遼寧省沈陽市第一七六高級中學高二數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，關于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有兩個不等的實根，則A為（）A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．不存在參考答案：A【考點】函數的零點與方程根的關系；三角形的形狀判斷．【分析】△ABC中，由一元二次方程的判別式大于零以及正弦定理求得b2+c2﹣a2＞0，再由余弦定理可得cosA＞0，從而得到A為銳角．【解答】解：在△ABC中，關于x的方程（1+x2）sinA+2xsinB+（1﹣x2）sinC=0有兩個不等的實根，即（sinA﹣sinC）x2+2sinBx+（sinA+sinC）=0有兩個不等的實根，∴△=4sin2B﹣4（sin2A﹣sin2C）＞0，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＞0，再由余弦定理可得cosA=＞0，故A為銳角，故選A．2.設實數滿足，則的最小值是（

）A．2

B．3

C．

D．

參考答案：B3.由下列各組命題構成的復合命題中，“p或q”為真，“p且q”為假，“非p”為真的一組為(

)A．p：3為偶數，q：4為奇數

B．p：π<3，q：5>3C．p：a∈{a，b}，q：{a}{a，b}

D．p：QR，q：N=Z參考答案：B4.對命題p：A∩＝，命題q：A∪＝A，下列說法正確的是

（

）

A．p且q為假

B．p或q為假

C．非p為真

D．非p為假參考答案：D5.記集合和集合表示的平面區域分別為。若在區域內任取一點，則點落在區域的概率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.用數學歸納法證明不等式“++…+＞（n＞2）”時的過程中，由n=k到n=k+1時，不等式的左邊（） A．增加了一項 B．增加了兩項 C．增加了兩項，又減少了一項 D．增加了一項，又減少了一項 參考答案：C【考點】數學歸納法． 【專題】閱讀型． 【分析】本題考查的知識點是數學歸納法，觀察不等式“++…+＞（n＞2）左邊的各項，他們都是以開始，以項結束，共n項，當由n=k到n=k+1時，項數也由k變到k+1時，但前邊少了一項，后面多了兩項，分析四個答案，即可求出結論． 【解答】解：， = 故選C 【點評】數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基）P（n）在n=1時成立；2）（歸納）在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．7.“2b=a+c“是“a，b，c成等差數列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件參考答案：C考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡易邏輯．分析：根據充分條件和必要條件的定義結合等差數列的定義進行判斷即可．解答：解：由2b=a+c得b﹣a=c﹣b，即a，b，c成等差數列，若a，b，c成等差數列，則b﹣a=c﹣b，即“2b=a+c“是“a，b，c成等差數列”的充要條件，故選：C點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據等差數列的定義是解決本題的關鍵．8.拋物線的焦點坐標是A.

B.

C.

D.參考答案：C9.用數學歸納法證明不等式時，初始值n應等于（

）A.1 B.4 C.5 D.6參考答案：D【分析】根據題意，分別驗證，求得時，，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，，所以用數學歸納法證明不等式時，初始值應等于6，故選D.【點睛】本題主要考查了數學歸納法的應用，其中解答中熟記數學歸納法的證明方法與步驟是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題能力，屬于基礎題.10.在△ABC中，，，，則△ABC的面積為（

）A． B．4 C． D．參考答案：C因為中，，，，由正弦定理得：，所以，所以，所以，，所以，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；，其中正確的不等式是________________.參考答案：1,4略12.已知點，圓：，點是圓上一個動點，線段AN的垂直平分線交直線AM于點P，則點P的軌跡方程為

．參考答案：13.若函數,則的值為__________．參考答案：3【分析】先求，把代入可得.【詳解】，，，，故填3.【點睛】本題主要考查導數的運算，明確是一個常數是求解本題的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.14.已知O為橢圓中心，F1為橢圓的左焦點，A，B分別為橢圓的右頂點與上頂點，P為橢圓上一點，若PF1⊥F1A，PO∥AB，則該橢圓的離心率為．參考答案：

【考點】橢圓的簡單性質．【分析】畫出圖形，利用已知條件列出方程，求解即可．【解答】解：O為橢圓中心，F1為橢圓的左焦點，A，B分別為橢圓的右頂點與上頂點，P為橢圓上一點，若PF1⊥F1A，PO∥AB，如圖：可得：，==，可得b=c，a=c，所以橢圓的離心率為：．故答案為：．15.在的展開式中，各項系數的和為

參考答案：16.設圓的圓心為，是圓內一定點，為圓周上任一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則的軌跡方程為

