第8講

古典概型徐雅靜主講鄭州輕工業大學微課堂如何求事件發生的概率?對于不同的問題,需要建立不同的概率模型.這節課我們學習一個古老的概率模型——古典概型.古典概型前言Ω中包含n個樣本點,事件A包含k個樣本點,則A的概率為古典概型1.古典概型的概念具有以下兩個特點的試驗稱為古典概型?有限性:試驗的樣本空間只含有限個樣本點;等可能性:試驗中每個基本事件發生的可能性相同..A.

.Ω.

.

..n

個k個P

(

A)

事件A中包含樣本點的個數

k

.中所有樣本點的個數n1.古典概型的概念Ω中包含n個樣本點,事件A包含k個樣本點,

則A的概率為古典概型...A.Ω.

..n

個k個P

(

A)事件A中包含樣本點的個數

k

.中所有樣本點的個數n從而滿足容易驗證,由上式確定的概率滿足公理化定義,概率的一切性質.1.古典概型的概念Ω中包含n個樣本點,事件A包含k個樣本點,

則A的概率為古典概型N

N(

(

A)

....A.Ω.

..n

個k個P

(

A)事件A中包含樣本點的個數

k

.中所有樣本點的個數n若用N(

)表示樣本空間樣本點數,

用N(A)表示A包含的樣本點數.事件A的概率也可以表示為:P(

A)1.古典概型的概念若用N(

)表示樣本空間樣本點數,

用N(A)表示A包含的樣本點數.事件A的概率可以也表示為:古典概型P

(

A)N

N(

(

A)

.對于古典概型,概率為零的事件一定為不可能事件嗎?對于古典概型,概率為零的事件一定為不可能事件!是的,一定!1.古典概型的概念若用N(

)表示樣本空間樣本點數,

用N(A)表示A包含的樣本點數.事件A的概率可以也表示為:古典概型對于古典概型,概率為零的事件一定為不可能事件!對于古典概型,概率為1的事件一定為必然事件!P

(

A)N

N(

(

A)

.2.古典概型的例子·

常見街頭摸獎的騙局:轉盤搖獎,撲克牌抽獎,彩球摸獎等等.這些游戲騙人的玄機是什么?古典概型2.古典概型的例子除顏色不同外,【例1】(抽樣模型）彩球摸獎游戲:一個口袋中裝有6個紅球與6個白球,12個球完全一樣,每次從袋中摸6個球.游戲的規表,游戲的玄機是什么?這是不是天上掉餡餅了呢?你會去賭一把嗎?古典概型6個全紅贏得100元5紅1白贏得50元4紅2白贏得20元3紅3白輸掉100元2紅4白贏得20元1紅5白贏得50元6個全白贏得100元2.古典概型的例子除顏色不同外,【例1】(抽樣模型）彩球摸獎游戲:一個口袋中裝有6個紅球與6個白球,12個球完全一樣,每次從袋中摸6個球.游戲的規種,游戲的玄機就在于7種情況出現的概率不相等!古典概型表,游戲的玄機是什么?解:任意摸66個球,所有可能的結果有C12666個全紅贏得100元0.0010825紅1白贏得50元0.0389614紅2白贏得20元0.2435063紅3白輸掉100元0.43292紅4白贏得20元0.2435061紅5白贏得50元0.0389616個全白贏得100元0.0010826

6

.C

6C

i

C

jP(i個紅球，j個白球)(i

0,1,...,6

;

i

j1

26)即

N

(

)12

C

6

,摸到i

個紅球和j

個白球的結果C有i

C

j

種.2.古典概型的例子除顏色不同外,【例1】(抽樣模型）彩球摸獎游戲:一個口袋中裝有6個紅球與6個白球,12個球完全一樣,每次從袋中摸6個球.游戲的規元,,表,游戲的玄機是什么?游戲的玄機就在于7種情況出現的概率不相等!雖然,共有大約48.7%的概率可以贏得20但是,卻有大約43.3%的概率要輸掉100元.即幾乎有一半的機會要輸掉100元!古典概型6個全紅贏得100元0.0010825紅1白贏得50元0.0389614紅2白贏得20元0.2435063紅3白輸掉100元0.43292紅4白贏得20元0.2435061紅5白贏得50元0.0389616個全白贏得100元0.0010822.古典概型的例子【例2】（隨機分球模型）設有n個不同的球,每個球等可能地落入N

