主要內容1單跨靜定梁的計算區段(分段)疊加法多跨靜定梁的計算靜定平面剛架主要內容1單跨靜定梁的計算1§3.1單跨靜定梁的計算§3.1單跨靜定梁的計算2在材料力學中已介紹過，由單根桿組成的靜定梁有如下三種形式為了研究桿系結構的內力計算，首先復習以下結構內力的分析方法——截面法（材力的內容）。3懸臂梁1用截面法求指定截面的內力

在平面桿件的任一截面上，一般有三個內力軸力——截面上應力沿桿軸向的合力，符號FN；剪力——截面上應力沿桿截面切向的合力，符號FQ

；彎矩——截面上應力對截面形心軸的力矩，符號M。

1簡支梁2伸臂梁在材料力學中已介紹過，由單根桿組成的靜定梁有31.1截面法的基本步驟(1)將結構沿所求內力的截面，用一假想的平面切開(截)；(2)取其任一部分為研究對象（稱隔離體），把丟棄部分對研究的作用用內力代替（取）；(3)對研究對象應用平衡方程，即可求出指定截面的內力（列方程求解）。注意：在列方程求內力之前，結構的全部外力（荷載及約束反力）必須為已知或已求出。1.2梁的內力正負符號規定

軸力FN——拉力為正；剪力FQ——繞隔離體順時針方向轉的為正；彎矩M——使梁下部纖維受拉的為正。下面舉例說明截面法及其應注意的事項1.1截面法的基本步驟(1)將結構沿所求內力的截面，用一假4例1

如圖示簡單梁，求C截面的內力。解VAVB（1）求約束反力整體分析如圖(a)所示

（2）截面法求C截面的內力取研究對象如圖(b)所示Fp=40kNVBFNCMCFQC圖(b)CB由∑X=0得由∑Y=0得4m2m2mACDBq=20kN/mFp=40kN圖(a)例1如圖示簡單梁，求C截面的內力。解VAVB（1）求約束反52內力圖內力圖：表示結構上各截面內力變化規律的函數圖形。繪制內力圖的基本方法是：寫出內力方程，以自變量x表示截面的位置，寫出內力與x之間的函數關系，然后根據內力方程做圖。做內力圖（FN、FQ和M圖）時，通常是以桿的軸線為基準線，以垂直桿軸向的豎標代表內力的大小。對于M圖，結構力學規定，一律畫在桿件受拉一側，圖中不必注明正負號；對于FN、FQ圖，可畫在桿的任一側，但必須注明正負號。在結構力學中，一般常用內力圖來表示結構分析的最終結果，下面根據材料力學的知識總結出梁內力圖（主要是M圖）的一些特點。2內力圖內力圖：表示結構上各截面內力變化規律的函數圖形。6若以x軸向右為正，y向下為正，荷載的集度q向下為正，則FQ剪力和彎矩M之間具有如下關系（取出一微段梁易得）由上述微分關系可知(a)無荷載區段，FQ圖為水平線(或與桿軸線平行線)，M圖為斜直線；(b)均布荷載區段，FQ圖為斜直線，M圖為拋物線且其凸出方向與荷載指向相同利用FQ

、M圖的這些特征，可簡便地做出它們的圖形。一般而言，FQ圖比較簡單，下面討論繪制M圖的簡單規則。

若以x軸向右為正，y向下為正，荷載的集度7(1)無荷載區段，M圖為斜直線，故只需求出該區段任意兩控制截面的彎矩便可繪出；(2)均布荷載區段，M圖為拋物線且其凸出方向與荷載指向相同；(3)M圖的極值點，或在FQ=0處，或在FQ發生變號處；FQ圖M圖FQ圖aFp/lbFp/l例如M圖ql/2ql/2ql2/8abFp/l⊕

bFp/laFp/l

⊕ql/2ql/2lqaFplb(1)無荷載區段，M圖為斜直線，故只需求出該區段任意兩控制截8(4)在鉸接處的一側截面上，如無集中力偶作用，則該截面的彎矩為零，如有集中力偶作用，則該截面的彎矩就等于該集中力偶的值。

(5)在自由端處，如無集中力偶作用，則自由端的彎矩為零，如有集中力偶作用，則自由端的彎矩就等于該集中力偶的值；MMMMFplMMlFp(4)在鉸接處的一側截面上，如無集中力偶作用，則該截面的彎矩93疊加法做M圖

