加絕對值．二．利用向量法求線面角的兩種方法母題呈現母題呈現【例1】（2022·全國甲（理）T18）在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．【解析】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；（2）如圖，以點原點建立空間直角坐標系，，則，則，設平面的法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.【例2】（2022·浙江卷T19）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．

（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點交于點、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因為平面，過點做平行線，所以以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，則，設平面的法向量為由，得，取，設直線與平面所成角為，∴．方法總結方法總結向量法求直線與平面所成角主要方法是：1.分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，將題目轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；2.通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.模擬訓練模擬訓練1．（2023·江西贛州·統考一模）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面平面，，，，分別為，的中點，且．(1)證明：；(2)若為等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值．【分析】（1）連接，利用線面垂直證明異面直線垂直；（2）根據為等邊三角形，可得的值，過作的平行線軸，結合（1）知軸，，兩兩垂直，從而可建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量和，利用向量的夾角公式即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，為的中點，∴，又平面平面，平面平面，平面，故平面，∵平面，∴，又∵，且，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）由為等邊三角形，，得，如圖，過作的平行線軸，結合（1）知軸，，兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，則，，設為平面的一個法向量，則，得，取，得，則，因為為的中點，所以，又，所以，則，設直線與平面所成角為，則，2．（2023·上海·統考模擬預測）如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.【分析】（1）取中點，連接，證明，根據線面平行的判定定理即可證明平面.（2）分別取中點，連接，以為原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法計算即可求出結果.【詳解】（1）證明：取中點，連接，因為正三棱柱，所以，且，因為為線段的中點，所以且.所以且，因為為中點，所以.所以且.所以四邊形是平行四邊形.所以.又因為平面，平面，所以平面.（2）解：分別取中點，連接，因為是正三棱柱，所以，平面，.所以平面.所以，.以為原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.則.所以.設平面的法向量為，所以，即，令，解得，所以.設直線與平面所成角為，，則，所以.即直線與平面所成角為.3．（2023·湖北·統考模擬預測）如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側面為菱形，已知，．(1)當時，求三棱柱的體積；(2)設點P為側棱上一動點，當時，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．【分析】（1）取的中點為O，根據等邊三角形可知，，再計算出各個長度可知，根據線面垂直判定定理可證平面，即為三棱柱的高，根據體積公式求出即可；（2）根據及余弦定理解出，以為原點建立合適空間直角坐標系，找出點的坐標，求出平面的一個法向量，設，求出，根據直線面所成角的正弦值等于線與法向量夾角的余弦值的絕對值建立等式，構造新函數，根據二次函數性質即可求得范圍.【詳解】（1）解：如圖，取的中點為O，因為為菱形，且，所以為正三角形，又有為正三角形且邊長為2，則，，且，，所以，所以，因為又，平面，平面，所以平面，所以三棱柱的體積．（2）在中，，，由余弦定理可得，所以，由（1），，又，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以在平面內作，則平面，以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示：則，，，，，，設是平面的一個法向量，，，則，即，取得，設，則，設直線與平面所成角為，則，令，則在單調遞增，所以，故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為．4．（2023·福建福州·統考二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中點．(1)證明：BE平面PAD；(2)若，平面PAD⊥平面ABCD，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【分析】（1）通過構造平行四邊形的方法證得BE平面PAD.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線AB與平面PBC所成角的正弦值.【詳解】（1）取中點，連接．，四邊形為平行四邊形，，又平面平面，平面．（2）取中點中點，連接，可得．平面平面，平面平面平面，平面．．以為原點，以所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示空間直角坐標系．