個盒子中(n

≤N),設每個盒子容球數無限,求下列事件的概率:A

=“某指定的n

個盒子中各有一球”;B

=“恰有n個盒子中各有一球”;C

=“某指定的一個盒子恰有m個球(m

≤n

)”;D

=“至少有兩個球在同一盒子中".古典概型2.古典概型的例子古典概型【例3】（隨機分球模型）A

=“某指定的n

個盒子中各有一球”;B

=“恰有n個盒子中各有一球”;C

=“某指定的一個盒子恰有m個球(m

≤n

)”;D

=“至少有兩個球在同一盒子中".解:n個球分配盒子的方式共有

N

n

種,即樣本空間中樣本點數為

N( )

=

Nn.2.古典概型的例子【例3】（隨機分球模型）(1)A

=“某指定的n

個盒子中各有一球”;(2)B

=“恰有n個盒子中各有一球”;(2)C

=“某指定的一個盒子恰有m個球(m

≤n

)”;(2)D

=“至少有兩個球在同一盒子中".解:

樣本空間中樣本點的個數為N( )

=

Nn.(1)事件A中含有n!個樣本點,即N(A)=n!于是古典概型P

(

A)N

n

n!2.古典概型的例子【例3】（隨機分球模型）(2)B

=“恰有n個盒子中各有一球”;(3)C

=“某指定的一個盒子恰有m個球(m

≤n

)”;(3)D

=“至少有兩個球在同一盒子中".解:

樣本空間中所有樣本點的個數為N( )

=

Nn種,古典概型N

nC

n

Nn!.NN

(

B

)Cnn，!

P

(

B

)(2)n個盒子可自N個盒子中任意選出,共有C于是n

N2.古典概型的例子【例3】（隨機分球模型）(2)B

=“恰有n個盒子中各有一球”;(2)C

=“某指定的一個盒子恰有m個球(m

≤n

)”;(2)D

=“至少有兩個球在同一盒子中".解:

樣本空間中所有樣本點的個數為N( )

=

Nn(3)從n個球中任意選出m個放入了指定的一個盒子中,其余n

–m個球可以任意分配在剩余的N

–1個盒子里,古典概型nm,

P

(

C

)nC

m

(

N

1)nN

.n因而N

(C

)mCmC(

Nn

1m)2.古典概型的例子古典概型【例3】（隨機分球模型）(2)B

=“恰有n個盒子中各有一球”;(2)C

=“某指定的一個盒子恰有m個球(m

≤n

)”;(4)D

=“至少有兩個球在同一盒子中".解:

樣本空間中所有樣本點的個數為N( )

=

Nn(4)

因為

D

B所以

P

(

D

)

1

P

(

B

)NC

n

n!N1n

.2.古典概型的例子【例3】（生日游戲）班里來了一位新同學,他信心十足地對大家說,“大家好,咱班50個同學里一定有兩人的生日是相同的!讓我們來認識他們,

并為他們祝福吧!”這位同學的推測有道理嗎?解:古典概型3655050!P50名同學生日各不3同3同65

的概率:36550C

50

A503650.0296.2.古典概型的例子古典概型【例3】（生日游戲）班里來了一位新同學,他信心十足地對大家說,“大家好,咱班50個同學里一定有兩人的生日是相同的!讓我們來認識他們,

并為他們祝福吧!”這位同學的推測有道理嗎?50名同學至少有兩人生日相同的概率:解:

1

P

1

0.0296

0.9704.這是個大概率事件,所以,推測是有道理的!微課堂古典概型概率計算公式或記為古典概型小結P

(

A)

事件A中所包含樣本點的個數

k中所有樣本點的個數

nP(

A)N

N(

(

A))微課堂1.某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規定的?2.(抽樣問題)設一批產品中有200件產品,其中有6件次品,從中任意抽取50件,現分別就有放回和抽取無放回抽取兩種情況,求取到的

產品中恰好有4件次品的概率.古典概型練習題2021年5月教學設計?主講老師?徐雅靜

汪遠征徐雅靜

徐姍

鄭州輕工業大學藝術設計?制作單位?制作時間?古典概型第9講

幾何概型徐雅靜主講微課堂應用問題你可能參與或見過各種搖獎游戲轉盤搖獎是古典概型嗎?獲各種獎的概率怎么計算?幾何概型微課堂應用問題轉盤搖獎特點:1.所有可能的基本結果有無窮多個;2.每個基本結果的出現都是等可能的.轉盤搖獎不是古典概型!幾何概型可以解決這類問題!幾何概型2.幾何概型的概念幾何度量指是長度或面積或體積等.幾何概型具有以下兩個特點的試驗稱為幾何概型:隨機試驗的所有可能的結果（樣本空間）對應了某可度量的幾何區域

;中任一區域對應的事件發生的可能性大小與該區域的幾何度量成正比而與該區域的位置和形狀無關.對于幾何概型

P

(

A)