利用疊加法作M圖是一種較為簡便的方法，它適用于梁、剛架等形式的結構。在利用疊加法作M圖時，常以簡支梁的彎矩圖為基礎，因此，簡支梁在簡單荷載（如：均布荷載、集中荷載和集中力偶等）作用下的M圖應十分熟悉。例如作圖示荷載作用下的簡支梁彎矩圖時。其步驟如下(1)首先將荷載分成兩組第一組梁兩端集中力偶，如圖(b)所示；第二組簡支梁受集中力，如圖(c)所示。分別作其彎矩圖。ablFpMAMB(a)MBMA(b)Fp(c)3疊加法做M圖利用疊加法作M圖是一種較10(2)疊加兩彎矩圖，即得兩組荷載同時作用時的實際彎矩圖，如圖(d)所示。MAMB(d)abFp/l應當注意：

彎矩圖疊加是指相應的豎標，因此，豎標abFp/l仍垂直于原水平基準線，而不是圖中的虛線。下面把上述疊加法推廣應用于直桿的任一區段——區段疊加法。以圖示簡支梁的KJ段為例說明區段疊加法應用過程。將KJ段作為隔離體取出MBMA(b)Fp(c)qJK(a)(2)疊加兩彎矩圖，即得兩組荷載同時作用時的實際彎矩圖，如圖11qlFQJKFQKJMJKMKJ(b)lVJVKMJKMKJ(c)因此二者的彎矩圖相同。利用簡支梁彎矩圖的疊加方法，易得KJ段的彎矩圖如圖(d)所示。MJKMKJ(d)象這樣，利用相應簡支梁的彎矩圖疊加來作直桿某一區段彎矩圖的方法，稱為區段(分段)疊加法。

ql2/8將其與簡支梁圖(c)比較由于二者均為平衡力系，則必有VJ=FQJK，VK=-FQKJqJK(a)qlFQJKFQKJMJKMKJ(b)lVJVKMJKMKJ12如圖示簡單梁，作內力圖。

解(1)求約束反力

例2整體分析如圖(a)所示

(2)作FQ圖VBFp=40kNFNCMCFQC圖(b)CB

AC段斜直線；

CD段水平線；7010

DB段水平線。50(3)作M圖

分AC、CB兩段采用區段疊加法極值點的彎矩4040在剪力圖中，利用幾何關系得xFQ圖(kN)：M圖(kN.m)：120122.5⊕

4m2m2mACDBq=20kN/mFp=40kN圖(a)VAVB如圖示簡單梁，作內力圖。解(1)求約束反力例2整體分析如13結束語作業：

結束語作業：14§3.2多跨靜定梁的計算§3.2多跨靜定梁的計算151多跨靜定梁的幾何組成特征多跨靜定梁是各種鐵路、公路橋梁常采用的一種結構形式，在房屋建筑中有時也采用這種結構形式。如由此可見，多跨靜定梁是由若干根梁用鉸聯結而成的靜定結構。屋架上弦懔條懔條屋架上弦計算簡圖計算簡圖1多跨靜定梁的幾何組成特征多跨靜定梁是各種16又如：根據定義，容易判斷ABC部分為基本部分，CDE部分為附屬部分。基本部分與附屬部分的區別:

(1)若附屬部分被切斷或撤除，整個基本部分仍為幾何不變的;(2)若基本部分的幾何不變性被破壞，則附屬部分的幾何不變性也連同遭到破壞。從幾何組成上看，多跨靜定梁可分為基本部分和附屬部分基本部分:能獨立地與基礎組成一個幾何不變體系的部分附屬部分:依靠其它部分才能保證幾何不變的部分。ABCDE又如：根據定義，容易判斷ABC部分為基本部分，CDE部分為172多跨靜定梁分析原則及一般步驟

下面通過例題，說明分析多跨靜定梁的一般步驟和原則本題共有5個未知力，整體有3個平衡方程，及2個補充方程：MD=0，MB=0，因此該連續梁是靜定的。求解上述5個方程，需解聯立方程組，比較復雜，在力學分析中應盡量避免。下面根據梁的幾何組成特點，介紹一種簡便的分析方法。Fpa2a

a2a

aEDCBA(a)F2多跨靜定梁分析原則及一般步驟下面通過例題，說明分析多跨18該多跨靜定梁由AB、BD和DF三部分組成，AB為基本部分，BD為支承于AB上的附屬部分，而DF為支承于上述組合部分之上的附屬部分。它們之間的關系可用圖表示出來，這個關系圖稱為層疊圖。即根據附屬部分支承于基本部分之上的原則，繪出表示傳力層次的圖，稱為層疊圖。

