2022-2023學年福建省福州市高一下學期期末考試數學試題一、單選題1．已知為虛數單位，復數滿足，則的虛部（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由共軛復數的概念求得，則答案可求.【詳解】由，得，，則的虛部為.故選：A.2．高一某班10名學生的英語口語測試成績（單位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.這組數據的第75百分位數是（

）A．85 B．86 C．85.5 D．86.5【答案】B【分析】把數據從小到大的順序排列，然后用百分位數的定義求解.【詳解】從小到大的順序排列數據為：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，因為，所以這組數據的75百分位數是第八個數據86.故選：B【點睛】本題主要考查總體百分位數的估計，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.3．端午節放假，甲回老家過節的概率為，乙,丙回老家過節的概率分別為.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少1人回老家過節的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】這段時間內至少1人回老家過節的對立事件是這段時間沒有人回老家過節，由此能求出這段時間內至少1人回老家過節的概率.【詳解】端午節放假，甲回老家過節的概率為，乙,丙回老家過節的概率分別為.假定三人的行動相互之間沒有影響，這段時間內至少1人回老家過節的對立事件是這段時間沒有人回老家過節，這段時間內至少1人回老家過節的概率為：.故選：B.4．如圖正方體的棱長為a，以下結論中，錯誤的是（

）A．異面直線與所成的角為 B．直線與垂直C．直線與平行 D．直線與平行【答案】C【分析】對A，根據直線再在三角形中判斷即可；對B，根據直線，結合正方體的性質判定即可；對C，根據線面垂直的性質判斷直線與垂直即可；對D，根據平行四邊形判斷即可；【詳解】對A，正方體中，且，故平行四邊形，故，易得正，故異面直線與所成的角為直線與所成的角為，故A正確；對B，因為正方形，故直線與垂直，又，故與垂直，故B正確；對C，因為，平面，故，又平面，故平面，因為平面，故直線與垂直，故C錯誤；對D，由A可知平行四邊形，故，D正確；故選：C5．已知某個數的平均數為，方差為，現加入一個新數據，此時這個數的平均數為，標準差為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用平均數和方差公式可得結果.【詳解】某個數的平均數為，方差為，現加入一個新數據，此時這個數的平均數為，標準差為，方差為，，，．故選：B.6．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（

）A．至少有一個黑球與都是黑球B．至少有一個黑球與至少有一個紅球C．恰有一個黑球與恰有兩個黑球D．至少有一個黑球與都是紅球【答案】C【分析】列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.【詳解】對于：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，不正確；對于：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發生，如：一個紅球一個黑球，不正確；對于：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，正確；對于：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發生，但一定會有一個發生，這兩個事件是對立事件，不正確；故選：.7．已知，，函數，當時，f（x）有最小值，則在上的投影向量為（

）A． B． C．－ D．－【答案】C【分析】根據題意寫出的表達式，結合二次函數知識求得，根據投影向量的定義即可求得答案.【詳解】由題意得，,，當時，有最小值，即，則在上的投影向量為，故選：C8．設是同一個半徑為的球的球面上四點，是以為底邊的等腰三角形，且面積為，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先計算外接圓的半徑，再利用圖形得到點的位置，即可求三棱錐體積的最大值.【詳解】設，則，得，中，，得,再根據正弦定理可知，得，如圖，點是外接圓的圓心，點是四面體外接球的球心，當點和在一條直線上時，此時三棱錐的體積最大，，，此時故選：D二、多選題9．已知m、n是不同的直線，，是不重合的平面，則下列命題中，真命題有（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】BCD【分析】根據空間直線、平面間的位置關系判斷．【詳解】若，，，由與相交或平行，A錯；若，，則，又，所以，B正確；若，，則，因為，所以，C正確；若，，則，，則內存在直線與平行，由得，則得，D正確．故選：BCD．10．某士官參加軍區射擊比賽，打了6發子彈，報靶數據如下：7，8，9，10，6，8，（單位：環），下列說法正確的有（