事件A對應區域的幾何度量對應區域的幾何度量關鍵是從某個角度出發找到Ω和A對應的幾何區域2.幾何概型的概念獲各種獎的概率怎么計算?以一等獎為例:假設圓的半徑是r,一等獎對應的圓心角為α.·

思路一:樣本空間Ω對應的幾何區域:

圓周Ω的幾何度量是圓周長2r,

一等獎對應弧長是αr.幾何概型.對應的弧長r2搖中一等獎的概P

(率A為):A對應的弧長

r

22.幾何概型的概念],

Ω的幾何度量是2

,幾何概型對應的圓心角

2P

(

A)獲各種獎的概率怎么計算?以一等獎為例:假設圓的半徑是r,一等獎對應的圓心角為α.·

思路二:樣本空間Ω對應的幾何區域:圓心角[0,2一搖等搖等中獎一對等應獎圓的心概角率是為α,

A對應的圓心角

兩種方法結果一樣!.3.幾何概型的例子【例1】(約會問題)甲乙兩人約定在下午6點到7點之間在某處會面,并約定先到者應等候另一人20分鐘,過時即可離去,求兩人能會面的概率.解:以x和y分別表示甲乙兩人到達約會地點的時間（以分鐘為單位）,在平面上建立xOy直角坐標系,如圖.因為甲乙都是在0到60分鐘內等可能到達,這是一個幾何概型問題.幾何概型3.幾何概型的例子【例1】(約會問題)甲乙兩人約定在下午6點到7點之間在某處會面,并約定先到者應等候另一人20分鐘,過時即可離去,求兩人能會面的概率.解:樣本空間=

{(x,

y):

0

x,

y

60}事件A

=“甲乙將會面”=

{(x,

y) :

|

x

–

y

|

20}因此幾何概型P

(

A)A的面積

602

402

5.的面積

602

93.幾何概型的例子【例2】隨機向邊長為1的正方形內投點,試求點投在正方形的一條對角線上的概率,如圖所示.解:樣本空間=

{(x,

y):

0

<

x,

y

<

1},事件A

=“點投在正方形的對角線上”=

{(x,

y) :

x

=

y

},概率為0的事件未必是不可能事件,類似地,概率為1的事件也未必是必然事件.幾何概型0.正方形的面積對角線的面積

01因此P

(

A)微課堂1.幾何概型的兩個特點(1)試驗結果有無限多,樣本空間可幾何概型小結以度量;(2)事件A發生的概率與其對應區域的幾何度量成正比,與該區域的位置和形狀無關.2.概率公式P

(

A)

事件A對應區域的幾何度量對應區域的幾何度量關鍵是要找出Ω

和事件A對應的幾何圖形.微課堂半堂半

圓內任何區域的概率與區域的面積成正比,

求原點和該點的連線與x軸的夾角小于π/4的概率.2.若在區間(0,1)內任取兩個數,求事件“兩數之和小于6/5”的概率幾何概型練習2axx21.隨機地向半徑為a的半圓內0

y擲一點,點落在2021年5月教學設計:主講老師:徐雅靜

汪遠征

徐雅靜

徐姍

鄭州輕工業大學藝術設計:制作單位:制作時間:幾何概型例2如圖,射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環.從外向內依次為白色、黑色、藍色、紅色,靶心為金色.金色靶心叫“黃心”.奧運會的比賽靶面直徑為122

cm,靶心直徑為12.2

cm.運動員在70

m外射箭.假設運動員射的箭都能中靶,且射中靶面內任一點都是等可能的,那么射中黃心的概率為多少?例2奧運會的比賽靶面直徑為122

cm,靶心直徑為12.2

cm.假設運動員射的箭都能中靶,且射中靶面內任一點都是等可能的,那么射中黃心的概率為多少?·解記“射中黃心”為事件A,由于中靶點隨機地落在面積為的黃心時,事件A發生,11222

c

m

24的大圓內,而當中靶點落在面積為于是事件B1發4

生的概率為.12

.22

c

m

2P(BP(B

)

40.0

1·

即“射中黃心”的概率是0.0

1.14141222

cm2112.2

cm2

2第10講

條件概率徐雅靜主講微課堂在實際問題中,除了直接考慮某事件發生的概率外,有時還會在已知某事件已經發生的條件下,考慮另一事件發生的概率.比如:“已知擲骰子出現了偶數點,考慮出現2點的概率”“從50名同學中隨機抽一人參加某項活動,已知抽到的是男生,考慮抽到張三的概率”這時就是用到了條件概率.條件概率前言1.條件概率的定義·所謂條件概率就是已知某事件A