顯然分析時，應先從DF開始(因該部分僅3個未知力)，然后是BD，最后才是AB。能否先分析AB或BD？

Fpa2a

a2a

aEDCBA(a)FAB層疊圖(b)FD該多跨靜定梁由AB、BD和DF三部分組成，19層疊圖層疊圖如層疊圖層疊圖層疊圖如層疊圖20像這樣，遵照先附屬后基本的次序進行分析，每次的計算都與單跨梁相同，最后把各單跨梁的內力圖連在一起，就得到了該多跨靜定梁的內力圖。總結分析多跨靜定梁的主要步驟如下：

(1)按照幾何組成特點，繪出多跨靜定梁的層疊圖；(2)根據層疊圖，先從最上層附屬部分開始，依次計算各梁的內力；(3)按照繪制單跨梁內力圖的方法，分別做各部分梁的內力圖，然后將其連在一起；(4)校核(a)反力校核：(b)內力校核：像這樣，遵照先附屬后基本的次序進行分析，每次21若AB段內除有分布荷載q(x)外，還有集中荷載和集中力偶，則上式應改寫為

(3-3)上式中Fp方向向下為正，M順時針方向為正。(b)內力校核：(3-2)若AB段內除有分布荷載q(x)外，還有集22例3如圖示兩跨連續梁，求使該梁的負彎矩與正彎矩峰值相等的鉸D的位置。

解(1)設鉸D距支座B的距離為x時，該兩跨連續梁的負彎矩與正彎矩峰值相等。(2)作層疊圖，如圖(b)所示。(3)

作M圖，尋求最大負彎矩和最大正彎矩。BC段中點的正彎矩MB=qlx/2q(l-x)2/8ql2/8(c)(4)

求鉸D的位置得MBq(l-x)/2q令MB=qlx/2q(l-x)2/8ql2/8(c)DBACll(a)q(b)x例3如圖示兩跨連續梁，求使該梁的負彎矩與正彎矩峰值相等的23若改用雙跨簡支梁，如圖(e)所示。其M圖如圖(f)所示兩者的最大彎矩的比值是一般而言，多跨靜定梁比連續簡支梁省材料，但構造要復雜些。(f)0.125ql20.125ql20.086ql2(d)0.086ql20.086ql20.1716l(5)最終的M圖如圖(d)所示。0.086ql2(d)0.086ql20.086ql20.1716l(e)llq若改用雙跨簡支梁，如圖(e)所示。其M圖如圖(f)所示兩24例4用最簡捷的方法繪出圖示多跨靜定梁的M圖。解(1)畫層疊圖如圖(b)所示(2)畫M圖先畫FH段：

40HI段：延伸GH段，易知IL段：用區段疊加法

FE段：先延伸GF段，易得33.3346.67(c)M圖(kN.m)206040ABCDEFGHIJKL2222211222210kN/m50kN.m10kN40kN30kN30kN(a)(長度單位:m)(b)層疊圖60例4用最簡捷的方法繪出圖示多跨靜定梁的M圖。解(1)25606026

EC段：先求MC

，如圖(d)10kN/m50kN.m60kNFQBEFQEB(d)連接E、C兩截面的彎矩豎標，再疊加上簡支梁在中間截面單獨作用集中力偶時的彎矩圖。CB段：MB=0，連接B、C兩截面的彎矩豎標，再疊加上簡支梁單獨作用均布荷載時的彎矩圖。BA段：

連接B、A兩截面的彎矩豎標即得。102525505304033.3346.67(c)M圖(kN.m)2060406030550206033.3346.6740(c)M圖(kN.m)1060ABCDEFGHIJKL2222211222210kN/m50kN.m10kN40kN30kN30kN(a)(長度單位:m)EC段：先求MC，如圖(d)10kN/m50k27結束語作業：

結束語作業：28§3.3靜定平面剛架§3.3靜定平面剛架29剛架是由梁、柱相互剛性連接組成的結構。它的優點是把梁柱形成一個剛性的整體，增大了結構的剛度，并使內力分布比較均勻，此外，還使結構具有較大的凈空間，便于使用。本節的內容學習主要為后面的超靜定剛架分析奠定基礎。因剛架中的桿件主要承受彎矩，故有時把剛架中的桿件稱為梁式桿。在內力計算時，與前面的梁分析過程相同，只是多了一個內力——軸力FN。分析剛架的主要步驟：先求約束反力；(2)利用截面法確定桿端截面的內力；(3)利用區段疊加法逐桿繪出內力圖。下面舉例說明。剛架是由梁、柱相互剛性連接組成的結構。它的30由∑Y=0得