）A．這組數據的平均數是8B．這組數據的極差是4C．這組數據的中位數是8.5D．這組數據的方差是2【答案】AB【分析】根據平均數，極差，中位數，方差的定義和計算公式分別求得，即可判斷各個選項的正誤.【詳解】解：對于A，這組數據的平均數是，故A正確；對于B，這組數據的極差是，故B正確；對于C，這組數據從小到大為6，7，8，8，9，10，∴這組數據的中位數是8，故C錯誤；對于D，這組數據的方差是，故D錯誤.故選：AB.11．在中，角的對邊分別是，則能確定為鈍角的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】選項，利用正弦定理化角為邊，并結合余弦定理，可得；選項B，由，可得；選項C，利用正弦定理化邊為角，并結合兩角和的正弦公式，化簡可得；選項D，根據同角三角函數的商數關系，兩角和的余弦公式，化簡可得.【詳解】選項，由正弦定理及，知，由余弦定理得，，由，所以為鈍角，即選項正確；選項B，，則，顯然不可能為鈍角，即選項B錯誤；選項C，由正弦定理及，得，由，，所以，又，所以，由，，所以，由，所以為鈍角，即選項C正確；選項D，由，知，由，，則，有所以，即，所以，由，所以為鈍角，即選項D正確.故選：ACD.12．已知正方體的外接球與內切球上各有一個動點、，若線段的最小值為，則（