發生的條件下,考慮事件B發生的概率.·條件概率記為P(B|A),讀作“事件A

發生下事件B

發生的條件概率”,簡稱條件概率.條件概率P(B|A)如何計算?它和P(B)有什么關系呢?先看一個例子:條件概率1.條件概率的定義【例1】某廠的100件產品中有5件是不合格品,而5件不合格品中有

3件次品,2件廢品.現從100件產品中任意抽取一件,假定每件產品被抽到的可能性都相同,求(1)抽到次品的概率;(2)在抽到的產品是不合格品的條件下,產品是次品的概率.解:設A

=“抽到不合格品”,B

=“抽到次品”.條件概率.(1)100件產品中有3件次品,所以3P

(

B1)003(2)可以在“縮小的樣本空間A”中考慮問題:P

(B

|

A)5

,可見,

P(B)

P(B

|

A).1.條件概率的定義【例1】求(1)

抽到次品的概率;

(2)在抽到的產品是不合格品的條件下,產品是次品的概率.解:設A

=“抽到不合格品”,B

=“抽到次品”.(2)可以在“縮小的樣本空間A”中考慮問題可見,

P(B)

P(B

|

A).容易發現條件概率.3(1)100件產品中有3件次品,所以P

(

B1)003:

P(B

|

A)

5

,5100

3

,又有

P(A)100

,P(AB)P(B)P

(

B

|

A)

35

3

/

100

P(

AB)

.5

/該結果具有一般性.1.條件概率的定義【定義】設A與B是同一樣本空間中的兩個事件,若P(A)>0,則稱條件概率P(B

i|

A)i

1P(

Bi|

A)i

1(2)規范性:P(Ω

|

A)=1;條件概率也滿足概率的所有其他性質！(3)可列可加性:設事件B1,B2,…,Bi,…兩兩互不相容,則為事件A發生下的事件B發生的條件概率.不難驗證,條件概率滿足概率的三條公理:(1)非負性:對任意事件B,P(B

|

A)≥0;P(B

|

A)P(P(A)AB)

.1.條件概率的定義【定義】設A與B是同一樣本空間中的兩個事件,若P(A)>0,則稱條件概率為事件A發生下的事件B發生的條件概率.·P(B|A)可以理解為B在A中所占比例.即在縮小的樣本空間A中求B的概率.P(B

|

A)P(P(A)AB)

.AABBP(

A)P(

AB)·

對于古典概型有:P(B

|

A)

N

(

AB)

/

N

(

)

N

(

AB)

.N

(

A)

/

N

(

)

N

(

A)縮小樣本空間法2.條件概率例子條件概率【例2】某家庭中有兩個孩子,已知其中至少有一個是男孩,求兩個都是男孩的概率(假設男、女孩出生率相同).解:用g代表女孩,b代表男孩.A

=“至少有一個男孩”,B

=“兩個都是男孩”,本題是要求條件概率P(B

|

A).由于 =

{bb,

bg,

gb,

gg},

A

=

{bb,

bg,

gb},

B

=

{bb},所以,

P

(

A)

3

/

4,

P

(

B

)1/4,且AB=B,P(

A)3

/

4故P(B

A)P(

AB)P(PA()B

)1

/

41

/

3.2.條件概率例子【例2】某家庭中有兩個孩子,已知其中至少有一個是男孩,求兩個都是男孩的概率(假設男、女孩出生率相同).解:用g代表女孩,b代表男孩.A

=“該家庭中至少有一個男孩”,B

=“兩個都是男孩”,本題也可以用縮小樣本空間法:已知事件A發生了,此時樣本空間縮小為A

={bb,bg,gb}=A,又B

={bb},所以條件概率P

(

B

A)

N

(

AB)

N

(

AB)

1

.N

(

A

)

N(

A)

32.條件概率例子條件概率【例3】設某種動物從出生起活20歲以上的概率為80%,活25歲以上的概率為40%.如果現在有一個20歲的這種動物,求它能活25歲以上的概率.解:設事件A

=“這種動物能活20歲以上”;事件B

=“這種動物能活25歲以上”.按題意,P(A)=0.8,P(B)=0.4,由于B A,

因此由條件概率定義P

(

B

|

A)

P(AB)

P(B)

0.40.5.P(

A)P(

A)0.8微課堂2.P(AB)與P(B|A)的區別P(AB)為樣本空間為Ω時AB發生的概率;P(B|A)為在縮小的樣本空間ΩA=A

中AB發生的概率.一般來說P(B|A)比P(AB)大.條件概率小結1.條件概率的定義,

(

P

(

A)

0)P

(

A)P

(

AB

)P

(B

|

A).N

(

AB)

N

(

AB),

P

(

B

|

A)N

(

)

N

(

A)對于古典概型P(