參考答案：17.若，則的最小值是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓C的四個頂點圍成的四邊形的面積為4．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l與橢圓C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩個不同點，O為坐標原點，若△OPQ的面積為，證明：y12+y22為定值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由離心率為e==，a=2c，2ab=4，由a2=b2+c2，解得：a=2，b=，即可求得橢圓C的方程；（2）直線l的斜率不存在時，P，Q兩點關于x軸對稱，x1=x2，y1=﹣y2，由三角形面積公式即可求得|x1|和|y1|的值，可知y12+y22均為定值，當直線斜率存在，設出直線方程代入橢圓方程，利用△＞0及韋達定理求得x1+x2和x1?x2的關系，利用點到直線的距離公式和弦長公式求得△OPQ的面積，求得a和k的關系式，即可證明x12+x22=4，利用y1=kx1+b，y2=kx2+b，即可求得y12+y22為定值；【解答】解：（1）橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦點在x軸上，離心率為e==，a=2c，橢圓C的四個頂點圍成的四邊形的面積為4，即2ab=4，由a2=b2+c2，解得：a=2，b=，∴橢圓的標準方程為：；（2）證明：當直線l⊥x軸時，，△OPQ的面積S=?丨x1丨?丨2y1丨=，解得：丨x1丨=，丨y1丨=，故y12+y22=3當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，m≠0，，整理得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0，△=（8kb）2﹣4（3+4k2）?（4b2﹣12）=48（3+4k2﹣b2）＞0，即3+4k2＞b2，由韋達定理可知x1+x2=﹣，x1?x2=，∴丨PQ丨=?=4??，點O到直線l的距離為d=，則△OPQ的面積S=?d?丨PQ丨=??4??=2?，即2?=，整理得：3+4k2=b2，滿足△＞0，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=（﹣）2﹣2×=4，y1=kx1+b，y2=kx2+b，∴y12+y22=k2（x12+x22）+2kb（x1+x2）+2b2=4k2﹣8k2+2b2=3，綜上可知：y12+y22=3均為定值．19.斜棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1C1C⊥面ABC，側面AA1C1C為菱形，，E，F分別為A1C1和AB的中點。（1）求證：平面CEF⊥平面ABC；（2）若三棱柱的所有棱長為2，求三棱柱F-ECB的體積；（3）D為棱BC上一點，若C1D∥EF，請確定點D位置，并證明你的結論.參考答案：解:（1）；（2）∵，∴CE為三棱錐的高，在中，可得，又∵，∴；（3）∵，∴，，，共面，.

20.某同學參加科普知識競賽，需回答3個問題．競賽規則規定：答對第一、二、三問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分．假設這名同學答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響．（Ⅰ）求這名同學得300分的概率；（Ⅱ）求這名同學至少得300分的概率．參考答案：【考點】C9：相互獨立事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）由題意知各題答對與否相互之間沒有影響，這名同學得300分包括兩種情況，一是答對第一和第三兩個題目，二是答對第二和第三兩個題目，這兩種情況是互斥的，根據相互獨立事件和互斥事件的概率公式得到結果．（Ⅱ）這名同學至少得300分包括得300分或得400分，這兩種情況是互斥的，根據相互獨立事件和互斥事件的概率公式得到結果．【解答】解：記“這名同學答對第i個問題”為事件Ai（i=1，2，3），則P（A1）=0.8，P（A2）=0.7，P（A3）=0.6．（Ⅰ）由題意知答對第一、二、三問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分．各題答對與否相互之間沒有影響，這名同學得300分包括兩種情況，一是答對第一和第三兩個題目，二是答對第二和第三兩個題目，這兩種情況是互斥的，P1=P（A1A3）+P（A2A3）=P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228．（Ⅱ）這名同學至少得300分包括得300分或得400分，這兩種情況是互斥的，根據相互獨立事件和互斥事件的概率公式得到結果．P2=P1+P（A1A2A3）=0.228+P（A1）P（A2）P（A3）=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564．21.設函數，.（Ⅰ）若與在它們的交點處有相同的切線，求實數，的值；（Ⅱ）當時，若函數在區間內恰有兩個零點，求實數的取值范圍；（Ⅲ）當，時，求函數在區間上的最小值。參考答案：解：(Ⅰ)因為，，所以，.…………………1分因為曲線與在它們的交點處有相同切線，所以,且。即,且,……………2分解得.……………………3分（Ⅱ）當時，，所以．令，解得．當變化時，的變化情況如下表：00↗極大值↘極小值↗所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．故在區間內單調遞增，在區間內單調遞減．……5分從而函數在區間內恰有兩個零點，當且僅當即解得．所以實數的取值范圍是．……………………7分（3）當，時，．所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．由于，，所以．…………………8分①當，即時，．………9分②當時，．………………10分③當時，在區間上單調遞增，．……………………11分綜上可知，函數在區間上的最小值為………………12分

略22.已知函數，.（1）若，解不等式；（2）對任意，恒成立，