）A．正方體的外接球的表面積為 B．正方體的內切球的體積為C．正方體的棱長為2 D．線段的最大值為【答案】ABC【解析】設正方體的棱長為，由此確定內切球和外接球半徑，由的最小值為兩球半徑之差可構造方程求得，進而求得外接球表面積和內切球體積；由的最大值為兩球半徑之和可得到最大值.【詳解】設正方體的棱長為，則正方體外接球半徑為體對角線長的一半，即；內切球半徑為棱長的一半，即.分別為外接球和內切球上的動點，，解得：，即正方體棱長為，正確，正方體外接球表面積為，正確；內切球體積為，正確；線段的最大值為，錯誤.故選：.【點睛】本題考查正方體外接球和內切球相關問題的求解，關鍵是通過球的性質確定兩球上的點的距離最小值為，最大值為.三、填空題13．為加速推進科技城新區建設，需了解某科技公司的科研實力，現擬采用分層抽樣的方式從A，B，C三個部門中抽取16名員工進行科研能力訪談已知這三個部門共有64人，其中B部門24人，C部門32人，則從A部門中抽取的訪談人數．【答案】2【分析】利用分層抽樣的定義以及分層抽樣按比例抽取的特點進行求解即可．【詳解】解：由題意可知，A部門一共有64-24-32=8人，故采用分層抽樣的方法從A，B，C三個部門中抽取16名員工，則從A部門中抽取的訪談人數為人.故答案為：2．14．在中，，用斜二測畫法畫出的直觀圖，則該直觀圖的面積為.【答案】【分析】根據題意計算出原圖的面積，由直觀圖與原圖的面積之比為，計算可得答案.【詳解】如圖所示，作出底邊上的高，則，所以，所以該直觀圖的面積.故答案為：.15．在正四面體（各棱都相等）中，是的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為.【答案】【分析】根據三角形的中位線平行于底邊，作出異面直線所成的角，再解三角形求得即可.【詳解】取的中點，連接，分別是的中點，，為異面直線與所成的角，設正四面體的棱長為2，則，在中，.故答案為：16．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為．【答案】【分析】先根據三角形面積公式求出母線長,再根據母線與底面所成角得底面半徑，最后根據圓錐側面積公式求出結果.【詳解】因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為，因此圓錐的側面積為．【整體點評】根據三角形面積公式先求出母線長，再根據線面角求出底面半徑，最后根據圓錐側面積公式求出側面積，思路直接自然，是該題的最優解．四、解答題17．已知，且．（1）求的坐標；（2）當時，若，求與的夾角的正弦值．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由可得，再由，可求出的值，從而可求出的坐標；（2）直接利用向量的夾角公式求解【詳解】解（1），，∴或，（2）當，，因為，所以，即與的夾角的正弦值為18．已知分別為內角的對邊，且．(1)求角A；(2)若，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接通過正弦定理得到，即可求出角A；（2）直接余弦定理求解即可.【詳解】（1）由正弦定理及，得．，即，．（2），由余弦定理，可得：，可得：，解得或（負值舍去）．∴.19．某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績（均為整數）分成六段，，…，后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：(1)求分數在內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)估計本次考試的第50百分位數；(3)用分層抽樣的方法在分數段為的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2個，求至多有1人在分數段內的概率．【答案】(1)0.3，直方圖見解析(2)(3)【分析】（1）由頻率分布直方圖，能求出分數在，內的頻率，并能補全這個頻率分布直方圖；（2）由頻率分布直方圖能估計本次考試的第50百分位數；（3）用分層抽樣的方法在分數段為，的學生中抽取一個容量為6的樣本，則分數段為，中抽取的學生數為2人，分數段為，中抽取的學生數為4人，從中任取2個，利用列舉法列舉出所有基本事件，再根據古典概型即可得解．【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖，得：分數在，內的頻率為：，，補全后的直方圖如右圖所示：（2）解：，的頻率為，，的頻率為：，第50百分位數為：；（3）解：用分層抽樣的方法在分數段為，的學生中抽取一個容量為6的樣本，則分數段為，中抽取的學生數為：人，設為，分數段為，中抽取的學生數為：人，設為，從中任取2個，有共15種，其中符合題意得有共9種，所以至多有1人在分數段內的概率為.20．如圖，在三棱錐S—ABC中，SC⊥平面ABC，點P、M分別是SC和SB的中點，設PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°.(1)求證：平面MAP⊥平面SAC.(2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知可證BC⊥平面SAC，又PM∥BC，則PM⊥面SAC，從而可證平面MAP⊥平面SAC；（2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB為二面角M—AC－B的平面角，過點M作MN⊥CB于N點，連接AN，則∠AMN=60°，由勾股定理可得，在中，可得，從而在中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.【詳解】（1）證明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，∴BC⊥平面SAC，又∵P，M是SC、SB的中點，∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC；（2）解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C，∴AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，從而∠MCB為二面角M—AC－B的平面角，∵直線AM與直線PC所成的角為60°，∴過點M作MN⊥CB于N點，連接AN，則∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得，在中，，在中，.21．甲、乙、丙三人去某地務工，其工作受天氣影響，雨天不能出工，晴天才能出工.其計酬方式有兩種，方式一：雨天沒收入，晴天出工每天元；方式二：雨天每天元，晴天出工每天元；三人要選擇其中一種計酬方式，并打算在下個月（天）內的晴天都出工，為此三人作了一些調查，甲以去年此月的下雨天數（天）為依據作出選擇；乙和丙在分析了當地近年此月的下雨天數（）的頻數分布表（見下表）后，乙以頻率最大的值為依據作出選擇，丙以的平均值為依據作出選擇.8910111213頻數312021（Ⅰ）試判斷甲、乙、丙選擇的計酬方式，并說明理由；（Ⅱ）根據統計范圍的大小，你覺得三人中誰的依據更有指導意義？（Ⅲ）以頻率作為概率，求未來三年中恰有兩年，此月下雨不超過天的概率.【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ).【詳解】分析：（Ⅰ）由題意計算可得甲選擇計酬方式二；乙選擇計酬方式一；丙選擇計酬方式二；（Ⅱ）依據三人的統計和利用的數據可知丙的統計范圍最大，三人中丙的依據更有指導意義；（Ⅲ）任選一年，此月下雨不超過11天的頻率為，由題意結合概率公式計算可得此月下雨不超過11天的概率為.詳解：（Ⅰ）按計酬方式一、二的收入分別記為、，，，所以甲選擇計酬方式二；由頻數分布表知頻率最大的n=8，，，所以乙選擇計酬方式一；n的平均值為，所以丙選擇計酬方式二；（Ⅱ）甲統計了1個月的情況，乙和丙統計了9個月的情況，但乙只利用了部分數據，丙利用了所有數據，所以丙的統計范圍最大，三人中丙的依據更有指導