由∑X=0得

例5如圖示剛架作內力圖。解(1)整體分析求約束反力，如圖所示(2)求桿端內力，如圖(b)、(c)所示。AB桿：BC

桿：

由∑X=0得由∑Y=0得

20kN/mVAHAFQBAFNBAMBA圖(b)VC40kNFQBCMBCFNBC圖(c)2m2m20kN/m4mABC題5圖40kNVCHAVA由∑Y=0得由∑X=0得例5如圖示剛架作內力圖。31(3)做內力圖

M圖如圖(d)所示，采用區段疊加法；

M圖(kN.m)圖(d)1601604040FQ圖如圖(e)所示；FN圖如圖(f)所示。FQ圖(kN)圖(e)⊕80

6020(4)校核：

B結點滿足平衡條件，如圖(g)所示。

160kN.m圖(g)20kN20kN160kN.m⊕20FN圖(kN)圖(f)M圖(kN.m)圖(d)1601604040FQ圖(kN)圖(e)⊕80

6020FN圖(kN)圖(f)⊕2020kN/mABC40kN(3)做內力圖M圖如圖(d)所示，采用區段疊加法；M圖32例6如圖示三鉸剛架，作M圖。解(1)整體分析求約束反力如圖(a)所示。

如圖(c)所示

(2)求桿端彎矩

HCVCHBVB圖(c)CFBCl/2l/2qf題6圖ABEFVBHAVAHB例6如圖示三鉸剛架，作M圖。解(1)整體分析求約束反33如圖(d)所示如圖(e)所示(3)做M圖，如圖(f)所示。qf2/4qf2/4qf2/4qf2/8VAEAHA圖(d)FNEAMEAFQEAHBVB圖(e)BFFNFBFQFBMFB圖(f)M圖圖(f)M圖qf2/4qf2/4qf2/4qf2/8Cl/2l/2qfABEF如圖(d)所示如圖(e)所示(3)做M圖，如圖(f)所示34例7如圖示剛架作內力圖。解(1)整體分析求約束反力如圖(a)所示。

(2)求桿端內力

如圖(b)所示，MDA2kNFNDAFQDA圖(b)VAAD1.5m2kNABD4kN/mC題7圖(a)4m1.5mVAVBHB例7如圖示剛架作內力圖。解(1)整體分析求約束反力(35如圖(c)所示由得由得

因為，所以由得B端內力：由得

由得DHB4kN/mFNDBFQDBMDB圖(c)VBByx

B

(g)VBxHBFNBDFQBDy如圖(c)所示由36(3)作內力圖

彎矩圖如圖(d)所示。M圖(kN.m)

(d)38剪力圖如圖(e)所示。軸力圖如圖(f)所示。FQ圖(kN)

(e)⊕

75.8

2FN圖(kN)

(f)

7.25

⊕2.256.85(4)校核，如圖(h)所示全部滿足。D7kN7.25kN2kN3kN.m3kN.m

(h)2.75kNM圖(kN.m)

(d)38FN圖(kN)

(f)

7.25

⊕2.756.85

FQ圖(kN)

(e)75.8

2⊕

(3)作內力圖彎矩圖如圖(d)所示。M圖(kN.m)(37例8如圖示剛架作內力圖。解分析:該結構的幾何組成相對較復雜，對于此類問題，最好把力學分析與幾何組成分析結合起來考慮。在桿系結構分析中這是非常重要的。對于該題，ABDE為一剛片，與基礎可組成一個無多余約束的幾何不變體系，即靜定結構，為該結構的基本部分。EFC為附屬部分。象多跨靜定梁一樣，應先從附屬部分開始分析，然后在分析基本部分。(1)求約束反力附屬部分如圖如圖(b)所示。

由得由得由得

4mEB15kN20kN.m20kN.mADCF3m3m4m4m題8圖VCVAVBHBVC20kN.mCF15kN圖(b)VEHEE例8如圖示剛架作內力圖。解分析:該結構的幾何組成相對較38基本部分如圖如圖(c)所示。由得由得由得

(2)求桿端內力

CF桿如圖(d)所示CVCFFNFCFQFCMFC圖(d)由得由得

由得EF桿的E端如圖(e)所示E20kN.m15kNVEHE=0MEFFNEFFQEF圖(e)yx由得由得

由得AEBVAVBHB20kN.mD圖(c)VEHE4mEB15kN20kN.m20kN.mADCF3m3m4m4m基本部分如圖如圖(c)所示。由39由得由得

由得EF桿的F端如圖(f)所示FMEFFQEFFNEFFNFEMFEFQFE圖(f)ExyED桿的E端如圖(g