因為是等邊三角形，所以，所以．則．設平面的法向量為，由，可得，令，可得，從而是平面的一個法向量．則，所以直線與平面所成角的正弦值為．5．（2023·浙江·校聯考模擬預測）在三棱錐中，D，E，P分別在棱AC，AB，BC上，且D為AC中點，，于F.(1)證明：平面平面；(2)當，，二面角的余弦值為時，求直線與平面所成角的正弦值.【分析】（1）先證明平面，由此即可得到本題答案；（2）以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，求出向量與平面的法向量，然后代入公式，即可得到本題答案.【詳解】（1）因為，所以都是等腰三角形，因為于F，所以F為DE的中點，則，，又因為是平面內兩條相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）因為，，所以，，，所以，，由（1）知為二面角的平面角所以，以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，易得，，知，因為，，可得，所以設平面的法向量，，所以，令，則，所以，又，設直線與平面所成角為θ，，所以直線與平面所成角的正弦值為.6．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）如圖，四棱臺的下底面和上底面分別是邊和的正方形，側棱上點滿足.(1)證明：直線平面；(2)若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.【分析】（1）延長和交于點，連接交于點，連接，即可得到，從而得到為中點，即可得到且，從而得到，即可得解；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）證明：延長和交于點，連接交于點，連接，由，故，所以，所以，所以，所以為中點，又且，且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則.所以.設平面的法向量，由，得，取，故所求角的正弦值為，所以直線與平面所成角的正弦值為.7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）在三棱錐中，，，．(1)證明：；(2)若，，在棱上，當直線與平面所成的角最大時，求的長．【分析】（1）取中點，連接，，利用線面垂直證明異面直線垂直；（2）過點作于，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，利用坐標法計算線面夾角正弦值，進而確定當時線面夾角最大，可得此時的長度.【詳解】（1）取中點為，連接，，因為，，所以，，又，，平面，所以平面，又平面，所以；（2）過作，交于點，由（1）知，平面平面，所以平面，過作的平行線，交，分別于，，有，，兩兩垂直，建立以為坐標原點，，，分別為，，軸的空間直角坐標系，因為，，，所以，，，所以，，，所以，，，，設，有，．設為平面的一個法向量，由，有，所以．設直線與平面所成的角為，則有，當時，取最小值，取最大值，即最大，此時．8．（2023·廣東汕頭·統考一模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，，平面，，．(1)已知點為上一點，且，求證：與平面不平行；(2)已知直線與平面所成角的正弦值為，求該多面體的體積．【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量及直線的方向向量，即可證明；（2）設且，利用空間向量法求出表示出線面角的正弦值，即可求出參數的值，再根據錐體的體積公式計算可得.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以、，又，如圖建立空間直角坐標系，則、、、、，所以，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以，因為，且不存在使得，即與不共線，所以與平面不平行且不垂直.（2）解：設且，則，所以，直線與平面所成角的正弦值為，，化簡得，解得或（舍去），因為，平面，所以平面，又平面，平面，所以，，又，，所以，，平面，所以平面，又，所以，，所以，所以，即多面體的體積為.9．（2023·山東·煙臺二中校考模擬預測）在直四棱柱中，底面是菱形，交于點O，．(1)若，求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求四棱柱的高．【分析】（1）由線面垂直性質定理證得，由線面垂直判定定理及性質定理證得，由平面幾何知識證得，進而證得平面，再由面面垂直判定定理證得結果.（2）以O為原點建立空間直角坐標系，運用線面角公式計算即可.【詳解】（1）證明：連接，因為底面是菱形，所以，又平面平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以是等邊三角形，所以，在中，又，所以，同理，所以，即，又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）以O為坐標原點，向量的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，所以．設平面的一個法向量為，由得取，則．設直線與平面所成的角為，則，解得或，即四棱柱的高為或．10．（2023·全國·模擬預測）已知底面為正方形的四棱柱，，E，F，H分別為，，的中點，三角形的面積為4，P為直線FH上一動點且(1)求證：當時，BP⊥AC；(2)是否存在，使得線段BP與平面夾角余弦值為．【分析】（1）由的面積為4，推導出，即，又，可得平面，當時，為的中點，P在上，可證得平面，從而得；（2）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，求出平面的法向量，利用向量夾角公式列出關于的方程，即可得出結論．【詳解】（1）連接，因為，所以，所以，即，又，，平面，故平面，當時，，則為中點，P在上，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴；（2）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，∴，，，，設，所以，，，設平面的法向量，則，即，令，則，∴，若線